浅析巧解隐圆的典型题

张云锋

(广东省惠州市惠阳区第一中学 516211)

对于初中平面几何问题，学生会倾向于构建直线型模型来转化条件，习惯利用三角形、四边形的知识来解决问题，从而辅助线的添加就被局限在直线型里.实际上利用曲线型辅助线，在一些特定条件下，更有利于条件的集中与拓展，而圆是曲线型辅助线的代表.利用圆，构建隐圆模型，可以使图形的条件更丰富，通过下面六种构建隐圆模型解题方法的对比，让学生感受构建隐圆模型解题的独特，从而激发学生对数学的兴趣和求知欲.

一、利用圆的定义构建隐圆模型

例1如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值是多少？

分析因点E是动点，导致EF，EC，EP都在变化，但是FP=FC=2不变，所以点P到点F的距离永远等于2.根据圆的定义构建隐圆模型，可知点P在以F为圆心的圆周上运动.

解析因为△CEF沿直线EF翻折，可知△CEF≌△PEF，所以FP=FC=2，点P在以F为圆心的圆周上运动.过点F作FH⊥AB于点H，交⊙F于点P′,则FP′=FP=FC=2.

所以当点P位于点P′位置时，线段PH取得最小值.

由∠A=∠A,∠AHF=∠C=90°，知△AFH∽△ABC.

所以AF∶FH∶AH=AB∶BC∶AC=5∶4∶3.

又因为AF=5，所以FH=4.所以点P到边AB距离的最小值为P′H=FH-FP′=4-2=2.

二、利用“直角所对的弦是圆的直径”构建隐圆模型

例2 如图3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值为多少.

分析利用AE⊥BE可构建隐圆模型，即点E在以AB为直径的⊙O上.

解析如图4所示，因为AE⊥BE，所以点E在以AB为直径的半⊙O上.连接CO交⊙O于点E′，所以当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值.

因为AB=4，所以OA=OB=OE′=2.

三、利用“四点共圆”构建隐圆模型

例3 如图5，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O为AB的中点，过O作OE⊥OF，OE,OF分别交射线AC,BC于点E,F，求EF的最小值为多少？

分析因为∠EOF=90°，∠C=90°，所以点C，O，E，F四点共圆.因为EF是圆的直径，点O，C均在圆上，且OC长度固定，要使得EF最短，则圆最小，要使圆最小，由于OC为固定长度，则OC为直径时，圆最小.

四、利用“定弦对定角”构建隐圆模型

例4 (2017年威海)如图7，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，求线段PB长度的最小值为多少？

分析因为AC=2定弦、∠APC=120°定角，所以利用“定弦对定角”构建隐圆模型，点P在圆周上，当B，P，O三点共线时，BP最短.

五、确定等腰三角形的存在性构建隐圆模型

例5 在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有____个．

分析先分类：①OA=OP；②PO=PA；③AO=AP.

①OA=OP：以O为圆心，以OA为半径画弧，与坐标轴交于P1,P2,P3,P4四个点，如图10.

②PO=PA：OA的垂直平分线与x轴、y轴的交点分别为点P7,点P8，如图10.

③AO=AP：以点A为圆心，以AO为半径画弧，与x轴、y轴的交点分别为点P5、点P6，如图10.

解析如图10所示，符合题意的点共有8个点．

本题考查了等腰三角形、圆的基本性质等，解答此题的关键在于构建隐圆模型，确定等腰三角形的存在性.

六、确定直角的存在性构建隐圆模型

例6 如图11，矩形CDEF是由矩形ABCG(AB

分析要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点.

解析如图12所示，符合题意的点共有2个点．

本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决，即圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个.

综上所述，通过六种构建隐圆模型解题方法的对比，对有代表性的例题进行分类剖析、解答，让学生感受构建隐圆模型解题的独特，进而能切实有效地提高学生的数学解题能力,进一步开拓学生的数学思维水平.