非线性三阶三点边值问题多个正解的存在性

张 瑞 燕

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

三阶微分方程在数学和物理学领域应用广泛, 如具有常数或变截面的弯曲梁、 电磁波或重力驱动流等. 三阶边值问题是常微分方程中的经典问题, 对三阶边值问题的研究目前已取得很多成果[1-8]. 例如： Guo等[9]考虑三阶三点边值问题

(1)

其中0<η<1, 1<α<1/η.用锥拉伸与压缩不动点定理得到了如下结果:

定理1[9]设f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈C([0,1],[0,∞))且在t∈[η/α,η]上不恒为零.若f还满足如下条件之一：

1)f0=0,f∞=∞;

2)f0=∞,f∞=0.

Cabada等[10]用不动点指数定理证明了三阶三点边值问题

(2)

至少存在一个正解, 其中λ>0为一个参数,f: [0,1]×3→3为L1-Carathéodory函数, 0<η<1, 1<α<1/η为给定的常数.

由于所用工具的局限性, 文献[9]仅在f(u)超线性和次线性增长的情形下讨论了正解的存在性, 未考虑多个正解的情形, 并且文献[9]和文献[10]中, 1<α<1/η, 即α的取值范围依赖于η.对于α>0, 三阶边值问题(2m-1)个正解的存在性研究目前尚未见文献报道.基于此, 本文考虑更一般的非线性三阶三点边值问题

(3)

多个正解的存在性.本文总假设:

(H1)f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续;

(H2)ρ>0是一个常数;

(H3) 0<η<1,α>0.

1 预备知识

引理1[11]假设X是一个Banach空间,K⊂X是一个锥,T:K→K是一个全连续算子且0

1) ‖Tu‖≤‖u‖, ∀u∈K, ‖u‖=r且‖Tu‖≥‖u‖, ∀u∈K, ‖u‖=R；

2) ‖Tu‖≥‖u‖, ∀u∈K, ‖u‖=r且‖Tu‖≤‖u‖, ∀u∈K, ‖u‖=R.

则算子T有一个不动点u∈K且r<‖u‖

设φ1(t),φ2(t)分别是问题

和

的唯一解.易得

(4)

且φ1(t)在[0,1]上严格递增,φ2(t)在[0,1]上严格递减.

假设：

(H4) 0<αφ1(η)<1.

引理2假设(H2)和(H4)成立,h(t)∈C[0,1], 则边值问题

(5)

存在唯一解v(t), 且

(6)

其中

(7)

v(t)=C1(t)φ1(t)+C2(t)φ2(t),t∈[0,1],

(8)

则有

(9)

解得

(10)

由式(8)和式(10)得

其中

易得

(11)

下面证明由式(6)定义的函数是式(5)的一个解.由于

因此,

又因为

显然有v(0)=0,v(1)=αv(η).证毕.

令‖v‖=v(t0),t0∈(0,1].

下面证明

(12)

结论得证.

引理4假设(H2)～(H4)成立, 则对∀δ∈(0,1/2), 存在0<γδ<1, 使得式(5)的解v(t)满足v(t)≥γδ‖v‖,t∈[δ,1].

证明: 取γδ=min{q(t)|t∈[δ,1-δ]}, 显然结论成立.

引理5[13]假设(H2)～(H4)成立, 且y(t)∈C[0,1], 则问题

(13)

定义集合

显然,K是E上的一个锥.定义算子T:E→E,

引理6假设(H1)～(H4)成立, 则T:K→K是全连续算子.

证明: 下面分两步证明T:K→K是全连续算子.

1) 证明T在K中有定义.显然, 对∀t∈[0,1], 都有Tu(t)≥0, 并且当t∈[δ,1]时, 有

2) 证明T是一个紧算子.由于f(s,u(s))为连续函数, 则对∀s∈[0,1], 存在M>0, 使得|f(s,u(s))|≤M.

先证明Tu(t)在C[0,1]上一致有界.对∀u(t)∈K, 有

所以Tu(t)在C[0,1]上一致有界.

再证明Tu(t)在C[0,1]上等度连续.令t1,t2∈[0,1], 不妨假设t1

2 主要结果

定理1令m∈满足rk+1

(i)f(t,u(t))≥Brk,γδrk≤u≤rk,t∈[δ,1],B∈(Λ1,+∞);

(ii)f(t,u(t))≤ARk, 0≤u≤Rk,t∈[0,1],A∈(0,Λ2).

令u∈K∩∂Ω2,k, 对∀t∈[0,1], 都有u(t)≤‖u‖=Rk.由条件(ii), 可得

2) 令v∈K∩∂Ω2,k+1(k=1,2,…,m-1), 对∀t∈[0,1], 都有v(t)≤‖v‖=Rk+1.由条件(ii), 可得

综上可知,T共有(2m-1)个不动点.

3 应 用

考虑如下非线性三阶三点边值问题：

(14)

其中ρ=1,α=1,η=1/2.不妨取δ=1/4, 经简单计算可得

则

令m∈,α∈,A∈(0,Λ2),B∈(Λ1,+∞), 使得可得rk+1

α-(4k+2)<‖uk‖<α-4k,k=1,2,…,m,

α-4(k+1)<‖vk‖<α-(4k+2),k=1,2,…,m-1.