基于学习进阶的高中数学教学研究

王琳 吴华

摘  要 介绍学习进阶的起源、内涵和构成要素，解读新课标和人教B版教材中有关对数函数的要求，以布卢姆教育目标分类学理论为基础，构造对数函数学习进阶，并基于学习进阶，开发对数函数教学设计模型，为教师开展有效教学提供参考。

关键词 学习进阶;数学教学;对数函数;教学改革;教学设计;GeoGebra

中图分类号：G633.6    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2021）11-0056-04

0  前言

学习进阶强调学生的认知发展，在设计连贯一致的中小学科学课程方面具有很大价值，能使教育研究与教学紧密结合[1]。因此，将学习进阶引入数学教育领域，与我国数学教学相结合，具有一定的研究价值。本文以高中阶段的概念对数函数为例，说明如何开展基于学习进阶的对数函数教学研究。

1  学习进阶的内涵与发展

1.1  学习进阶的起源

近十年来，学习进阶（Learning Progressions，简称LPs）逐渐发展为科学教育界的研究热点之一，它与评价、课程、教学这三个领域都有密切联系[2]。其最先起源于美国，定义于2004年由Smith等人首次提出。2005年，美國国家研究委员会（NRC）发布的研究报告认为，在课标、教学和评价这三者的一致性方面，学习进阶能发挥重要作用[3]。

2007年，NRC发布名为《将科学带进学校》的研究报告，其中明确提出学习进阶的定义，并提倡可以用学习进阶来进行科学教育改革，引起研究者的广泛关注，成为研究的热点问题，正式进入大众视野。而2013年颁布的新一代科学教育标准，更是进一步提升了学习进阶在教育领域的研究地位。

1.2  学习进阶的内涵

从学习进阶提出至今已有十多年的时间，不少研究者根据自己的理解尝试对其进行定义，大致可以分为方法说、过程说、本质说、假设说、序列说等几类观点，但是迄今为止仍然没有得到一致的、被广泛认可的结论。虽然研究者目前对学习进阶的研究内容和方法可能不尽相同，但多数引用的是2007年NRC提出的学习进阶定义：“在较长时间内，学生对某一主题或概念不断深入、精致发展的思维方式的描述。”[4]NRC的概念界定方式得到多数人的认可，因此，本文也将引用NRC的定义对学习进阶进行概念界定，从而进行相关研究。

1.3  学习进阶的构成要素

学习进阶的构成包括五个要素：进阶维度、进阶终点、成就水平、学业表现和测评工具。这是目前科学教育界的普遍观点[5]。

1.3.1  进阶维度  进阶维度主要指进阶层级中蕴含的核心概念，研究者可通过追踪核心概念掌握情况或进阶维度来掌握学习进阶进程。

1.3.2  进阶终点  进阶终点即学习目标，是指在某一阶段学习结束时希望学生达成的水平，也是学习进阶的最终水平。

1.3.3  成就水平  成就水平存在于学生的进阶发展路径上，具有多个中间层级，能够反映学生认知发展过程中不同的思维阶段。

1.3.4  学业表现  学业表现是指学生在完成某类学业任务后，对应达到的成就水平所表现出的特征。

1.3.5  测评工具  测评工具主要用于检测学生预期成就水平的达成情况，从而完善和改进学习进阶。

1.4  基于学习进阶的教学设计模型

笔者将学习进阶应用于高中数学教学实践，为保证教学的顺利进行，基于学习进阶，开发了教学设计模型，如图1所示。

2  基于学习进阶的对数函数教学研究

对数函数是六大基本初等函数之一，是继指数函数之后的又一重要初等函数。与指数函数相比，它所涉及的知识更丰富，方法更灵活，但二者之间也存在联系，在知识和思想方法方面具有共通之处。对数函数不仅是对指数函数的巩固和提高，更是为函数在实际生活中的应用奠定良好的基础。笔者以高中数学人教B版教材必修一中“函数”主题下的对数函数教学为例，构建对数函数的学习进阶。

2.1  基于新课程标准的分析

在构建学习进阶之前，首先要明确学生在学习对数函数概念时应获得的知识和能力，确定教学目标，因此需要对新课标进行分析。笔者梳理、分析《普通高中数学课程标准（2017年版）》中涉及对数函数的学习内容，整理后得出新课标中有关对数函数的教学要求，如表1所示[6]。

2.2  基于布卢姆教学目标分类学理论的学习进阶成就水平的划分

学习进阶中的“阶”可以帮助判断学习者在认知发展过程中的一些关键节点[7]，因此，只有弄清楚学习进阶中的“阶”，才能合理设计教学[8]。本文将选择2001年修订版的布卢姆教育目标分类学理论作为构建学习进阶的依据，其中认知过程被分为记忆、理解、应用、分析、评价和创造六个递进层级，通过这六个层级能够反映预期的学生应该达到的认知层次。本文将结合布卢姆教育目标分类学理论，依据新课标、教材和学生的认知发展规律，把对数函数主题下的学习进阶划分为五个层级水平，即记忆、理解、应用、分析、评价，并描述每个层级水平对应的预期学生学业表现，设计出相应的教学设计模型。

2.2.1  记忆  记忆指的是从长时记忆中提取相关的知识。学生在接触抽象的对数函数的概念之前，已经接触了指数函数和对数，具备了“指对互化”的意识，会用换底公式进行对数间的转化，方便接下来对数函数概念的引出。

2.2.2  理解  理解即为通过语言、图像、文字等方式建构意义。因此，在本阶段要求学生能通过与指数函数相关的实例，初步归纳对数函数的一般式，继而理解对数函数的概念;通过描点画出对数函数图像，发现其特殊点（1，0）;类比探究指数函数的过程，结合对数函数的图像，分析对数函数的定义域和值域;并在教师的引导下，讨论根据底数不同的情况，从而判断单调性。在此阶段培养类比和数形结合思想。

2.2.3  应用  应用指在某特定情景中，用某种程序解决熟悉或不熟悉的问题。所以，在应用阶段，学生不仅要理解对数函数的概念和性质，更要能灵活应用对数函数性质，如比较函数值的大小，或判断函数的定义域和值域。

2.2.4  分析  分析阶段要求能够辨析各个部分的构成和相互关系，以及各部分与总体之间的关系。所以，教师要让学生自主对比指数函数与对数函数的性质，发现、辨析两种函数性质之间的联系，认识新旧知识之间的联系。通过两者关系的对比，为反函数概念的学习作合理铺垫，同时训练学生的逆向思维。

2.2.5  评价  在评价阶段，学生应自主回顾、反思本节课的知识和学习过程，评价自己的学习表现;将之前学习的对数和指数函数等相关概念与对数函数建立正确的联系，体会其中蕴含的数学思想方法，使学生的对数函数和函数知识体系更具系统性。

2.3  对数函数学习进阶框架的构建

结合以上分析，笔者对每一层级水平的学生预期学习表现再加以解释说明，构建对数函数的学习进阶框架，如表2所示。

2.4  基于学习进阶的对数函数教学设计模型

根据新课标中对数函数的学习目标要求，以及整理出的对数函数学习进阶框架，以“对数函数的性质与图像”这一课时为例，结合学习进阶教学设计模型，优化出基于学习进阶的对数函数教学设计模型，并设置相应的教学活动。教学思路如图2所示。

阶段一：创设情境，引出对数函数概念。教师通过教材“情境与问题”中的碳14问题，引导学生发现死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代这两个变量之间的函数关系;学生结合函数特征，通过自己的思考，把解析式概括为y=logax这样的一般形式，为对数函数的自然引出提供铺垫。通过实例引入，使学生初步建立对数函数模型，同时感受到对数函数与现实世界的密切关联，激发学生的学习兴趣。

阶段二：理解概念，研究对数函数图像和性质。教师给出对数函数的概念：y=logax，其中，a为常数，a>0，且a≠1。并提出问题：在一个对数函数中，自变量的值可以是负数或0吗？学生在教师的引导下，尝试将对数函数转化为指数函数，发现自变量的取值不能小于零，进一步理解对数函数的概念。

教师布置任务：利用描点法，分别作出两个对数函数y=log2x和的图像，结合图像和函数解析式，分析并归纳对数函数的性质。学生自主作图，分组讨论交流，类比指数函数的探究过程，结合图像，总结对数函数在定义域、值域、公共点等方面的性质。教师再引导学生观察底数分别为a>1或0

另外，教师还可利用GeoGebra，展示底数不同的对数函数图像。利用现代信息技术辅助教学，不仅更具动态性和清晰性，还可以让学生直观了解底数不同时对数函数的性质。

阶段三：例题演练，运用对数函数解决问题。教师设置三种类型的例题（比较对数函数值大小、求对数函数的参数范围、定义域和值域），让学生完成后举手作答或进行板演，再对学生的回答予以补充。通过例题的分析与练习，让学生理解对数函数的本质;能用对数函数的性质和“同增异减”原理（应用于复合型对数函数）求解参数范围;明确对数函数有意义的条件，锻炼学生运用对数函数性质解决问题的能力。

阶段四：深入辨析，感知对数函数与指数函数的关系。教师引导学生对比同底数的指数函数和对数函数，初步了解指数函数与对数函数的关系，为反函数的教学奠定基础。

阶段五：反思评价，形成对数函数知识体系。学生从对数函数的概念、性质、图像和相关题型等几方面进行回顾反思，教师最后总结。学生通过整理所学知识，将本节课内容与指数函数、对数建立联系，感受其中的数学思想方法，进一步完善高中函数知识体系，通过自主反思，培养逻辑思维。

3  基于學习进阶的数学教学改革

3.1  有利于教师合理组织教学内容，实现有效教学

学习进阶是在较长时间段里持续对某一主题进行的研究，可以详细展示学生在不同水平下所具有的不同学习表现。因此，教师可以运用学习进阶的研究指导教学，理解学生在不同知识主题下的认知发展过程，正确理解课标并落实课标要求，从而科学合理地制定学生在各个学段的进阶目标，使教学过程更具整体性和连贯性，并能够呈渐进式、阶梯式发展。

3.2  能够促进知识的衔接与整合，有利于学生形成良好的知识结构

数学学习不应浅尝辄止，而应该明确知识之间的联系，理清知识的发展脉络。学习进阶正是使碎片化的知识向完整严谨的科学概念转变的过程。因此，教师可以运用学习进阶进行教学，串联并整合零散的知识点，建立以对数函数为核心的主线，帮助学生建构知识框架，形成更加完善、系统的数学知识结构体系。

4  结语

本文以布卢姆教育目标分类学理论为基础，结合高中数学新课标和人教B版教材，构造对数函数主题的学习进阶，开发对数函数教学设计模型，明确每一阶段的学习目标，有利于学生对知识整体性的把握。通过构建学习进阶来指导教学实践，希望为教师教学和未来学习进阶研究的发展提供帮助。

参考文献

[1]刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）：81-87.

[2]王磊，黄鸣春.科学教育的新兴研究领域：学习进阶研究[J].课程·教材·教法，2014（1）：112-118.

[3]Wilson M R. Bertenthal M W， Board on Science Edu-cation， et al. Systems for state science assessment[M].Washington： National Academies Press，2005.

[4]Duschl， Richard A， Schweingruber， et al. Taking Science to School： Learning and Teaching Science in Grades K-8[M].Washington： National Academies Press，2006.

[5]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美国学习进阶的研究进展及启示[J].外国中小学教育，2015（8）：53-59，52.

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[7]翟小铭，郭玉英，李敏.构建学习进阶：本质问题与教学实践策略[J].教育科学，2015（2）：47-51.

[8]张玉峰.基于学习进阶的科学概念教学内容整合[J].课程·教材·教法，2019（1）：99-105.