RN中含Φ-Laplace算子和凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程解的存在性

孙爱群,贾 高

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

§1 引言

在参数λ>0且较小的情形下,考虑RN中具有Φ-Laplace算子和凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程

解的存在性和多重性,其中N ≥2,ΔΦu=div(φ(|∇u|)∇u)是Φ-Laplace算子,且

拟线性椭圆型方程具有较强的物理背景,是非牛顿流体,等离子物理,图像处理等领域研究相关物理现象的重要模型,见[1-2].

过去几十年里,在有界区域或全空间对含凹凸非线性项的Laplace方程(或p-Laplace方程)等相关问题得到广泛研究,并取得许多重要结果(如[3-5]),而对于含有形如(1.1)中的更一般拟线性算子问题解的存在性研究虽有一些成果,比如[6-8],但是作者主要是在有界区域上进行研究的.

受[7]和[9]等文献的启发,本文将在全空间RN中研究带有Φ-Laplace算子和凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程解的存在性和多重性.

现在给出函数φ和位势函数V的基本假设.φ ∈C2([0,∞),[0,∞)),并满足以下条件:

下面给出本文的主要结果.

定理1.1假设(φ1)-(φ3),(H),(V0)和(V1)成立,则存在Λ>0,当0<λ<Λ时,问题(1.1)至少有两个非平凡解和,且Iλ()≤0,Iλ()>0,是基态解.

注记1.1与文献[7]相比,本文是在全空间上研究问题(1.1)解的存在性,为此必须建立相关的紧嵌入定理.

§2 预备知识和主要引理

§3 Nehari 流形

§4 纤维映射的进一步性质

§5 主要结果的证明

本节证明问题(1.1)存在两个解.

定理1.1的证明该证明分为两步:第一步证明当0<λ <λ1时,方程在上有一个解,第二步证明当0<λ<λ2时,方程在上也有一个解.

第一步:Iλ在Mλ上是有下界的,故在上也是有下界,从而存在极小化序列,满足