探寻本质 静观其变

文／许 燕

同学们在学习“一元二次方程”这一章时，还记得一元二次方程的求根公式是怎样得到的吗？在得到求根公式的过程中有没有发现哪些问题是值得我们思考的呢？为什么一元二次方程根的情况取决于式子b2-4ac的符号呢？让我们带着这些问题，先来探寻本质，再来静观其变。

一、探寻本质

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）。

对于上述方程，同学们觉得能直接开方吗？通过观察，我们不难发现，等式的左边是一个关于x的完全平方式，只有当等式的右边是一个非负常数时才可以运用直接开平方法来解这个方程；反之，当等式的右边是一个负常数时，该方程在实数范围内将无实数根。因此，解此方程就需要对等式右边的式子的符号进行讨论。由于a≠0，所以分母4a2恒为正，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与分子b2-4ac的符号有关，称之为“根的判别式”，具体有以下几种可能的情形：（1）当b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。

通过上述回顾，相信同学们不仅知道什么是“根的判别式”，更明白一元二次方程根的情况为何由式子b2-4ac的符号来确定。根的判别式作为初中阶段的一个重要的知识点，在各地的考查中常有出现。下面围绕这个知识点介绍几组典型问题，同学们不妨自己感受一下。

二、静观其变

例1若关于x的一元二次方程（a-1）·x2-2x+2=0 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________。

【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，结合题目条件可知，从而列出关于a的不等式组加以求解即可。

解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得a且a≠1。故答案为且a≠1。

变式1若关于x的方程（a-1）x2-2x+2=0有两个实数根，则实数a的取值范围是________。

【分析】题目虽然没说方程为一元二次方程，但因为方程有两个实数根，所以方程必为一元二次方程。由于两实数根可能相等或不等，因此根的判别式大于或等于0。结合题目条件可知求解关于a的不等式组即可。

解：∵方程有两个实数根，

变式2若关于x的方程（a-1）x2-2x+2=0 有实数根，则实数a的取值范围是________。

【分析】由于题目既没说方程为一元二次方程，也没说方程有几个实数根，所以需分两种情况讨论：（1）方程为一元一次方程且有实数根；（2）方程为一元二次方程且有实数根。

解：（1）当方程为一元一次方程时，则a-1=0，a=1，此时方程变形为-2x+2=0，x=1，即当a=1时，方程有一个实数根为x=1；

（2）当方程为一元二次方程时，∵方程有实数根，

综上所述：当a≤时，方程有实数根。

【归纳总结】以上一组问题考查的是根据已知方程根的情况，去确定字母系数的值或范围，解题时同学们要抓住以下两个要点：1.使用根的判别式之前一定要先把方程化为一般形式，正确找出a、b、c的值；2.注意题目中的关键词“有两个不相等的实数根”“有两个实数根”以及“有实数根”的区别，并注意“一元二次方程”这个隐含条件。

例2已知关于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0，不解方程，请判别当k分别取-1、0、1时一元二次方程根的情况。

【分析】题目要求不解方程判别根的情况，根据本文前面的讲解可知，将k的值分别代入，依次求出对应的b2-4ac的值，再结合它的符号便可确定。

解：（1）当k=-1 时，方程变形为x2+2x-4=0。

∵a=1，b=2，c=-4，∴b2-4ac=20＞0，

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）当k=0时，方程变形为x2+x-3=0。

∵a=1，b=1，c=-3，∴b2-4ac=13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根。

（3）当k=1时，方程变形为x2-2=0。

∵a=1，b=0，c=-2，∴b2-4ac=8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根。

变式对于任意实数k，试证明关于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0 恒有两个不相等的实数根。

【分析】此变式是例2 的延伸，体现由特殊到一般的数学思想。对于任意的实数k，要证明该方程恒有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式的值恒大于0 即可。此时可以通过配方法，利用完全平方式的非负性加以证明。

证明：∵a=1，b=-（k-1）=1-k，c=k-3，

∴b2-4ac=（1-k）2-4×1×（k-3）=k2-6k+13=（k-3）2+4。

∵（k-3）2≥0，

∴（k-3）2+4＞0，即b2-4ac＞0，

∴对于任意实数k，方程恒有两个不相等的实数根。

【归纳总结】以上一组问题反映的是“由特殊到一般”的数学思想方法，考查了在不解方程的基础上，如何利用根的判别式去判别一元二次方程根的情况。解题时需先正确找出a、b、c的值，再求出b2-4ac的具体值或利用配方法得出b2-4ac的符号，最后对根的情况进行判别。

例3已知等腰三角形的一条边长为7，它的另外两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0 的两个实数根，求这个三角形的周长。

【分析】当读到“等腰三角形的一边长为7”，我们就要进行分类讨论，即长为7 的边可能为等腰三角形的底，也可能为它的腰。当长为7 的边为底时，则另外两边为腰，而另外两边恰好是方程的根，则意味着方程有两个相等的实数根；当长为7 的边为腰时，则另一腰的长度也为7，即方程必有一根为7，利用方程根的概念求出字母系数的值。

解：（1）当7 为底边长时，此时方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=8m-16=0，解得m=2，

∴方程为x2-6x+9=0，

解得x1=x2=3。

∵3+3＜7，

∴不能构成三角形。

（2）当7 为腰长时，不妨设另一腰为x1，则x1=7，代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4。

当m=10时，方程为x2-22x+105=0，解得x1=7，x2=15，

∵7+7＜15，

∴不能构成三角形，应舍去；

当m=4 时，方程为x2-10x+21=0，解得x1=7，x2=3，此时三角形的周长为7+7+3=17。

综上所述，这个等腰三角形的周长为17。

【归纳总结】这道题考查的是根的判别式与其他知识的综合应用，解答时注意挖掘隐含条件，体会转化思想以及分类讨论的数学思想，同时要注意“三角形三边关系”这一隐含条件，养成严谨的思维习惯。

我们通过以上几组典型问题的解析不难明白，在平时的学习和运用知识的过程中，不能把知识降低为机械性的记忆，更应该重视知识的形成过程，要有自己独立的思考，要学会全面的分析和判断。尽管问题的外在形式丰富多样，但内在本质是统一的。希望同学们能通过自己的理解和思考，抓住问题的本质进而有效地解决相关问题。