基于近似移动矢量的证据理论可靠性设计优化方法

于俊涛，邓卫，王巨，张哲†

（1.中国核电工程有限公司 郑州分公司，河南 郑州 450052；2.湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南长沙 410082；3.东风汽车有限公司东风日产乘用车公司，广东 广州 510800）

不确定性广泛存在于工程实际问题之中，其来源通常与结构的材料参数、外部载荷、仿真模型等因素相关.不确定性主要分为随机不确定性与认知不确定性.随机不确定性源于结构或系统内在的物理性质，通常使用概率模型进行度量与分析，已经发展了一系列成熟的可靠性分析与设计方法[1-4].认知不确定性源于对结构或系统信息的缺乏，主要通过证据理论（或Dempster-Shafer 理论）[5-9]、可能性理论[10-11]、模糊理论[12]和凸模型理论[13-15]等进行度量与分析.不确定性的耦合与传播容易导致结构响应发生较大波动甚至失效，因此，对不确定性的结构可靠性优化设计（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）具有重要意义[16-18].

证据理论具有较强的认知不确定性处理能力.近年来，研究人员提出了一系列基于证据理论的可靠性设计优化方法（Evidence-Theory-Based Design Optimization，EBDO）.Mourelatos 和Zhou[19]提出了一种求解证据理论可靠性设计优化问题的方法，该方法主要包括两部分：第一部分是构造等效的概率可靠性设计优化问题近似求解原EBDO 问题；第二部分是引入DIRECT 算法开展约束的证据可靠性分析.Srivastava 等[20]提出了一种求解EBDO 问题的双目标遗传算法，该算法不需要求解梯度信息，适应证据变量不连续的特征.Alyanak 等[21]提出了一种针对证据变量的近似梯度计算方法，并发展了相应的EBDO算法.Agarwal 等[22]采用代理模型技术构造了近似的可信度函数使其连续化，在此基础上提出了基于序列近似优化的EBDO 求解算法.Yao 等[23]提出了一种同时处理随机与认知不确定性的多学科设计优化方法.Salehghaffari 等[24]将EBDO 算法应用于实际加强圆管的设计优化.Huang 等[25-26]提出了一种针对EBDO 问题的解耦策略，并将其应用于考虑变量相关性的结构可靠性设计优化.苏瑜等[27]基于证据理论提出了一种考虑认知不确定性的可靠性拓扑优化设计算法.李晓斌等[28]将EBDO 算法应用于固体火箭发动机的不确定性设计中.Hu 等[29]发展了基于证据理论的鲁棒性优化设计算法.唐和生等[30]结合证据理论与微分演化提出了一种高效的EBDO 求解方法.

尽管EBDO 研究已经取得重要进展，但依旧存在诸多挑战.EBDO 问题的求解属于双层嵌套优化问题，外层为确定性优化设计，内层为基于证据理论的可靠性分析，通常计算效率低，严重限制了其在实际工程问题中的应用.本文提出一种基于近似移动矢量的证据可靠性优化设计方法，将传统的双层嵌套优化问题进行解耦，从而有效提高EBDO 的求解效率.

1 证据理论基本概念

证据理论由Dempster 和Shafer 提出和发展，也称Dempster-Shafer 理论.基本概念包括：

1）识别框架（Frame of Discernment，FD）：FD 是人们对一个认知不确定性问题已经获知的所有可能结果的集合，由有限个两两互不相容的基本元素组成，类似于概率理论中的样本空间.例如，FD 由Θ={x1，x2}定义，其中x1和x2是两个独立的基本元素.但是，证据理论中x1和x2都是集合，而非具体的样本点.

2）基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）：BPA 是对命题的信任程度的定量描述.如果识别框架Θ 的幂集2Θ与区间[0，1]的函数关系m：2Θ→[0，1]满足以下条件：

则m（A）是A（∀A∈2Θ）的基本可信度分配函数.特别地，如果m（A）＞0，则将A 称为m 的焦元.基本可信度类似于概率论中的概率密度函数，可以描述对Θ 中的元素属于A 这个命题的支持程度.

3）可信度（Belief，Bel）和似真度（Pausibility，PI）：由于存在认知不确定性，证据理论使用可信度与似真度构成的概率区间[Bel（A），Pl（A）]共同描述命题A 的可靠度.对于命题A，其Bel 和Pl 定义为：

式中：所有完全支持A 的焦元可信度相加等于Bel（A）；所有不否定的焦元可信度相加等于Pl（A）.

2 算法构造

基于证据理论的可靠性设计优化模型如下：

式中：f 是目标函数；gj是约束的功能函数；d 是确定性设计向量；X 是随机设计向量；P 是随机参数向量；XN和PN分别是X 和P 的名义值向量；L 和U 表示下边界和上边界；Bel{·}代表可信度计算，是目标可靠度.

传统的EBDO 求解是双层嵌套优化问题，内层进行证据可靠性分析，外层开展确定性优化设计，求解效率非常低；此外，由于证据理论可信度函数的离散特性，无法直接使用基于梯度的优化算法，进一步增加了EBDO 问题的求解难度.针对上述问题，本文提出了一种基于近似移动矢量的EBDO 方法，以有效降低EBDO 的计算成本.首先，利用等面积法将证据变量转换为概率变量，构建等效的RBDO 问题求解近似设计点；然后，基于证据理论开展约束的可靠性分析，构建近似移动矢量与确定性优化模型，求解获得新的设计点；最后，重复求解上述过程直到优化过程收敛.

2.1 等效概率可靠性设计优化模型的构造与求解

首先引入等面积法将证据变量X 转变成随机变量Z.证据变量X 的第i 个焦元Ai=[Li，Ui]，对应的BPA 为m（Ai）.等面积法要求满足两个条件：1）焦元Ai的BPA m（Ai）等于随机变量Z 在区间[Li，Ui]的累计概率.2）Z 的概率密度函数在整个不确定域内连续.如图1 所示，对于焦元[L1，U1]，左端点L1的概率密度值为：

图1 证据变量转换为随机变量Fig.1 Transformation from an evidence variable to a random variable

右端点U1的概率密度值为：

由于L2=U1，f（Z=L2）=f（Z=U1）.重复上述步骤可得随机变量Z 的概率密度函数f（Z）.

将证据变量转换为随机变量后，原EBDO 问题转化为等效的RBDO 问题，相应的数学模型为：

式中：Pr{·}表示计算可靠度；μX，μP是X，P 的均值向量.

使用序列优化与可靠性分析方法（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA）[16]求解上述RBDO 问题.SORA 通过构造移动矢量将RBDO 的求解转化为可靠性分析与确定性优化的序列迭代求解过程，具有较好的计算效率和收敛性.为方便描述，令Z=[X，P]代表所有随机设计变量和参数向量，SORA 的数学模型如下：

移动矢量计算公式为：

MPP 可采用一阶可靠性方法（First order Reliability Method，FORM）计算，等概率变换将Z 变换到由标准正态分布随机变量Ui（i=1，2，…，n）构成的标准正态坐标空间，Ui组成向量U，以下将标准正态空间简称为U 空间.

式中：Ui是Zi变换到空间U 后的标准正态随机变量.

2.2 证据理论可靠性设计优化模型的求解

以上获得的设计点X=[d，μZ]可能不满足证据理论的可信度，但是该设计点已经逼近EBDO 的最优设计点.因此，以当前设计点为初始点开展EBDO的求解，能够有效提高寻优速度.假设第k-1 步时完成RBDO 求解，接着在第k 步开始求解EBDO，如果此时继续将等效确定性约束向可靠域移动：先计算增量移动矢量，然后将沿着移动，则第k 步移动矢量为：

在此基础上，构建如式（10）的确定性设计优化问题.在该模型中，当前迭代步的移动矢量是上一步移动矢量的调整，调整幅度为增量移动矢量.

首先在标准状态空间中考虑移动矢量增量几何关系.如图2 所示，在标准状态空间中，||U||=βt是以原点为圆心，目标可靠性指标为半径的圆.当Gj（d，U）=0 与圆相交，表示第k 步的可靠性指标小于，不满足可靠性要求.在下一次迭代，如果将约束边界接着移向可靠域，则可以使得约束函数的可靠度增加，最终达到目标可靠度.为了提高效率，选择沿着可靠度在处的梯度方向（可靠度增长最快）移动，将可靠度差值=-作为移动距离.新的移动过程称为增量移动矢量，可表示为：

图2 计算移动矢量增量示意图Fig.2 Schematic diagram of the incremental shifting vector

约束函数的可靠度可采用FORM 计算.求得可靠度在U 空间原点处的梯度后，即可计算U 空间的移动矢量增量，再逆变换到原空间，得到移动矢量增量，再根据式（14）计算移动矢量.获得新的移动矢量后，按2.1 节所述方法重新构造近似的RBDO 模型，将新的移动矢量代入式（10）并求解.得到新的设计点后，按照2.3 节所述方法验证约束的可信度，如果约束满足可信度要求，则增量移动矢量；否则再次更新增量移动矢量，直到满足收敛条件.

2.3 基于非概率指标的证据理论可靠性分析

本文采用基于非概率可靠性指标的焦元缩减方法[31]对每个约束开展证据理论可靠性分析.对于n维证据变量Xi，i=1，2，…，n 的功能函数g（X），首先将证据变量Xi的FD归一化：

式中：I 表示区间；L，R 表示区间的下界和上界；c 和w 是区间的中点和半径.

用标准化变量δi∈[-1，1]对Xi进行标准化：

不确定域Cδ={δ|δi∈[-1，1]，i=1，2，…，n}是一个标准多维正方体，标准化变量δi，i=1，2，…，n 组成向量δ，其组成的坐标空间称为δ 空间.

将式（19）代入功能函数g 得到一个δ 空间中的新功能函数g′：

非概率可靠性指标η 是在δ 空间用无穷范数计算的原点与g′=0 之间的距离，计算公式为：

其中：||·||∞为无穷范数符号.

式（21）可用序列二次规划方法（SQP）求解，其最优点δ*称为设计验算点.

基于非概率可靠性指标的焦元缩减方法可以根据指标η 和g（Xc）=g′（0）的值判断不确定域和极限状态面的位置关系，从而仅需要计算部分焦元的功能函数极值便可获得Bel（G）和Pl（G），有效提高了证据理论可靠性分析的计算效率，具体过程参考文献[31].

2.4 计算步骤

本文方法计算流程总结如下，如图3 所示.

图3 算法流程图Fig.3 The flowchart of the proposed method

步骤1：根据实际工程问题，建立EBDO 模型.

步骤2：用等面积法将证据变量转换为概率变量，设置初始点，迭代步k=0，将移动矢量设置为零向量，即.

步骤3：将EBDO 问题转化为近似RBDO 模型，使用SORA 求解，得到最优解，作为求解EBDO问题的起点.

步骤4：验算近似RBDO 模型的最优点的可信度，若满足目标要求，则；否则使用式（14）～式（16）计算新的增量移动矢量和移动矢量，直到满足以下收敛条件，其中ε 为给定误差限.

步骤5：结束，输出最优解[d*].

3 算例分析

3.1 算例一

考虑如下EBDO 问题：

该算例仅有两个证据设计变量X1和X2，名义值为μX1和μX2，BPA 结构如表1 所示.

表2 列出了确定性设计，RBDO 和本文方法的计算结果.可以看到，确定性设计结果的实际可信度Bel 远低于目标可信度0.998 65，可见，确定性设计结果通常难以满足可靠度要求.RBDO 模型是将证据变量转换为随机变量得到，其中第1 个约束的实际可信度Bel为0.996 8，小于0.998 65.可见，直接求解等效RBDO 的结果依旧不能满足目标可信度.本文方法经过6 次迭代后收敛，所有约束均达到目标可信度，最小目标函数值为6.851 8.为了直观理解，图4 绘制了RBDO 结果和EBDO 结果在同一个坐标系中的位置.可以看到，RBDO 和EBDO 的最优解位置很近.为了提高计算效率，本文方法将先求解RBDO，并将其最优解作为EBDO 的初始点.这种策略用较少的功能函数调用次数能快速搜索到距离EBDO 最优解较近的位置，从而避免EBDO 的中间迭代过程，提高了计算效率.

3.2 算例二

某悬臂梁如图5 所示，梁的长度为L，横截面宽度为w，高度为t，在自由端施加两个集中剪力Px和Py.设计目标是截面面积S 最小，设计约束有两个：1）固定端应力小于许用应力y 的可信度为0.998 65；2）自由端位移不超过许用位移D0的可信度为0.998 65.EBDO 模型如下：

式中：D0=2.5 inch；L=100 inch.

目标函数仅包含确定设计向量d=[w，t]，不确定性参数向量P=[Px，Py，y，E]包含4 个证据变量，其中y 为屈服强度，E 为杨氏模量.证据随机参数的BPA结构如表3 所示.

表3 算例二证据变量/参数的BPA 结构Tab.3 BPA structure of evident variables/parameters for example 2

表4 为确定性设计、RBDO 方法、DIRECT 方法、EA-EBDO 方法和本文方法针对该问题的计算结果.首先，确定性设计和RBDO 的结果没有达到目标可信度，本文方法、DIRECT 和EA-EBDO 采用证据理论的思想求解该问题，均达到目标可信度.其次，EA-EBDO 方法具有最高的精度，最小目标函数值比DIRECT 和本文方法更小，特别地，本文方法仅比EA-EBDO 的最小目标函数值大6.5%.最后，对比几种方法的优化迭代次数和约束函数计算次数，本文方法计算效率高于DIRECT 算法，计算量不到它的40%.EA-EBDO 算法效率最低，计算量是本文方法的20 多倍.通过比较DIRECT 算法、EA-EBDO 算法和本文方法，可以确定本文方法能够兼顾精度和效率的平衡.

表4 算例二不同优化结果对比Tab.4 The computational results of example 2

3.3 算例三

汽车正面碰撞是交通事故中导致乘员死亡的最主要因素.汽车发生正面碰撞时影响驾驶员及乘客安全的主要因素是防撞梁、吸能盒和前纵梁等部件的性能.目前，汽车行业评价汽车碰撞性能的主要指标包括前围板变形量、车门变形量、乘员加速度等.本算例进行正面碰撞安全的轻量化设计，约束包括B 柱加速度、围板侵入量和车门变形量.

图6 所示为某型轿车的正面有限元模型.设计向量X=[X1，X2，X3，X4，X5]代表保险杠、吸能盒内、外板和前纵梁内、外板的厚度.设计变量在汽车结构中的位置如图6 所示.

图6 汽车正面碰撞有限元模型与设计变量Fig.6 Finite element model and design variables of vehicle crashworthiness

根据汽车正面碰撞标准，取最大加速度峰值45g，最大前围板侵入量220 mm，车门变形量20 mm.EBDO 模型构造如下：

式中：M（μX）为五个碰撞关键件的总质量；a（X）为B柱下端加速度；I1（X）为前围板侵入量；I2（X）为车门变形量；Rt为目标可靠度；μX是X 的名义值向量，其BPA 结构如表5 所示.

表5 算例三证据变量/参数的BPA 结构Tab.5 BPA structure of evidence variables/parameters X1～X5 for example 3

由于汽车正面碰撞有限元仿真十分耗时，为实现参数化和计算方便，本算例将结合拉丁超立方抽样法，利用Kriging 模型分别构建关键件总质量M（μX）、B 柱下端加速度峰值a（X）、前围板侵入量I1（X）和车门变形量I2（X）的代理模型.对有限元模型进行36 次采样，其中30 组样本用于构建Kriging模型，6 组样本点用以检验模型精度.代理模型的精度检验结果如表6 所示，最大误差分别为0.82%，7.2%，11%，8.8%，在可接受范围.

表6 Kriging 精度检验结果Tab.6 The accuracy test results of the Kriging surrogate models

本算例针对目标可靠度为90%和95%两种情况，分别进行证据理论可靠性设计优化，结果如表7 所示.可见，当目标可靠度从90%变为95%时，EBDO 的优化结果的设计变量和目标函数值也相应地变大，表明随着实际可靠度的提高，各碰撞关键件厚度尺寸变大.与初始设计对比，当Rt=90%，采用本文方法使整车质量减少9.76%；当Rt=95%，整车质量减少5.93%.

表7 算例三设计变量优化结果Tab.7 The computational results of example 3

4 结论

基于证据理论的可靠性设计优化问题的求解是双层嵌套优化问题，通常导致其在实际工程中应用需要大规模的计算量，限制了证据理论可靠性设计方法的工程应用.针对该问题，本文提出了一种证据理论可靠性设计优化（EBDO）方法.该方法首先将证据变量转换成概率变量，构建等效的概率可靠性设计优化（RBDO）模型，并使用SORA 方法实现快速稳定的求解；然后，基于证据理论的可靠性分析求解约束的可信度，构建近似移动矢量和确定性优化模型，并求解新的设计点；最终，将EBDO 的嵌套优化转换成由近似RBDO 求解与证据理论可靠性分析组成的序列迭代过程，从而高效地求解基于证据理论的设计优化问题.数值算例及工程应用验证了该方法能够实现计算效率与计算精度的较好平衡.后续研究中，我们将进一步改进此可靠性设计方法，并将其推广到含高维变量、较强相关性和较强非线性等特征的复杂工程问题.