2021年高考“平面向量”专题命题分析

2021-09-17范美卿邹发明张晓斌

中国数学教育（高中版） 2021年8期

范美卿邹发明张晓斌

摘要：2021年高考数学“平面向量”试题，突出考查平面向量的基本概念、基本运算、基本性质、基本方法、基本应用等，充分展现向量具有的方向与大小的二维特征、几何与代数结合的特点、直观与抽象结合的特性，凸显新高考着眼对必备知识、关键能力、学科素养、核心价值考查的特色，既服务于选才，又引导高中数学教学重视数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，关注学生数学学科核心素养的培育.

关键词：2021年高考;平面向量;命题分析

高中数学课程中向量的学习，有助于学生认识代数与几何的联系，能促进学生数学学科核心素养的培育及应用能力的提升，是培养学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的重要载体.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量是描述直线、平面、曲面及高維空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用. 向量既具有方向与大小的二维特征，又可以通过平面的二元有序数组（二维坐标）、空间的三元有序数组（三维坐标）来表示，进而为未来高维空间的数学问题学习做好铺垫. 学生容易通过向量的几何表示（即有向线段的图形）认识向量的方向与大小，但从二元有序数组[x，y]中认识向量的方向与大小是有一定难度的. 只有解决“数”与“方向和大小”的问题，才能为学生认识三元有序数组[x，y，z]和[n]元有序数组[x1，x2，…，xn]的方向和大小问题打下坚实基础. 平面向量内容让代数与几何有机联系，与函数、三角函数、复数、立体几何、解析几何、不等式等主干内容紧密相关，重要性不言而喻. 在2021年高考数学平面向量试题中，更多考查向量的基础性、工具性作用，考查学生从多个角度、灵活多样思考与解决此类问题的不同方法，考查转化与化归、数形结合、函数与方程等重要数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识、数学方法的能力，显现高考试题的选拔功能. 同时，还通过高考试题引导平面向量教学回归到对向量本质属性的认识.

一、考查内容分析

1. 题型、分值合理分布，考点熟悉稳定

综观2021年高考数学平面向量试题，除了空间向量在立体几何中的应用及平面向量在解析几何中的应用外，一般都保持一道客观题、分值为5分的考查风格，独立考查向量的基础知识或考查向量与其他知识之间的有机联系. 与近几年的高考试题比较，2021年的平面向量试题有很强的稳定性. 在解答题中仅以平面向量的条件表述考查平行、垂直、角度、距离等几何关系，或以空间向量为工具，在立体几何试题中考查空间位置及数量关系，中规中矩、波澜不惊. 具体如下表所示.

[试卷题号分值知识点全国甲卷文科 13 5 数量积求向量模理科 14 5 数量积运算、垂直关系求参数的值全国乙卷文科 13 5 数量积运算、平行关系求参数的值理科 14 5 数量积运算、垂直关系求参数的值全国新高考Ⅰ卷 10 5 向量的模、数量积运算 12 5 向量基本定理、数量积运算、向量关系全国新高考Ⅱ卷 15 5 向量的模、数量积运算浙江卷 3 5 数量积运算、垂直关系、相等向量 17 5 数量积运算、投影概念北京卷 13 5 向量的和、数量积的坐标运算上海卷 4 4 数量积运算天津卷 15 5 向量的平行、垂直、和、数量积、模 ]

2. 侧重考查主干知识，设问常态基础

2021年高考数学平面向量试题，重点考查平面向量的概念，平面向量的和、差、数乘、数量积运算，两个向量的共线与垂直关系，向量表示，向量基本应用等主干知识，方法常规、入手容易，尽显基础题特点，即便在解析几何解答题中呈现几何关系的向量表达，或者应用于立体几何，呈现空间向量在垂直、平行、夹角、长度的应用，无一例外都考查了向量的主干知识，不偏不倚，体现出向量的基础性、工具性作用. 例如，全国甲卷文科第13题、全国甲卷理科第14题、全国乙卷文科第13题、全国乙卷理科第14题、北京卷第13题、上海卷第4题等，都具有上述特点.

3. 适当与其他知识融合，应用全面广泛

由于平面向量具有代数与几何的双重特性，与函数、方程、不等式、立体几何、解析几何等知识都可以建立有机联系，使得平面向量与这些内容之间有高度的融合性. 试题以向量形式呈现，进一步考查学生对函数、方程、不等式等知识的理解与应用. 例如，全国新高考Ⅰ卷第11题、浙江卷第3题和第17题、上海卷第20题等. 特别是向量知识在平行、垂直、夹角、长度等的位置或数量关系中，有极其重要的应用价值.

4. 代数和几何各显神通，解法创新多样

平面向量问题既可以用代数方法通过运算求解，也可以用几何方法借助图形分析，具有很强的灵活性. 2021年高考数学平面向量试题，一如既往地结合选择题、填空题的解题特征，为学生多角度创新解决问题提供了可能. 用几何手段研究平面向量问题，对学生的数学建模、直观想象、逻辑推理能力要求较高，要求学生能在向量的模、夹角、平行与垂直、数量积中准确找出平面中相关对象的位置关系与数量关系. 用代数手段研究平面向量问题，对学生的数学运算、数学抽象能力提出要求，要求学生能准确运算并合理检验，甚至要求学生能利用代数结果反思位置关系. 试题凸显向量在解决代数、几何中的桥梁作用. 总体来看，2021年平面向量部分高考试题基本上都以常见的问题解决为目标，不刻意设置障碍，没有深入的逻辑思维与繁杂的等价转化.

二、命题思路分析

2021年高考数学平面向量试题，以向量的代数或几何表示为载体，突出考查数学基础知识、基本技能和基本思想，检查学生对平面向量基本概念、性质、基本运算的掌握情况，突出通性、通法，以及概念理解和数学运算，让学生体会高中主干知识间的内在联系，并适当推陈出新.

1. 基本运算，大显功力

例1 （北京卷·13）已知向量[a，b，c]在正方形网格中的位置如图1所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则[a+b · c]的值为 ;[a · b]的值为 .

答案：0;3.

【评析】以坐标表示的平面向量加法、数量积基本运算，考查学生对向量代数运算的理解与熟练程度，体现数学运算的基本要求，为容易题.

例2 （全国甲卷·文13）若向量[a，b]满足[a=3]，[a-b=5]，[a · b=1]，则[b]的值为 .

答案：[32].

【评析】以向量的模及数量积为载体，考查学生的基本运算能力，学生需要理解向量的模与数量积的关系，进而通过准确计算得到正确答案;或者通过向量和、差运算的几何特征，探求[a]，[b]，[a+b]，[a-b]四者在平行四边形法则中的联系，认识数量积在四者之间的桥梁作用，[a · b=12a+b2-a2-b2=-12a-b2-a2-b2]. 通过此题，可以检测学生对向量的模及数量积概念的熟悉程度，有助于考查学生的运算能力和逻辑推理能力，为容易题.

例3 （全国新高考Ⅱ卷·15）已知向量[a+b+][c=0]，满足[a=1]，[b=c=2]，则[a · b+b · c+c · a]的值为 .

答案：[-92].

【评析】以三个向量的和与向量的模为载体，考查学生通过类比三数和的完全平方公式，认识向量和与数量积之间的基本关系，是例2（全国甲卷文科第13题）的“升级版”，深入考查向量模与两个或多个向量的和、差的模及数量积的关系，考查基本运算. 试题条件与结论特征明显，思路顺畅，方法探求直接，有助于考查学生的运算能力和逻辑推理能力，为容易题.

此题也为学生用代数方法进行常规解答提供了多种可能，除了可以类比三数和的完全平方公式，也可以将条件转化为[a+b=-c]，统一成“[a=1]，[b=2]，[a+b=2]，求[a · b]”这一常见类型. 试题考查学生从整体或局部的眼光审视条件，借用方程消元的方法，对[a · b]，[b · c]，[c · a]的值各个击破，体现局部与整体思维的有机统一. 作为填空题，此题也让学生在构造特殊向量、建立几何模型上有很大想象空间，体现创新性.

例4 （上海卷·4）如图2，正方形[ABCD]的边长为3，则[AB · AC]的值为 .

答案：9.

【评析】此题考查数量积的基本运算，学生可从数量积的几何意义、向量的坐标运算、基向量转化等方面多角度思考，考查基础知识与基本方法，题目较易，解决方法较多.

2. 平行垂直，各有担当

向量“数”“形”兼备，从“形”的角度立意，考查“数”的运算，是高考平面向量试题的常见考法，通过“数”的运算，降低了直观认识向量关系的难度，为用代数方法研究几何问题提供了良好工具. 向量具有线性几何特征，更便于从平行、垂直、角度、距离等视角命制试题，2021年则重点围绕两个平面向量的平行与垂直命制试题，以填空题的形式为主.

例5 （全国乙卷·文13）已知向量[a=2，5]，[b=λ，4]，若[a]∥[b]，则[λ]的值为 .

答案：[85].

【评析】以两个向量的共线关系为载体，考查学生对共线向量的充要条件的识记、向量的坐标形式（代数表达）的基本运算，考查学生的运算能力，为容易题.

例6 （全国乙卷·理14）已知向量[a=1，3]，[b=3，4]，若[a-λb]⊥[b]，则[λ]的值为 .

答案：[35].

【评析】此题是例5（全国乙卷文科第13题）的姊妹题，以两个向量的垂直关系为载体，考查学生对垂直向量的充要条件的识记，以及向量的坐标形式（代数表达）的差、数乘、数量积的基本运算，考查一元方程求解，为容易题.

例7 （全国甲卷·理14）已知向量[a=3，1]，[b=1，0]，[c=a+kb]. 若[a]⊥[c]，则[k]的值为 .

答案：[-103].

【评析】此题与例6（全国乙卷理科第14题）有异曲同工之妙，以向量的垂直关系为载体，考查学生对两个向量互相垂直的充要条件的识记，以及利用两个向量的坐标形式（代数表达）計算其和、数乘、数量积的基本运算，考查学生的运算能力，为容易题.

3. 融会贯通，推陈出新

例8 （全国新高考Ⅰ卷·10）已知[O]为坐标原点，点[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β]，[A1，0]，则（）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

答案：AC.

【评析】以多项选择题的形式，以两角和的余弦公式推导的几何背景，考查学生对三角函数、平面向量的综合问题的分析与解决，涉及两角和（或差）的余弦公式、两个平面向量的数量积、向量的模等基本概念与基本运算. 试题聚焦知识的交会点，将多个知识点融会贯通，设问新颖，综合性较强，难度适中，综合考查学生应用数学建模、直观想象、数学运算素养分析问题和解决问题的能力. 此题在熟悉中带着浓浓的新鲜感，令人眼前一亮，对高中数学教学有很大的引导意义，引导数学教学要钻研教材、回归教材.

例9 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，则“[a · c=b · c]”是“[a=b]”的（）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

答案：B.

【评析】用向量的数量积相等考查向量垂直、向量相等的充要条件. 要求学生准确理解平面向量的概念与运算，正确区分向量运算法则与实数运算法则的异同，结合充分条件、必要条件考查推理的严谨性，在试题中可以找到数学建模、数学运算、逻辑推理的影子，体现综合性，属于容易题.

例10 （天津卷·15）在边长为1的等边三角形[ABC]中，点[D]是线段[BC]上的动点，[DE⊥AB]且交[AB]于点[E]，[DF∥AB]交[AC]于[F]. 则[2BE+DF]的值为 ;[DE+DF · DA]的最小值为 .

答案：1;[1120].

【评析】此题以平面几何为背景，以平行、垂直、角度、长度关系为载体，考查学生两个向量的和、数乘、数量积、模的运算. 题目条件较多，关系也较为复杂，解决问题的手段多样，给学生很大的发挥空间. 通过动点的巧妙设置考查学生建立函数模型，并在一定范围内求解函数最值，对学生的运算能力、建模能力、分析及解决问题的能力要求较高，为中档题.

例11 （浙江卷·17）已知平面向量[a，b，c]（[c≠0]）满足[a=1]，[b=2]，[a · b=0]，[a-b · c=0]. 记平面向量[d]在[a，b]方向上的投影分别为[x，y，d-a]在[c]方向上的投影为[z]，则[x2+y2+z2]的最小值为 .

答案：[25].

【评析】此题打破常规，考查向量投影的概念与计算方法，要求建构三元等式关系，并能利用得到的等式灵活求解三元表达式的最值问题，体现出代数运算在平面向量问题求解过程中的强大功能. 知识点涉及平面向量、函数与方程、不等式等，综合性、灵活性都较强，需要学生全面而综合地考虑问题，对观察与分析、数学模型建立、多变量运算、转化与整合等方面的能力提出较高要求，属于较难题.

4. 立足几何，首当其冲

例12 （全国新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=AA1=1]，点[P]满足[BP=λBC+][μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，则（）.

（A）当[λ=1]时，[△AB1P]的周长为定值

（B）当[μ=1]时，三棱锥[P-A1BC]的体积为定值

（C）当[λ=12]时，有且仅有一个点[P]，使得[A1P⊥BP]

（D）当[μ=12]时，有且仅有一个点[P]，使得[A1B⊥⊥]平面[AB1P]

答案：BD.

【评析】此题以立体几何为载体，将平面向量问题深入拓展到空间向量问题，考查利用向量的加法、减法、数乘、数量积运算，向量的坐标运算，平面（空间）向量基本定理等解决空间中的长度、面积、体积、线线垂直、线面垂直等问题，设问综合丰富，充分揭示向量的几何属性. 题目以多项选择题形式呈现，以参数[λ]，[μ]的变化揭示点[P]的位置关系，动静相得益彰，体现出向量在立体几何问题研究中的重要意义，独具匠心、新颖灵活，属于中档题.

例13 （上海卷·20）已知椭圆[Γ： x22+y2=1]，[F1，F2]分别是其左、右焦点，直线[l]过点[Pm，0][m<-2]交椭圆[Γ]于[A，B]两点，且[A，B]在[x]轴上方，点[A]在线段[BP]上.

（1）若[B]是上顶点，[BF1]=[PF1]，求[m]的值;

（2）若[F1A · F2A]=[13]，且原点[O]到直线[l]的距离为[41515]，求直线[l]的方程;

（3）证明：对于任意[m<-2]，使得[F1A]∥[F2B]的直线有且仅有一条.

答案：（1）-1-[2];（2）[x-3y+463=0];（3）略.

【评析】此题以解析几何为载体，将平面向量的模、数量积、共线问题融入题意，考查利用向量的基本概念、运算、关系，合理转化为平面图形的长度、角度、位置关系，并通过代数或几何的运算解决问题的能力. 需要学生在读懂向量表述的前提下，综合分析与解决问题，体现了向量在几何问题解决中的重要工具性作用. 此题中向量关系没有“喧宾夺主”，不复杂、不晦涩，通俗易懂，便于学生保持平和的考试心态. 向量首当其冲，这也是此类解析几何问题的常见呈现方式，综合性强，为较难题.

三、复习建议

1. 正本清源，加深概念理解

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，“平面向量及其应用”一章是高中数学几何与代数主题的重要内容，与其他章节学习也有密切的联系. 了解向量产生的背景，采用独立思考、自主学习、合作交流等学习方式，加强对向量概念数学本质的理解，对运用向量灵活解决数学问题有很重要的意义.

平面向量及其应用的复习教学，应结合力、速度、位移等实际情境，从物理、几何、代数三个角度去理解向量的概念与运算法则，认识方向与大小在后续章节学习中的关联性. 例如，向量加法与减法运算，既在空间向量中有体现，也在复数加法、减法运算中有所体现，其几何特征呈现出来的平行四边形、三角形特征与解三角形、三角不等式等知识存在广泛的联系.

向量的基本概念很多，模、相等向量、共线向量、数量积、投影等都不是一个空泛的名词，其具有深刻的数学内涵. 高中数学概念的学习至关重要，既要溯本求源，也要認识其本质，如果对概念内涵认识不足，就意味着数学问题解决中对已知条件的天然缺失，难免使数学思维受到桎梏. 因此，切不可在复习过程中对向量相关概念、运算公式一笔带过，草草了事，为后续复习留下隐患.

2. 勤练内功，加强运算训练

数学运算是学生在数学学习中的基本功，无论是平面向量还是空间向量，运算都从两个方面展开. 一方面，是数与式的运算，展现向量的代数特征，和、差、数量积、平行或垂直、夹角或距离，都需要对整式、方程、不等式进行整合、化简;另一方面，是图形的运算，展现其几何特征，过程与结果、数与图形、直观与抽象，都需要理解并强化.

通过运算的强化，要让学生熟练运用这两种运算，这也是学生在考场上速度快、结果准、心态稳的保证. 良好的运算能力体现为既有运算前的谋篇布局，也有操作步骤的熟能生巧，还要保持对运算结果的良好数感. 此外，也需要具有对复杂的数与式、图形的合理拆解、整合的技巧，这是需要经过长期专项训练方能达到的.

3. 纵横捭阖，增大知识融合

向量具有“数”与“形”的特征，为其实用的工具性、广泛的交互性确定下不错的“江湖地位”. 高考中，向量与函数、不等式、平面几何、立体几何、解析几何、复数相结合的试题比比皆是. 为加强学生在这些知识融合问题中的适应性，就应该从平时的训练做起，寻找知识间的有机联系，抓住“数”“形”互化这一特点，从数量、位置着手，精选或编制相关题目，有针对性地进行训练，积累经验，才能在考试中从容不迫、有条不紊.

4. 立意高远，关注终身发展

平面向量及其应用有重要的文化价值，重视数学的文化价值是数学教育发展的趋势，通过数学文化的渗透推动对学生数学学科核心素养的培育也是数学教师的重要任务. 从古希腊的亚里士多德（Aristotle）将速度合成，到牛顿（Newton）在《自然哲学之数学原理》中给出力的合成与分解的证明，到欧拉（Euler）将向量分解到笛卡儿坐标系，再到哈密顿（Hamilton）的“四元数”，以及向量名词的诞生，都闪耀着人类在不断探索中的理性光芒，饱含着对这一种将方向与大小两个要素集于一身的量的垂爱. 在教学中，教师要充分挖掘向量与数学史、向量与多维度量的学习素材，从发散、创新的角度展开教学，全面育人.

平面向量知识的广泛应用价值、多维思考途径，是促进学生实践能力、思维能力、创新意识发展的优质素材，也能让学生在问题解决中体会成功的喜悦，激发学习数学的兴趣. 在教学中，教师要善于倾听学生的想法，拓宽视角的广度，增加思维的厚度，发挥向量教学“三会”的育人价值.

平面向量的教学内容中也渗透着重要的数学思想. 在教学中，教师要有意识地选择素材，将数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想融入其中，才有利于数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算核心素养的培育，进而促进学生综合素养的提升.

四、模拟题欣赏

1. 在[△ABC]中，[AB=2]，[BC=AC=3]，则[AB · AC]的值为（）.

（A）1 （B）2 （C）4 （D）6

答案：B.

2. 已知点[M]是边长为2的正方形[ABCD]的内切圆内（含边界）的动点，则[MA · MB]的取值范围是（）.

（A）[-1，0] （B）[-1，2]

（C）[-1，3] （D）[-1，4]

答案：C.

3.（多選题）已知棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]，点[P]满足[BP]=[λBC]+[μBB1]，[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，则下列结论正确的是（）.

（A）[λ=μ=1]时，[AP=3]