跨界学科可联姻 还原数列见本质——由强基计划到八省联考

赵彦青 石富中

(河北省张家口市尚义县第一中学 076750)

俗话说，工欲善其事必先利其器.物理中有很多的问题都需要数学思想来解决.笔者在某名牌大学强基计划的物理试卷中，发现其中蕴含数列的思想.

一、问题呈现

问题如图1所示无线网络电路中，所有电阻阻值均为R，则A,B两端的等效电阻R等=____.

本题中，从右向左依次递进进行计算，第一级为R串联2R再并联一个R，记为R1；第二级为R1串联2R再并联一个R，记为R2；第三级为R2串联2R再并联一个R，记为R3，依次类推，结果如下：

二、问题引申

事实上,题目中可以引申出一个数学问题：数列的递推公式推导通项公式.

分析数列{an}和{bn}有一个共同的递推公式:an+2=4an+1-an,bn+2=4bn+1-an,到此,问题转化为数列中经典的“二阶递推”问题.这个问题我们可以采用二阶递推之特征方程法.

由a1=1,a2=3,

三、应用举例

例1 (2021年八省联考)已知各项都为正项的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.

(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

解析(1)由an+2=2an+1+3an，得an+2+an+1=3(an+1+an).

(2)方法1(特征方程法)x2=2x+3(特征方程)，解得x1=3或x2=-1.(恰好为以上两个数列公比)

方法3 由(1)知an+1+an=2·3n-1.

由题知an+2=2an+1+3an.

四、知识储备

储备1 数列的递推公式：an+2=c1·an+1+c2·an，设有r,s使an+2-ran+1=s(an+1-ran)，所以an+2=(r+s)·an+1-s·ran.得c1=r+s,c2=-sr,消去s,得r2=c1r+c2(特征方程).

储备2 已知an+2=c1·an+1+c2·an,则其特征方程为x2-c1x-c2=0，若方程有两个相异根α,β，则an=A·αn+B·βn.若方程有两个相等根α=β，则an=(A+Bn)·αn.

五、感悟

感悟1 对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可以借鉴上面的方法求得通项公式.

感悟2特征根法(不动点法).