恐惧效应对具有避难所和半封闭捕获的捕食模型的影响

魏 臻

(福建技术师范学院 大数据与人工智能学院,福建福清 350300)

§1 引言

捕食-食饵模型是生态学的基本模型之一,学者们对两种群的模型进行了研究得到了许多有趣的结论(见[1-9]及其中的参考文献).文献[1-6]研究了带有功能性反应函数的种群,文献[1,4-7]研究了避难所对种群的影响.大多数捕食系统只考虑捕食者的直接捕杀,近年来,学者们注意到食饵对捕食者产生的恐惧会影响食饵种群的繁殖能力,Wang等[8]提出了用函数f(K,y)=表示食饵种群受到恐惧效应,其中K表示恐惧程度.Zhang等[9]研究了具有恐惧效应和Holling-II功能性反应函数结合避难所的捕食-食饵模型

其中系数均为正数,α表示食饵的内禀增长率,r表示捕食者的死亡率,表示单位时间内每个捕食者吃掉食饵的最大数量,c表示转化系数,(1−m)x表示被捕食的食饵量,m ∈[0,1),讨论了恐惧效应和避难所对系统稳定性的影响.

另外,人类对自然资源开发利用以获得资源,但过度的开发会使种群灭绝,生态系统遭到破坏.为了种群能够得到合理的开发利用,人类通过设置禁猎区等方式来保护种群,使得种群得以生存.Chakraborty等[10]提出了半封闭捕获的概念,[11-13]对这样的捕获进行研究,刘等[13]研究了具有半封闭捕获的Lotka-Volterra系统:

其中E表示捕捞努力量,q1,q2分别表示食饵和捕食者的捕捞系数,0

结合以上,本文考虑具有恐惧效应及避难所和半封闭捕获项的捕食系统

其中系数均为正常数.本文研究系统(3)平衡点的稳定性及恐惧效应,避难所和捕获项对系统稳定性的影响.

§2 主要结果

系统(3)的平衡点由

证系统(3)的雅可比矩阵为

§3 恐惧效应,避难所和半封闭捕获项的影响

§4 数值模拟及结论

用数值来说明恐惧效应,避难所和捕获项对种群的影响.

例4.1设系统(3)中的数值取为

(1) 当K=0,m=0.8时,存在两个边界平衡点E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡点,E∗(6,7.84),如图1(a),E0,E1是不稳定的,E∗是源点,系统存在极限环.

(2)当K=0.1,m=0.8时,存在两个边界平衡点E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡点,E∗(6,4.111),如图1(b),E0,E1是不稳定的,E∗是源点,系统存在极限环.恐惧效应不影响x种群密度,但影响y种群密度.

(3) 当K=1,m=0.8时,存在两个边界平衡点E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡点,E∗(6,1.1091),如图1(c),E0,E1是不稳定的,E∗从不稳定的源点变为稳定的汇点.

例4.2设系统(3)中的数值取为

(1) 当K=1,m=0.9时,存在两个边界平衡点E0(0,0),E1(30,0)和唯一全局渐近稳定的正平衡点为E∗(20,0.13728),如图2(a).

图2 参数(9)条件下系统(3)的动力学行为

(2) 当K=1,m=0.96时,存在一个不稳定的边界平衡点E0(0,0)和唯一全局渐近稳定的边界平衡点E1(30,0),如图2(b),增加了避难所使得y种群绝灭.

(3) 当K=0,m=0.96时,存在一个不稳定的边界平衡点E0(0,0)和唯一全局渐近稳定的边界平衡点E1(30,0),如图2(c),恐惧效应不能改变y种群绝灭.

例4.3设系统(3)中的数值取为

(1) 当n=0.2时,存在两个边界平衡点E0(0,0),E1(30,0)和唯一全局渐近稳定的正平衡点为E∗(10,1.6886),如图3(a).

图3 参数(10)条件下系统(3)的动力学行为

(2) 当n=0.3时,存在E0(0,0)和全局渐近稳定的边界平衡点E1(5,0),如图3(b).

(3) 当n=0.4时,只存在一个全局渐近稳定的原点E0(0,0),如图3(c).说明过度的捕捞,使得两种群绝灭.

本文研究一类具有恐惧效应及避难所和半封闭捕获项的捕食系统的动力学行为,讨论了系统平衡点的局部稳定性和正平衡点的全局稳定性,证明了系统在适当的条件下存在Hopf分支.研究表明当正平衡点存在时,恐惧效应对食饵种群密度没有影响,但能减少捕食者种群密度而且能使系统更加稳定.当0≤m<1−2m∗时,随着避难所的增加,在恐惧效应影响下,捕食者种群密度先增加后减少.但当避难所达到一定值时,捕食者种群就绝灭了.人类对种群的捕捞时,需考虑保护区的大小,适当的捕捞才可以使得种群得以生存.