沪教版高中数学教科书必修第一册的旁白研究*

◎ 韩 粟 华旻珂 杨孝曼

一、引言

我国高中数学教科书历经百年变迁，其变化之大不仅体现在教学内容的精简化上，还体现在教学元素的多样化上，如章引言、正文旁白及阅读材料等元素陆续出现在各版本教科书中，且随着历次课程改革中教科书的更新换代而迭代创新。其中，“旁白”一词原指影视片中的解说词，进入数学教科书后，即指正文的解说词，对知识起解释、说明、补充和拓展的作用［1］，对数学的教与学具有“旁指曲谕”的重要意义。

已有的数学教科书旁白研究主要可以分为四类：对某一版本中旁白的内容分析［2，3］，对不同版本中旁白的比较分析［4，5］，对单个旁白在设计教学时的作用分析［6］以及对旁白在教学中实际运用情况的课堂实录分析［7］。其中，关于旁白功能的研究成果最为丰富，但由于多数研究者习惯根据个体经验界定旁白的功能，主观性较强，因此目前尚未形成统一的数学教科书旁白功能分类框架。此外，已有研究从未涉及沪教版这一主流版本教科书，而沪教版主编在前言中明确指出了边注（即旁白）是各章的主体内容之一［8］。

鉴于此，本研究以沪教版《普通高中教科书·数学》必修第一册中所有旁白为研究对象，尝试重新构建数学教科书旁白功能分类框架，并运用此框架初步分析并讨论沪教版必修第一册中旁白的数量与分布情况，提出运用旁白的教学建议，以期在新教材投入使用之际，为一线教师提供教学参照。

二、框架构建

（一）外观样式

经研究者统计，沪教版必修第一册中旁白共计83处，统计过程中还发现，沪教版中的旁白不是单一的文字边注，除数学家简介（见图1）无框外，其余旁白均被置于框内，框底选用较浅的蓝色，框线选用较深的蓝色，区别仅在于框左上方圆圈内的图示，因此根据图示可以将剩下的旁白分为放大镜框、灯泡框及问号框三种样式，分别如图2、图3和图4所示。

图1 数学家简介

图2 放大镜框旁白

图3 灯泡框旁白

图4 问号框旁白

必修第一册各章旁白数量及样式分布如表1所示。

表1 必修第一册各章旁白数量及样式分布

由表1可知，数量最少的旁白样式为数学家简介，数量最多、分布最广的旁白样式为放大镜框。放大镜图示在网页上通常表示搜索或查找，但作为数学教科书中的旁白标识，是表示拓展正文中的数学知识，是补充生活常识或跨学科知识，还是兼而有之？因此，仅从外观样式上分析数学教科书旁白的作用，很难从中获得更多关于数学知识、数学教学知识的有效信息。为辅助教师有针对性地用好旁白，必须对旁白进行更深入的内容分析，以界定各旁白的内核功能。

（二）内核功能

已有文献中将数学教科书旁白划分为8种类型［9］，分别是名词解释类、解释说明类、补充说明类、提出问题类、点拨提示类、课外拓展类、信息技术建议类以及图片类。除图片类外，基本按照旁白的教学功能进行分类，但各功能定义存在重叠，因此操作性较弱。

鉴于此，研究者首先基于旁白的原始词义，删去了“图片类”，即不再将单一的图片作为一类旁白；其次，为避免旁白类型指代不清，删去了“信息技术建议类”；最后，为增强编码框架的理论性，并从语言维度考察旁白［10］，参考王嵘在百年高中代数教科书变迁研究中界定的旁注概念［1］以及Eisenman的数学教科书话语分析理论［11］，重新构建了数学教科书旁白功能分类框架，如表2所示。

表2 数学教科书旁白功能分类框架

三、研究结果

根据上述框架，研究团队对必修第一册中83处旁白进行了正式编码，编码过程如下：首先将教科书旁白按数量分半，交由两位研究者（编码员）对照框架中的操作性定义进行独立编码，若一位编码员在编码时遇到模棱两可、似是而非等无法判断的情况，则与另一位编码员进行充分讨论，无异议后确定编码。所有旁白编码完成后，由第三位研究者复核编码结果，如遇个别编码处理不当，则与负责该条目的编码员进行商议，最后确定全部编码结果。

（一）统计结果

经统计，必修第一册中不同功能的旁白数量如表3所示。

表3 必修第一册中不同功能旁白数量

由表3可知，必修第一册中数量最多的旁白为补充型，其次为说明型，两者合计占比超过60%，说明编写者会依托旁白这一载体，向读者叙述或解说由正文内容衍生出的数学内容知识，传递其作为某一种数学权威的“声音”［11］。相比之下，有助于增进学生数学学习兴趣、开拓学生跨学科视野的拓展型旁白占比仅为10.84%，点拨提示学生思考的启发型旁白以及承担衔接语篇功能的连贯型旁白更是凤毛麟角。

如图5所示，不同功能旁白在必修第一册各章中分布不均，如第三章“幂、指数与对数”中仅分布着拓展、说明及补充型三类旁白，而第一章中分布着除启发型外的五类旁白。由图5可见，按照表2中的分类框架，仅第五章“函数的概念、性质与应用”中具有极少的启发型旁白。

图5 各章中不同功能旁白分布

（二）初步讨论

虽然在实际教学中，同一处旁白都可能由于教师的数学知识、教学设计理念、学情判断等而显现出完全不同的作用，但是，被划分为同一功能的教科书旁白仍存在一些相通之处，如果教师可以领会甚至超越编写者撰写旁白时的意图和愿景，便可以更精准地挖掘出旁白的教学价值。鉴于此，研究者就连贯型、说明型及拓展型三种旁白如何用于教学进行了初步讨论与分析。

1. 连贯型旁白：连通课堂教学

鉴于连贯型旁白在教科书的语篇结构中发挥着承上启下的功能，因此它们在实际教学中也可以体现同样的妙用。以“1.2.3节充分条件与必要条件”中的一处旁白“下一小节将给出是无理数的证明”为例，教师可以在本节课的尾声处抛出问题“同学们觉得无理数需要证明吗？如果需要，又该如何证明呢？”作为下一节课的预告，引发学生的好奇心和求知欲，甚至能够主动地预习和思考。然后教师再在下一节课中引入这一命题，让学生就课前思考的成果在课堂上进行充分地交流与探究，最后不仅能运用反证法探析、证明命题，还能深刻地体会到“正难则反”的数学证明思想，提升逻辑推理素养，形成理性思维。

2. 说明型旁白：化规定为思索

说明型旁白中一部分为数学中现存的大量“规定”，如第四章中指数函数一节的第一个旁白为“规定指数函数底a>0且a≠1”，对数函数一节的第一个旁白为“规定对数函数底a>0且a≠1”，但这些规定并不是从天而降的。为了让冰冷的规定说明化作火热的学生思考，教师不应成为教科书的“传声筒”，而应当有意识地利用旁白设问启思，让学生在探究中理解规定背后的成因。比如要探讨指数函数的底数按上述规定取值的原因，不妨正难则反，引导学生思考底数在规定外取值时对应的函数。

（1）当a<0时，函数y=ax的因变量将随着自变量的取值变化在x轴上、下方不停地“跳跃”，此时函数图像不是连续曲线。

（2）当a=0时，函数y=ax在x≤0时没有意义。

（3）当a=1时，函数y=ax即y=1，是常值函数，与a>0且a≠1时的指数函数图像明显不同。

基于此，不难想到，为了研究指数函数的单调性等性质，在所有形如y=ax的函数中，只称自变量取遍整个数轴且图像连续的非常值函数为指数函数。而由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数底数的取值范围要和指数函数保持一致。教师在课堂教学中，应该引导学生达到同等乃至更高程度的数学思维水平，这样编写者的规定才会被真正内化为学生自身的数学知识。

3.拓展型旁白：渗透学科德育

必修第一册中3处拓展型旁白为数学家简介，分别为康托、韦达和纳皮尔，但与沪教旧版教科书［12］相比，新版中大大缩短了对数学家工作的介绍。但数学家们在做数学过程中体现的理性、信念、情感与品质，恰恰是数学学科德育的最重要载体［13］。如康托患精神分裂，却敢于处理数学上最棘手的对象——无穷集合，创立集合论，构筑了现代数学大厦的基础；韦达非科班出身，却最早系统地使用符号来表示已知和未知量，将数学带入符号代数时代，终成代数学之父；纳皮尔身逢乱世，却仍用二十年时间致力于简化大数运算，不仅使天文学从中受益，更为数学带来了常用对数。教科书中数学家简介的旁白受限于篇幅，德育之效不免被“浓缩”，但课堂是数学学科德育的主渠道，教师应当有意识地在相应知识处介绍数学家的苦心经营，让学生看到数学是因为人在做而得以不断演进。

此外，在必修第一册中，除数学家简介外，仅一处旁白“例7的证明是历史上著名的一个反证法证明”涉及数学史，这可能是由于编写者倾向于将数学史“打包”后整体呈现在课后阅读材料，而非碎片化的旁白。这便导致函数章中涉及的许多大数学家，如微积分创始人——英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨，使函数被确立为分析学中基本对象的瑞士数学家欧拉等，在教科书中均被一笔带过，而不见其肖像和生平。对此，教师应当发挥教学的能动性，充分挖掘数学家这一数学学科德育元素的独特价值，使得学科德育和课程、教科书及课堂教学真正融合共生。

四、结语

基于对沪教版必修第一册中旁白的分析，本研究发现：在外观上，沪教版中旁白具有数学家简介、放大镜框、灯泡框及问号框四种样式，在内核上，旁白具有连贯、说明、补充、拓展、启发及提问六种功能。按照各功能的操作性定义对沪教版必修第一册中所有旁白进行编码，统计结果显示：补充型旁白数量最多，启发型旁白数量最少，且不同功能旁白在各章中分布不均。需要强调，本研究仅以沪教版必修第一册为载体，尽管作为研究成果之一的数学教科书旁白功能分类框架具有普适意义，但仍需要后续对沪教版其余分册以及更多版本教科书的研究进行检验与支撑。

由于教科书旁白本质上只是正文的注释，所以篇幅都非常简短。但数学教育者必须认识到，教科书旁白的背后不仅是课标规定的数学知识，可能还蕴涵着更深刻的数学原理以及更丰富的数学文化。因此，对编写者字斟句酌、精心编写的旁白，教师应该予以足够的重视，首先认识到旁白具有“旁指曲谕”的教学价值，然后尝试挖掘旁白在具体章节中的教学功能，最后能够适时适度地将旁白融入数学教学中。

从课堂视角来看，对于一些说明型旁白，教师可以告知或引导学生探究其来龙去脉，将教材的数学规定转化为学生的数学理解。而对补充型旁白，教师不应照搬教材话语，而应在“倾听”教材编写者“声音”的基础上，根据学情，向学生“输出”自己的声音。

从文化层面而言，教师可以考虑将拓展型旁白与课后阅读材料结合起来，推动数学文化进课堂走深走实；还可以设计让拓展内容促进课内知识的发生发展，如在介绍德国数学家康托时，除了介绍康托是“集合论创始人”，还可以介绍他当时对集合及集合元素的定义，古今对照，将数学史上集合定义的演变在课堂上凝练、聚焦，让学生感悟数学家为追寻数学真理的辛勤耕耘，从而树立动态的数学观。

从教学话语角度，教师在运用提问型旁白向学生发问时，尽量多使用疑问语气，少使用陈述或祈使语气。虽然这在短期内并不会影响学生的数学学习，但教师话语在一定程度上决定了课堂这一微型社会的权力关系。为将课堂的主动权更多地交还给学生，让旁白发挥“设问、启思、促探究”之效，教师应当于长远处着眼，细微处着力，让旁白不旁落，真正起到旁指曲谕之效。