渗透数学文化 促进立德树人

◎李江华 (江苏省苏州市吴县中学,江苏 苏州 215151)

在苏州市高二年级备课组长会议上，笔者开设了“矩阵的概念”公开课，受到一致好评，现将教学过程呈现给大家，请大家给予批评指正.

1 教学过程：

1.1 问题情境：

1.1.1 引子

视频1：《黑客帝国》片段(时长47秒)

师：剧中的两人在探讨matrix是什么，它神秘且无处不在，由此提出：

问题1.matrix是什么？(板书“matrix”)

视频2：《侏罗纪公园》片段(时长52秒)

问题2：影视传媒中的逼真动画是怎么制作的？

【设计意图】视频1中截取电影的片头以及电影中两个人在讨论matrix的片段，电影片头出现时的背景是大量数字和字母，这为矩阵中的元素只能是数字和字母打下伏笔；视频中讨论的matrix神秘且无处不在，激发学生探索学习的兴趣.视频2中的片段体现了动画的逼真性，影视传媒中的逼真动画是怎么样制作的，激发了学生学习新内容的欲望.

师：接下来这节课将为这两个问题逐步揭开神秘的面纱.

1.1.2 数学文化

师：有同学见过这两幅图吗？

生：没有.

师：相传，大禹治水的时候，有一次在洛河引水疏通河道，从干涸的河底浮出一只可以驮起上百人的巨龟，大禹认为这是一只神龟就将它放生了.不久后大龟腾云驾雾再次来到洛河，将一块光芒四射的古老玉版献给大禹，上面有一幅神秘的图案，这张图称为“洛书”(又称龟书).

在《易·系辞》以及朱熹的《易学启蒙》中都提到过这幅图.因为这两幅图有图无字又神秘难解，人们又把它们叫作“无字天书”，古今中外很多学者都在研究这“无字天书”，不论他们的意见有多大的分歧，但是他们基本认同：“河图洛书”是中国先民思维的结晶，是中国古代文明的一个里程碑，称其为“宇宙魔方”.我国著名数学家华罗庚就曾说过“洛书可能作为我们和另外一个星球交流的媒介”，可以说洛书在数学史上有十分重要的地位.“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央”说的就是洛书，这也说明这些数字排列时是有规律、有次序的.

师：用数字表示出来就是这样一个数字方阵，你能看出它有什么规律吗？

生：横、竖、斜数字相加都是15.

师：当然它的数字规律远不止同学们看到的这么简单，有兴趣的同学课后可以去网络或者其他资料上去查一查“洛书”的数字特征，你会发现还有很多神奇的数字规律.

【设计意图】河洛文化，出现了历史上最早的数阵，有意识地告诉学生，这里数字要讲顺序，为后面矩阵元素讲顺序做好铺垫.通过让学生了解中国古代数学文化，展示中国古代文明的魅力，感受中国文化的优越性，增强民族自信、文化自信，可以立德树人.

师：公元1514年，在德国出现了一幅世界名画《忧郁》，它的作者是一位精通数学的画家阿尔布雷特·丢勒.在这幅木刻画右上角有一个4行4列的矩形数表，这就是数学史上著名的“丢勒幻方”.说到幻方，史学家认为幻方出自中国，源于洛书，到了15世纪才传到欧洲.

这样的数字方阵又被称为“纵横图”或者“魔方”.同学们在生活中还见过哪些类似的数字方阵或者矩形数表呢？

生：随机数表、火车时刻表、数独(备注：教师在这里简单的介绍“数独”的历史，它是源于18世纪初欧拉的“拉丁方阵”)

【设计意图】通过著名的“丢勒幻方”进行中外数学文化的渗透，同时按照时间轴线，将数字方阵演变成矩形数表，这为后面学生利用矩阵解决实际问题做了很好的铺垫，有效突破教学难点.在学生举例 “数独”游戏时，教师进一步介绍其历史，进行数学文化渗透.通过学生举例，培养他们会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界.

1.1.3 学生活动1

活动1.1：将点P(1,3)的坐标表示为矩形数表；

活动1.2：电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表：

初赛复赛甲8090乙6085

请将表中的数据按照原来的位置排成一张矩形数表.

【设计意图】学生通过自己动手表示出矩形数表，体会到数字的顺序性很重要，否则与实际意义不符；也为后面矩阵的具体应用做了一个好的示范，要想表示生活中的矩阵，得到矩形数表是关键，有效突破了教学难点.同时通过活动1.3为后面数学史上产生矩阵的背景做好铺垫，因为矩阵的产生背景正是为了解决线性方程组的问题.

1.1.4 数学史

师：矩阵的英文单词正是前面视频中两位剧中人物探讨的，神秘且无处不在的东西——matrix.

【设计意图】通过数学史的介绍，一方面让学生知道矩阵在历史上产生的过程，了解相关的人和事，起到立德树人的效果；另一方面让学生了解引子中matrix的第一层面纱——中文意思.

1.1.5 学生活动2

师：那么究竟这个神秘又无处不在的矩阵是什么呢？我们今天就来研究矩阵的概念.类比我们在函数中所学幂函数的形式定义，你能给出矩阵的形式定义吗？

【设计意图】通过类比数学家书写的矩阵，让学生完成矩阵的书写，培养学生用数学语言表达世界的能力；同时通过类比幂函数的形式定义，让学生构建矩阵的概念，降低了难度，还让学生体会了概念的生成过程，在这里体现了类比的数学思想.

1.2 建构数学

师：矩阵的概念、表示、书写，矩阵的行、矩阵的列、矩阵的元素等概念(定义略).

思考1：矩阵(a23)与矩阵(a32)一样吗？

思考2：对于m×n矩阵，有多少个元素组成？

试一试：将前面的洛书的数字方阵和丢勒幻方表示成矩阵.

【设计意图】把教材中概念的顺序重新梳理，将第二种表示方法放在行、列、元素概念之后讲解，更符合逻辑顺序，更有利于学生的理解；通过两个思考题加深同学们对概念的理解，通过试一试让学生进一步体会矩阵的内涵.

1.3 数学运用

例1用矩阵表示下图中的△ABC，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0).

例2某种水果的产地为A1,A2,销地为B1,B2,请用矩阵表示产地Ai运到销地Bi的水果数量(aij)，其中i=1,2,j=1,2.

B1B2A1a11a12A2a21 a22

拓展请根据游戏“剪刀、石头、布”游戏的规则，做出一个三阶矩阵(胜用1表示，负用-1表示，平用0表示).

思考生活中有哪些问题可以用矩阵来表示？请列举几个，并和同学交流.

【设计意图】例1，例2中用矩阵表示实际问题是本节课的难点，通过前面的铺垫，学生很容易将问题转化为矩形数表，进而得到矩阵，有效地突破教学难点.其中例1体现了数形结合思想，例2与拓展培养学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

1.4 数学再建构

师：刚才例2拓展中有没有同学得到的答案不一样？他们是相等矩阵吗？ 是不是两个矩阵中的元素相同时，矩阵就相等呢？

师：由此我们可以给相等矩阵下个定义了(定义略)，其中行数和列数都相同的矩阵我们把它叫作同型矩阵.

1.5 数学再运用

练习

1.设矩阵A为二阶矩阵，其元素满足aij=-aji,i=1,2,j=1,2,a12-a21=1，试求A.

2.下面是由4个点A,B,C,D和连接它们的一些线组成的一个图.试用矩阵M表示这4点间的直接连线条数(说明：同一个点之间的直线条数为0，如A到A之间直线条数记为0).

【设计意图】通过例3加强学生对相等矩阵概念的理解，通过两个练习体会矩阵的应用，练习2是著名的七桥问题，利用数学名题目进行文化渗透.

1.6 数学再建构

师：我们知道数字中最特殊的一个数是什么？

生：0.

师：类比数字中特殊的数0，矩阵中会不会也有一个类似特殊的矩阵呢？你会定义吗？

生：零矩阵，所有元素都是0的矩阵.

师：非常好，请注意它的写法.

思考0矩阵都相等吗？

生：不是的，要看行和列.

【设计意图】因为这个概念比较简单，故在课堂最后的时候呈现这个概念，通过类比学生很容易给出定义，体现了类比思想.

1.7 课堂小结(略)

1.8 课堂结束语

师：我们身边的矩阵：

李开复在卡内基·梅隆大学攻读博士时，用隐马尔可夫模型开发了语音识别系统，将英文识别率提升到96%左右，并且由此荣获了1988年《商业周刊》授予的“最重要科学创新奖”.目前计算机处理的都是数字信号，而信号在计算机中就是以矩阵的方式存储的，常见的语音信号就是一个一维矩阵，图像信号就是一个二维矩阵，视频则可以看成是由一帧帧的图像所组成的三维矩阵.动画为什么这么逼真，是因为用到了矩阵的乘法，动画背后就涉及数量惊人的矩阵运算，引子中的两个问题的神秘面纱终于揭开了.

最近，在上海举办的第94期院士沙龙“人工智能助力城市安全”专题活动中，徐匡迪院士呼吁更多的数学家投身到算法研究中去.因为人工智能的基石是数学，其核心是算法，而算法中最基本的运算是矩阵运算.希望同学们学好矩阵，学好数学，将来为我国的人工智能助力，为我国的科技发展助力.最后送大家一句培根的名言——数学是打开科学大门的钥匙.

【设计意图】首先在结构上与本课的引子相呼应，保持结构的完整，其次通过了解矩阵在我们身边的具体应用，进一步激发学生学好矩阵，学好数学的兴趣，最终达到立德树人的效果.

2 教学感悟

(1)以课堂为载体渗透数学文化

课堂教学是学生学习知识的主要途径，对数学文化的学习，应更多地体现在课堂教学之中.正如张奠宙先生所说“数学文化必须走进课堂”，数学的文化内涵往往以潜移默化的形式存在，只有教师有意识地将文化观念渗透于数学课堂教学之中，才能让学生感悟这种“看不见的文化”.[1]数学文化融入数学课堂教学现状不容乐观，大部分教师都是按照课本的要求进行教学，很少有教师寻求这一部分知识在历史上是怎么出现的.著名数学家柯朗在《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机.数学教学优势竟变成一种空洞的解题训练.数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系.”数学的文化教育价值在中学数学教学中没能充分体现出来，我们只是教给学生知识的结果而忽略了知识的生成过程，这样的知识体系就是无根之木，无源之水.[2]因此在数学课堂中，进行数学文化与数学教学的结合研究是非常必要的.本节课笔者的设计意图是从上古时期“河洛文化”的数字方阵开始，演变到16世纪的“丢勒幻方”，再到19世纪矩阵的产生，进而让学生构建矩阵的概念.

(2)以数学文化为抓手进行德育教育

当前，我国的数学课程标准开始强调过程性课程目标(问题解决、强调体验、数学思考)，强化学生的个性发展，同时关注学生的数学应用能力，而不是局限于对静态知识的记忆和模仿.面对新课标，我们教师也要改变教育理念，教学方法.当今国际数学课程普遍重视数学课程应具有的数学文化价值，重视学生人文教育，关注学生的“人文双基”教育，关注学生的情感、态度、价值观教育，这要求教师在教学中渗透数学文化，为学生的健全人格的培养提供有力的支撑，为培养新时代的创新型人才提供可能.[3]本文通过文化背景介绍，让学生明确矩阵的发展阶段，并从历史的角度明确矩阵的来源和应用，为学生的深刻认识做好铺垫.从矩阵产生的历史，联系到课堂学习内容，进一步激发学生学习的兴趣.最后与学生分享成功者的事例，让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，提高学生的文化素养，这样就把数学文化的理念扎扎实实落实到课堂教学中.