巧用“画图”解题,让初中数学课堂更精彩

◎张小娟 (江苏省扬州市邗江区杨庙镇中心中学，江苏 扬州 225125)

引 言

初中数学包括很多的图形内容.“数与代数”中有函数图、数轴图、统计图、概率图等，“空间和图形”就更离不开图形了.学生在解决数学问题时，不但要把问题中的图读懂，同时还要会画图和尺规作图.在数学中，画图解题是一种有效的方法，是把数学的基础知识、技能、逻辑思维和方法结合起来的一种解题方式.教学中，教师应该应用有效的教学方法，注重学生画图解题能力的培养，进而不断地提高学生对数学课堂的喜爱程度.

一、培养学生审题习惯

在教学过程中，教师应该培养学生认真审题的好习惯.审题是解数学题的基础也是关键，通过审题学生可以找到解题的思路和方法.因此，在解题的过程中，教师应该引导学生找出问题中的已知条件以及需要解决的问题，这样学生在做题时才可以充分地把握题意，有效提高解题效率.

二、数学问题中的画图分类

(一)辅助图和结果图

辅助图形在解题中起到辅助的作用，它可以让问题清晰直观地显现出来，可以帮助答题者更快地理解问题、分析问题以及解决问题.在做选择题、填空题的时候画的图形都是辅助图形.

结果图是在答题时作为答案的一部分保留下来的图形.结果图通常用在几何题及函数题中，使用图形来解答问题，需要保留一些必要的文字说明.

(二)准确图和示意图

所画图形根据准确程度不同，可以分为示意图和准确图.用刻度尺、三角板和量角器等画出的和题中所给的信息相符的图形，是准确图.示意图是简单明了、突出重点、忽略次要细节的图，一般情况下画示意图不用画图工具.

画准确图费时但准确，画示意图省时但不够准确.

(三)一般图和特例图

一般图指一般情况下所画的代表图形.在解题时通常要画一般图，它可以用来解决计算与推理证明问题.特例图指在特殊的情形下画的图形.特例图可用于问题的探究猜测，并且可以得出结论.

三、画图解题能力的培养

(一)形成意识——知道画

解决数学题时有两种情况需要画图：一种是分析文字，画图作为解题基础；另一种就是根据文字要求去画图.

例1关于x的不等式2x-a<6有三个自然数解，求a的取值范围.

本题借助数轴可以直观解答，体现了数形结合思想在解题中的作用.教师在教学中，要培养学生数形结合的解题思维.

(二)理解概念——正确画

有些题目涉及较多概念，只有正确理解概念，才能正确画图.

例2直升机在海拔500米的高空飞翔，测量出甲、乙两船的俯角分别为45°和30°，甲、乙两船分别在正西、正东方向，直升机与甲、乙两船在同一垂面内，甲船与乙船之间的距离是多少？

根据题意，正确理解题目中的俯角、同一垂面等概念，才能画出符合题意的图形.理解概念画图，是将文字转换成图像.因此，运用几何方法解题就是对文字和图形进行双向转换,可以辅助学生更好地解题.

(三)巩固技能——熟练画

根据教材要求，明确指出学生需要掌握的一些基本画图技巧.教学过程中，让学生熟练掌握常用的画图技巧，可以使学生在做画图题时更轻松一些.

例3已知线段b.

1.使用不带刻度的直尺与圆规，做出一个直角三角形ABC，AB与BC是△ABC的两条直角边，让AB=b，BC=12b(保留做题痕迹，不写作法)；

2.在1中的直角三角形ABC中，如果AB=4 cm，请计算出AC边上的高.

根据题目要求，按照作图的三个基本要素画出一个精确图，学生在完整作图的基础上要熟练掌握作图的技巧和方法.

在画图任务中，也存在一些特殊情况，不能直接使用画图技巧，这对于学生而言会有些困难.

例4如右图，MN是一条直线，点A在直线MN上，点B在直线MN外，如果在MN上存在一个点P，要使△ABP为等腰三角形.请问，这样的点P有多少个？

以某条线段为一边做等腰三角形，该类题型有固定的画图步骤：(1)把AB当作底边时，画出AB的中垂线，中垂线与直线MN的交点为所求点.(2)把AB当作腰时，分别以点A、B为圆心，AB长为半径，画出一个圆，圆与直线MN的交点为所求点.

(四)图感准确——快速画

图感是对图形的感知和认知达到的熟练程度，良好的图感能够帮助学生更快更准确地画出示意图.

例5在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点P是△ABC内的一点，并且点P到A,B,C的距离都相等，试判断△PBC的形状.

从课堂学生画图的表现来看，大多数学生是可以画出示意图的，但是示意图的准确性不高.学生画出的示意图准确性越高，解出题目的时间就越短.导致示意图不标准的原因在于∠A的度数不标准，PA,PB及PC之间的长度关系不准确.对线段的长度和角度把握不准确，画出的示意图就会不标准，这就影响到学生的解题思路，降低解题效率，甚至导致解答错误.

从简单的图形位置和大小形状开始，让学生多多练习，提升学生观察图形的能力，以此来培养学生的图感，提高解题效率.

(五)围绕目标——合理画

画图的主要目的就是提供更好的解题思路，不同类型的图能够提供不同的解题思路.

例6已知△ABC，∠B与∠C的外角平分线相交于D点，∠A的度数为40°,求∠D.

解该题目时可以画一般图，然后按照三角形外角与内角之间的关系，通过推理运算，求出∠D的度数.也可以画特例图，比如∠B为90°，那么每个角的度数都能够很容易知道.还可以画准确图，画好之后再进行测量，能够知道∠D的度数.但是，这样比较浪费时间，还不一定能够准确知道角的度数.因为该题目为填空题，通过特例图能够快速求出∠D的度数.若它是一道解答题，则需要画出一般图.所以，老师要让学生学生按照不同的题目类型画不同的图，还要让学生懂得忽略无关紧要的因素，抓住重要条件来进行画图.

例7抛物线y=x2+2x-1上有点(-3.5，y1)，(1.23，y2)，(π，y3)，比较y1,y2,y3的大小.

解决此类问题,画示意图比较好，只要确定抛物线的开口方向和对称轴所处的大体位置，就可以很快地解出该题目.抛物线顶点的坐标和位置以及抛物线的形状的准确性可以不考虑.教师既要让学生养成围绕解题目标合理画图的好习惯，又要让学生通过不断训练形成会忽略无关紧要因素的技能.

(六)考虑周全——完整画

需要进行画图的题目，主要有两种：(1)对学生画图的能力进行锻炼并考查的题目；(2)图形复杂多样，解题思路不唯一的题目.所以，教师需要让学生在画图过程中考虑一种题目多个图形的可能.

例8两个圆相交，其公共弦长为24米，两个圆的半径分别是13米与15米，求两个圆心之间的距离(即圆心距).

解该题时要具体考虑两个圆心和公共弦所处位置关系，学生在做该类题目时往往会遗漏两个圆心在公共弦同一侧的情况.该题目的特点是同一条件对应不同的图形，在初中数学教学中，可把该类问题归纳成专题，通过专题训练促进学生形成良好的画图解题习惯.

(七)画图能够促进分类思想的形成，保证思维训练的完整性

分类思想指的是我们研究的问题包含很多种情况，需要对所有可能出现的情况进行分别探讨，并得出不同的结论.通过画图可避免出现重复、遗漏等问题，保证思维训练的完整性.下图是由许多边长为1厘米的菱形构成的网格，菱形的一个角的度数为60°，P点为一个格点，以点P为直角顶点画出直角三角形，请计算出直角三角形的斜边长.

该题目以学生熟知的图形为基础，让学生通过动手操作，找出以点P为直角顶点的所有情况.画出图形可以更简便有效地解答该题目.

四、总结

画图可以开发学生的智力，提高学生的分析思考能力.因此，在初中数学课堂中教师要培养学生通过画图来思考问题的能力，促进学生数学成绩的提升.