色散和自相位调制消除混沌时延的数值分析

李石川，柴萌萌，乔丽君，张明江，王 涛，高少华，张建忠

1)太原理工大学新型传感器与智能控制教育部与山西省重点实验室，山西太原 030024； 2)太原理工大学物理与光电工程学院，山西太原 030024

混沌激光是半导体激光器的一种不稳定输出状态，由于具有宽频谱、类噪声等特性，混沌激光在混沌保密通信[1-3]、激光雷达[4-5]、物理随机数生成[6]和光时域反射测量[7]等领域具有重要应用．然而，基于光反馈半导体激光器构建的混沌激光源因存在固定反馈外腔，输出的混沌信号具有明显时延特征(time delay signature, TDS)．混沌激光的时延特征可引发保密通信中密钥的窃取、雷达探测中的虚警和光时域反射测量的误判等问题．因此，消除混沌时延对于混沌激光的应用至关重要．

由于混沌时延主要由固定的外腔反馈延时造成，因此，可通过改变混沌激光源的外腔结构抑制混沌激光的时延特征．KE 等[8]提出在光纤反馈环路中加入色散模块抑制混沌时延特征，在色散值为2 000 ps/nm时，混沌时延被完全消除．WU等[9]通过调节双反馈腔的腔长和反馈强度的实验，证实当其中一个腔长为另一个腔长的一半时，可独立将某一个反馈外腔中的混沌时延特征值抑制至0.04以下．ALEXANDER等[10]发现3个外腔反馈作用下的半导体激光器可输出混沌时延被隐藏的混沌激光信号．LI等[11]利用光纤布拉格光栅构建半导体激光器的分布式反馈外腔，可将混沌时延特征值抑制至0.08以下．XU等[12]提出利用光纤随机光栅构建分布式反馈外腔，也可完全消除混沌时延．

也可以通过对混沌激光进行后处理来抑制时延特征．ZHAO等[13]利用延迟自相位调制光反馈方法，增加已产生混沌激光的复杂度，将混沌时延特征值抑制至0.04以下．ZHANG等[14]利用光纤受激布里渊散射效应，可将混沌时延特征值从0.25抑制至0.07以下．LI等[15]利用光纤的自相位调制和色散效应，实验上将混沌时延特征值抑制至0.04以下．但由于光纤一经拉制完成，不易对其非线性系数和色散系数等参数进行调节，致使无法实验分析光纤色散和自相位调制效应对混沌时延抑制的影响．因此，需建立混沌激光经过单模光纤调制的理论模型，数值分析光纤色散系数、非线性系数、长度及入纤光功率等参数对混沌时延抑制的影响．

本研究基于光反馈半导体激光器的单模速率方程和光纤中混沌光传输的非线性薛定谔方程，建立混沌激光经过单模光纤调制的数值模型，研究光纤中自相位调制和色散效应对混沌时延抑制的影响．

1 理论模型

图1为单光反馈产生的混沌激光经单模光纤调制的仿真模型示意图．将半导体激光器产生的激光经过外部反射镜返回半导体激光器造成扰动，形成混沌激光输出．混沌激光经光纤耦合器后注入单模光纤中，利用光纤的色散和自相位调制效应抑制混沌时延．单反馈产生混沌激光的数值模型可由光反馈半导体激光器的单模速率方程[16]描述为

KE(t-τ)exp(-iωτ)

(1)

(2)

(3)

其中，E(t)为归一化的复电场强度；N(t)为载流子密度；G(t)为微分增益系数；τ为该单反馈半导体激光器的外腔时延值；I为半导体激光器的抽运电流；其余参数及取值见表1．式(1)描述了半导体激光器在外部光扰动情况下的电场变化，等号右边的两项分别代表激光器的发射项和外部反馈项；式(2)描述激光器中载流子数目的变化．

图1 单模光纤抑制光反馈半导体激光器的混沌时延模型框图 Fig.1 Schematic diagram of chaotic TDS suppression for semiconductor laser with optical feedback

表1 单模速率方程的基本参数及其取值

混沌激光可以看作一类连续不规则脉冲信号的叠加，其在单模光纤中传输时受到光纤的色散和自相位调制等效应影响．在光纤的反常色散区，色散效应将导致脉冲信号的时域展宽、频谱变窄，使混沌信号中出现一些新的频率分量，自相位调制效应会改变这一展宽与窄化的速度，在一定程度上增强了混沌激光的复杂程度．利用非线性薛定谔方程建立混沌激光在单模光纤中的传输模型[17]为

(4)

其中，A为复变光场的慢变振幅；Z为混沌激光在光纤中传输的距离；T为随混沌激光以群速度vg移动的参考系中的时间量度(T=t-z/vg)． 式(4)等号右边第1项为损耗项，表征输入混沌激光的振幅随传输距离增加的衰减情况；第2项为色散效应作用项，表征不同时刻不同光强下色散效应对混沌激光的作用效果；第3项为自相位调制效应作用项，表征不同时刻不同光强下自相位调制对混沌激光的作用效果． 光纤衰减系数α=0.2 dB/km，非线性系数γ=1.5 W-1·km-1，β2取-8～-22 ps2/km，光纤长度Z取0～30 km.

本研究利用自相关函数分别对入纤前后的混沌激光信号进行自相关分析，由自相关曲线的旁瓣峰值提取出光反馈外腔的混沌时延特征值．自相关函数ACF定义为

(5)

平均互信息函数表征两个信号各自信号集合之间的相关性，本研究中用来表征入纤前后混沌信号集合之间的相关性．平均互信息函数MI为

(6)

其中，p(P(t),P(t+Δt))表示联合分布概率密度；p(P(t))和p(P(t+Δt))分别表示边缘分布概率密度．同样，单光反馈外腔的混沌时延特征值也可通过该混沌激光信号互信息曲线中峰值对应的时延位置提取出来．

2 仿真结果与分析

图2为光反馈半导体激光器直接输出以及经过单模光纤传输后混沌激光的时序、自相关与平均互信息曲线．图2(a)与(b)分别给出了单反馈产生的混沌激光以及其经过单模光纤传输后的时序信息．图2中A和M分别代表混沌激光在其时延特征τ处的自相关系数值和互信息值，均可表征混沌时延特征．由于所选用激光器的外腔长L=60 cm，故τ=4 ns，图2(c)与(d)分别给出混沌激光在单模光纤作用前后的自相关曲线，将混沌时延抑制效果用入纤前后的混沌时延特征值之比的对数值表示，即lg(A0/A1)或lg(M0/M1).可见，单反馈结构产生的混沌激光存在明显的时延特征，τ=4 ns时，A0=0.289 9，A1=0.052 9， 混沌时延被有效抑制7.4 dB．图2(e)与(f)为混沌激光经光纤作用前后的平均互信息曲线，当τ=4 ns时，M0=0.089 4,M1=0.010 2， 混沌时延被有效抑制9.4 dB．

本研究将混沌激光的平均入纤光功率表示为Pt． 单模光纤色散效应可通过调节β2与Z定量控制，自相位调制效应可通过调节Pt与Z定量控制．为研究光纤色散效应对混沌时延抑制的影响，数值模拟了混沌激光经过具有不同β2和Z的单模光纤后，其混沌时延特征值A1的变化曲线，结果如图3．其中，Pt=11.4 mW．

由图3可见，无论β2取何值，当光纤长度较短时，在激光器外腔时延τ=4 ns处的A1变化均较弱，表明在较短距离内，色散效应对混沌时延的抑制几乎不起作用．对于β2=-22 ps2/km， 当Z≥3.7 km，随着光纤长度的增加，A1开始逐渐下降．而当光纤长度继续增至10.5 km以后，光纤长度对A1几乎没有影响，表明混沌时延的抑制已达到稳定状态．对于β2=-8 ps2/km，当Z≥10.2 km时，随着光纤长度的增加，A1开始下降；在Z=28.5 km后，A1几乎保持不变.可见，色散效应的累积会对混沌时延起到明显抑制效果．由图3可见，β2不同时，A1开始下降所对应的光纤长度不同，将这一长度定义为混沌激光的色散长度.

可见，当光纤长度大于色散长度时，光纤的色散效应才开始对混沌时延抑制起作用，随着光纤长度的增加，色散效应的累积，最短仅需10 km的单模光纤，色散效应即达到最佳状态，混沌时延特征得到完全抑制，最佳抑制效果为7.5 dB．混沌激光的色散长度随β2的变化而变化，且当β2不同时，A1的下降速率也不同，β2越大，则混沌激光的色散长度越短，混沌时延抑制效率越高．本研究中，最快的混沌时延特征值下降速率为0.43 dB/km，如图3中虚线所示．

图2 混沌激光入纤前后的时序、自相关曲线及互信息曲线对比Fig.2 The time series, autocorrelation curves and mutual-information curves comparisons of chaotic laser before and after passing through fiber

图3 在不同β2下，混沌激光在τ=4 ns处的A1值随着光纤长度的变化Fig.3 (Color online) The A1 of chaotic laser at τ=4 ns varies with the fiber length under different second-order dispersion parameters

以下通过调节Pt和Z来定量控制光纤自相位调制效应的强弱，进一步分析自相位调制效应对混沌时延抑制的影响．设定β2=-20 ps2/km，图4为不同Pt下，在τ=4 ns处的A1随Z的变化情况．可见，当光纤长度较短时，自相位调制对混沌时延的抑制效果不明显．当Z≥3 km时，A1随着光纤长度的增加线性减小，表明此时混沌激光的时延特征得到有效抑制．这是由于随着光纤长度的增加，光纤中自相位调制效应累积，当达到一定光纤长度时，混沌时延可被稳定抑制．计算发现，当Pt=10.0 mW时，可在约14.8 km处达到最佳混沌时延抑制效果；当Pt=14.2 mW时，可在约10 km处达到最佳混沌时延抑制效果．由图4还可见，Pt越大，A1的下降速率越快，即混沌时延的抑制效果越好，如图4中虚线所示.经计算最快的混沌自相关系数下降速率为0.5 dB/km．以上结果表明，光纤的自相位调制效应可以有效抑制混沌时延，自相位调制越强抑制效率越高，当光纤长度达到25 km后混沌时延特征值可以被稳定抑制7.7 dB．

图4 不同Pt下，混沌激光在τ=4 ns时的A1值随光纤长度的变化Fig.4 (Color online) The A1 of chaotic laser at τ=4 ns varies with the length of fiber under different average input power

以下分析单模光纤中自相位调制与色散效应共同作用对混沌激光时延的影响．当Z=5、 10及20 km时，混沌激光的A1随β2与Pt的变化如图5．当A1≤0.1时，可取得较好的时延抑制效果，即图中虚线包围的右上角部分，称为有效时延特征抑制范围．当Z=5 km时，无论β2或Pt在有限范围内取何值，色散与自相位调制对混沌时延的抑制均无明显作用，有效抑制范围面积不足整体的30%；当Z=10 km(即大于上述混沌激光的色散长度)时，色散效应率先增强至强色散区且自相位调制效应继续累积，混沌时延抑制成效明显，此时有效抑制范围面积增至约占整体的50%；当Z=20 km时，自相位调制效应累积达到显著作用范围，此时两种效应共同作用使得有效抑制范围的覆盖面积达到整体的80%以上，最佳抑制效果可达11.6 dB．由此可见，随着β2与Pt的增加，混沌时延特征值逐渐减弱，表明单模光纤中的自相位调制与色散效应共同作用可有效实现混沌激光时延抑制．

图5 A1随β2及Pt的变化Fig.5 (Color online) Two-dimensional distribution of A1 as function of β2 and Pt

结 语

光纤中的色散和自相位调制效应对混沌时延的抑制效果与光纤长度、二阶色散系数和入纤光功率密切相关．通过控制上述3个参数，色散和自相位调制效应共同作用使得混沌时延抑制达到最佳状态，抑制效果可达11.6 dB，且稳定性较好．混沌时延的有效抑制，可为混沌保密通信、混沌激光测距及混沌分布式光纤传感测量等应用提供优质的混沌激光源.