定点恒久远 证明永流传——2019年北京卷理第18题

王 敏 陈 曦

(1.中国教育科学研究院丰台实验学校 100071；2.北京市大成学校 100141)

曲线过定点问题是高考数学的常见题型之一，是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，在高考中出现的形式多变，没有一定的模式．此类曲线过定点问题，充分展现解析几何问题的“动”与“静”的和谐统一，“形(几何)”与“数(代数)”的深度融合，是每年高考中非常常见的一类题型，倍受各方关注．

一、真题在线

试题(2019年北京卷理·18)已知抛物线C：x2=-2py经过点(2，-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

本题以抛物线为问题背景，先通过待定系数法确定抛物线的方程，并由此确定对应的准线方程，难度较低；进一步加以合理设置，通过变化的焦点弦所在直线的建立，结合“动”直线的变化，确定直线间的交点，结合“动”线段AB的确定，利用其所对应的直径经过y轴上的两个定点的“静”来完善设计，融合函数与解析几何问题．破解时切入点众多，可以从平面几何的角度切入，从直线的角度切入，从圆的角度切入等，都可以达到完美解答，很好地考查学生的综合能力与应变能力，充分考查学生的数学能力与数学核心素养．

二、真题解析

1.第(1)问解析

解析由抛物线C：x2=-2py经过点(2，-1)，得p=2.

所以抛物线C的方程为x2=-4y，其准线方程为y=1．

2.第(2)问解析

解法1 (官方标答——数量积法)抛物线C的焦点为F(0，-1)，设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)．

解法2 (直线的斜率法)抛物线C的焦点为F(0，-1)，很明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)．

则x1+x2=-4k，x1x2=-4.

结合x1+x2=-4k，x1x2=-4，化简,得(y+1)2+x2-4kx-4=0.令x=0，整理,得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，-3)．

解法3(圆的标准方程法)抛物线C的焦点为F(0，-1)，很明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)．

则x1+x2=-4k，x1x2=-4.

则圆M的标准方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1).

令x=0，整理得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.

故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，-3).

则x1+x2=-4k，x1x2=-4.

结合x1+x2=-4k，x1x2=-4，化简,得x2-4kx-4+(y+1)2=0.

令x=0，整理,得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.故以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，-3)．

点评在破解本题过程中，要直接求出定点存在一定的困难，而借助点的坐标与直线方程的设置，从不同角度切入确定有关点A,B所对应的圆的方程——二次方程，进而结合条件确定出对应的定点坐标，达到证明的目的．

三、规律总结

1.曲线过定点问题有两种比较常见的类型：一是直线过定点，二是圆过定点等．

2.曲线过定点问题有两种比较常用的破解方法：一是“特殊探路，一般证明”，从特殊入手，确定对应的定点，从而把问题转化为有目标、有方向的推理证明；二是“一般推理，特殊求解”，直接根据题设条件推理、运算，在此过程中消去变量或根据参数的任意性，推理或运算得出对应的定点坐标．

3.在具体破解曲线过定点问题中，借助解析几何中的点、直线或圆锥曲线之间的关系，用变量表示出解析几何中的点、直线或圆锥曲线等相关要素，通过变化过程中所表现出来的不变的量，加以合理确定相应的定点．