从“得意忘形”到“由数思形”——以“鸡兔同笼”教学为例

◎陈金樱 (福建省闽清教师进修学校，福建 福州 350800)

平时学习中多数学生缺乏图形意识，当一个问题用算术或代数方法解决之后，更是“得意忘形”，不会思考问题是否蕴含图形背景，能否用图形另辟蹊径.因此在解决问题之后，教师应提醒学生不要“得意忘形”，还要“由数思形”，能根据数式结构特征，类比联想相关基本图形，构建图形再探解题思路.

一、教学案例

1.问题再现

笼子里有若干只鸡和兔.从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.鸡和兔各有几只？

2.问题探究

师：“鸡兔同笼”问题我们已用算术方法解决过，能否用图形的方法进行研究呢？

生：哪有图形啊.

师：怎样计算鸡、兔的总脚数？

生：鸡的只数×2+兔的只数×4.

师：请大家考虑能否用图形表示“鸡的只数×2+兔的只数×4”？

生：(一片茫然，把求助的目光投向教师).

师：“鸡的只数×2”表示两个数相乘，在熟悉的图形中有没有哪个与两个数相乘有关？

生1：长方形面积等于长×宽.

师：真棒！通过类比，联想到长方形，请大家画出相关的长方形.

生：如图1.

师：为了更好地理解题意，请同学们把相关量标注在图形中.

生1：如图2.

师：如何体现鸡、兔共35只？

生2：把两个长方形的长相加.

师：怎样相加，图形要怎样放置？

生2：把两个长方形拼接在一起，如图3.

师：好漂亮的图形！请同学们观察图形，看看能发现什么？为便于表述老师把长方形顶点标上字母，如图4.

生3：发现DG=CG-CD=4-2=2.

师：还发现了什么？有没有哪些图形面积是可求的？

生4：BE=35，AB=2,以BE，AB为边的长方形面积可求.

师：由此还可求什么图形的面积？

生5：如图5，长方形ABEH的面积为35×2=70，从而长方形DHFG面积=长方形ABCD面积+长方形CEFG面积-长方形ABEH面积=94-70=24.

师：求兔的只数就是求CE或GF.

生5：GF=长方形DHFG面积÷DG=24÷2=12,即CE=12,所以BC=23,鸡、兔分别为23只和12只.

生：(掌声雷动).

生6：如图6，BE=35，EF=4，长方形BEFH的面积为35×4=140，从而长方形ADGH面积=长方形BEFH面积-(长方形ABCD的面积+长方形CEFG面积)=140-94=46，AD=长方形ADGH面积÷DG=46÷2=23，即BC=23，所以CE=12，鸡、兔分别为23只和12只.

师：同学们太了不起了，通过画图“看”出结果来！数学家认为：“数学结论是看出来的，而不是算出来的”，今天你们都是数学家！

生：(激情绽放).

师：能否用面积表示鸡、兔的只数？鸡的只数=鸡的只数×1，兔的只数=兔的只数×1.

生7：鸡的只数=鸡的只数×1，兔的只数=兔的只数×1，根据算式长方形的宽为1，如图7，H、M分别为AB、CD中点，则长方形BCMH面积等于鸡的只数，长方形CENM和长方形MNKD的面积都等于兔的只数.

师：能求出长方形BCMH和长方形MNKD的面积吗？

生7(经过3分钟考虑)：长方形BCMH面积为长方形BCDA面积的一半，长方形CEKD面积为长方形CEFG面积的一半，所以长方形BCMH的面积+长方形CEKD的面积=94÷2=47,从而长方形MNKD面积=47-长方形BENH面积=47-35×1=12，长方形BCMH面积=长方形BENH面积-长方形CENM面积=35-12=23,所以兔的只数为12，鸡的只数为23.

师：生7你是这节课的首席数学家！

3.模型揭示

师：大家用算术方法解决“鸡兔同笼”时是假设笼子里都是鸡或都是兔，其几何模型就是图5、图6.古人假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚的方法的几何模型就是图7.图形让抽象复杂的问题变得直观明了.

生：图形真神奇！

4.变式巩固

王老师购买5本相同的文艺书和3本相同的科技书，已知购买文艺书比科技书多花了32元，文艺书的单价比科技书贵4元.文艺书和科技书的单价各是多少元？

教师引导学生探究如下：

书的费用=书的本数×书的单价，由此联想长方形.如图8，长方形ABCD，AB=5,AB表示文艺书的本数，AD表示文艺书的单价.由于文艺书费用高于科技书，因此在长方形ABCD内作长方形EBFH，使EB=3，EB表示科技书的本数，BF表示科技书的单价.可知FC=4，AE=2，可求长方形HFCG面积为3×4=12.所以长方形AEGD面积=(长方形ABCD面积-长方形EBFH面积)-长方形HFCG面积=32-3×4=20，AD=长方形AEGD面积÷AE=20÷2=10,所以文艺书单价为10元，科技书单价为6元.

5.归纳总结

师生共同回顾本课学习过程.

(在掌声、笑声和下课铃声中师生互道“再见”.这种“再见”不仅是礼仪用词更是学生心语，是孩子对数学学习的殷切期盼.)

二、教学感悟

教学中要求学生解决问题后不要“得意忘形”，还要“由数思形”，不断提高图形意识，能由数式联想相关的基本图形，掌握图形建构的基本经验和路径.

1.提高图形意识

平时学习时多数学生缺乏图形意识.有些学生遇到问题无从下手，苦咬笔头，思路茫然，就是不会尝试画图思考，有些学生是当教师要求画图时才画图.教师要利用教材，挖掘典型的几何直观运用的素材，通过不同解决方法的对比，使学生真切体会到运用图形对理解概念、寻求解题思路所具有的优越性，让学生从小养成心中有图、识图用图、画图构图的好习惯.平时教学中要求学生要注意思考：能否利用图形理解数学本质？能否利用图形描述和分析问题？能否利用图形记忆所得结果？能否利用图形梳理知识结构？能否利用图形进行归纳总结？特别是当问题解决之后，教师提醒学生不要“得意忘形”，要思考能否“由数思形”，构建图形寻求解题思路.总之，图形思想要贯彻于整个学习过程，不断提高识图、用图、画图、构图的意识.

2.联想基本图形

图形建构具有较大的挑战性，它是建立在基本图形的基础上.“由数思形”即根据数式结构特征，类比联想相关基本图形，它是图形建构的关键.在用图形解决“鸡兔同笼”问题后，为避免“只见树木不见森林”，要进一步概括“由数思形”的问题情境.一般情况下，在小学阶段涉及面积的问题，可联想平面几何图形，如平行四边形(特别是长方形和正方形)、三角形(特别是直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)、梯形、圆等基本平面几何图形；涉及体积的问题，可联想立体几何图形，如长方体(含正方体)、圆柱、圆锥、球等基本立体几何图形；涉及数的运算或数量关系的问题，可联想线段图、方格图、点子图、数轴等图形；涉及二组及以上的数量，寻找数量间关系的问题，可联想表格；涉及描述数据分布或变化情况的问题，可联想统计图，如条形图、扇形图、折线图等基本统计图；涉及两组变量成正相关或负相关的问题，可联想正比例或反比例关系图像；涉及内容编排或内容结构的问题，可联想流程图或结构图；涉及逐级展开的问题，可联想树状图；涉及二元一次方程的问题，可联想用□，△，○等符号表示未知量.

3.总结构图经验

数学教育家、新课标主编史宁中教授认为：“经历过程之后，要让学生感悟数学的本质，积累思维的经验和做事的经验.仅仅经历过程是不行的，还要让学生理解数学本质，感悟数学思想”.在用“由数思形”解决“鸡兔同笼”问题后，教师要引导学生总结其思维历程：①根据题意列出鸡、兔总的脚数“鸡的只数×2+兔的只数×4”.②根据式子“鸡的只数×2”“兔的只数×4”“鸡的只数=鸡的只数×1”“兔的只数=兔的只数×1”结构特征，类比联想到长方形，即“由数思形”.③为体现“鸡、兔共35只”把两个长方形拼在一起，构建出图形.④在构建的图形中发现相关长方形的面积和边长，进而求出鸡、兔的只数，即“以形助数”.从中让学生感悟“数形结合”的数学思想，体会数学家希尔伯特的名言“算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式，没有一个数学家能缺少这些图像化的公式”.由“鸡兔同笼”教学案例，总结出一般数量问题“由数思形”构建图形解决的经验路径：