如何在数学建模中融入数值分析思想

吕晓霞

（商丘学院，河南 商丘 476000）

引言

数学学科除了是一门科学以外，它更是一门生活艺术。在我们的日常生活，经常可以看到数学的影子，买菜花了多少钱、绘制一个图形等，都需要用到数学知识。也就是说，在数学教育中，不仅要教会学生数学知识，更要让学生会用数学知识和数学技术，在遇到一些现实问题时，可以依靠自己的数学能力解决问题，具备数学思维和数学能力。数值分析思想就是数学中一个非常重要的数学思想内容，尤其是在数学建模过程中，数值分析思想可以发挥出极其重要的作用，但我们需要明确的是，数学建模的基础离不开数学知识、数学技术和数学思想，但在应用时却可以应用到很多领域。如何在数学建模中有效的融入数值分析思想，是当前需要思考的一个迫切内容。

一、数学建模概述

说到数学建模，好像它很高大上，但其实在近些年我国教育教学的不断改进和改革过程中，从初中教育阶段，就已经逐步开始渗透数学建模的内容。数学建模是针对或者参照某一个现实对象，为了某种特定的目的，根据有关信息和规律，采用形式化的语言，概括或者近似地表达出来的一种数学结构。它能够反映出该现象的形态、数量规律，是一种基于数学思想的表达式、图形、图表或者算法。通过数学建模，可以让学生从生产、生活中发现特定的数量关系和空间形式，运用数学语言表达研究内容和研究对象。

通常情况下，数学建模有以下几个流程：

二、数学建模中融入数值分析思想的意义

（一）提高学生学习兴趣，挖掘学生潜能

在数学建模过程中，很多时候都需要学生自己动手动脑亲自操作、分析和建立数学模型，在这个过程中，数值分析思想的应用可以说是非常普遍的，为了建立准确科学有效的数学模型，需要耐心仔细地对各个有用的数值进行整理、归纳和分析，这都需要学生自己进行，这就容易激发出学生战胜数学难题的不惧挑战的心理，大多数学生会越挫越勇，进而有利于学生对数学学习兴趣的提高，使得学生潜在的才能被唤醒。

（二）增强学生数学分析能力和实践能力

数值分析作为数学学科中非常常见的一个内容，它在数学建模中的运用更是非常普遍，如数据假设、插值法等。通过数值分析，可以让学生在数字语言中了解研究对象和研究内容，通过进行数学建模，可以更清晰容易的解决较为复杂的数学难题，这个过程，就是培养学生数学分析能力和用数学思想解决实际问题能力的过程。同时，在学生参与过程中，为了更容易地解决问题，也可以激发出学生的创造性，这不仅在数学学习中是一种非常重要的能力，在学生未来发展中，创造创新能力也是不可缺少的。而这通过在数学建模过程中各个环节的参与过程可以进行培养。

三、数学建模中融入数值分析思想的策略

（一）明确数学建模的目标

不论是教师还是学生，对于数学建模的内涵一定要有清晰的认识和理解，数学建模和数学实验、数学活动是不相同的，相比之下，数学建模的层次显然要更深入一些。在数学建模过程中，会应用到很多数学知识和数学思想，其中数值分析思想可以说是最为常见和基本的一个思想，在将其运用到数学建模过程中时，一定要明确两者的内涵和关系，对数学建模的目标做出明确，根据实际的数学建模需要，选择合适的数值分析方法，使得数学建模更加顺畅，解决问题更加快速。需要说明的是，有的时候，数学建模是必须要具备数值分析思想的，因为这可以让复杂繁琐的数学问题变得更加简单，在解决问题时步骤更加简便，而不仅仅是为了解答出问题，而是让解题的过程更加优化。

（二）精心设计教学案例

在长期的数学学习过程中，其实可以运用数学建模的内容是很多的，因此，教师在把数值分析思想融入其中时，就更要精心设计教学内容和教学案例。而在此需要重点说明的是，并不是只有在数学学科中才能运用数学建模，在其他一些理科的学科中，为了更为容易地解决问题，也可以采用数学建模。所以，在进行数学建模过程中，要根据实际的问题，选择合适的数值分析方法，这样才能真正达到运用数值分析思想进行数学建模，从而更快地解决难题的目的。也才能让学生通过建模过程，学习到数值分析的方法，建立数值分析思想，掌握数学建模方法，锻炼其分析问题、解决问题的能力。

（三）加强师生之间的互动

数学建模过程中，一定不是单纯的教师操作，或者是学生的单纯操作，在建模过程中，一定要注重师生之间的互动和合作。在讲述一些经典的数学建模案例时，教师要把建模的背景、问题的产生、关键的因素、要用到的数学工具，尤其是数值分析思想的运用向学生讲解清楚，然后让学生分组讨论，在数学建模过程中，需要运用什么样的数学知识、数学思想，怎样建模可以让问题更加简单，怎样可以简化其中的数值分析步骤。这样不仅可以保持学生在学习过程中的积极性，也可以让学生通过亲自参与把知识转化为自己的理解，从而在理解和记忆起相关知识上都可以更加快速和容易，并且印象深刻。

（四）采用有效的教学方法

在任何教学过程中，有效的教学方法发挥着至关重要的作用。在数学建模过程中，要想有效自然的融入数值分析的思想，需要采用更加有效的教学方法。这样不仅可以让学生觉得课程的难度不是那么高，也会达到更为理想的教学效果。比如在数学建模过程中，可以多从学生的生活实际中提炼问题，引导学生运用数学知识、数学建模解决自己生活中常见的一些问题，慢慢培养学生对数学建模和数值分析的兴趣，从而会提升学生在数学建模过程中采用数值进行分析的积极性。需要说明的是，无论是数学建模还是进行数值分析，都需要教师去充分的引导学生，让学生自己去发现、思考和解决问题，切忌不能把课堂变成教师的独角戏，要不断丰富教学方法，以提升学生学习积极性和良好的教学效果。

四、数学建模中融入数值分析思想的具体案例

（一）解决实际生活问题的应用案例

在对经济动态进行分析时，一般情况下是根据一些计划的周期期末的指标值来判断某个经济计划执行得怎样。因此，在实际问题上可以建立连续的模型，也可以建立离散的模型，但在真实的研究中，时时刻刻的对其数据进行统计是不太现实的，通常都是在某些特定时刻获得统计数据。比如人口普查统计体现的是一个时段的人口增长量，通过对这个时段人口数量变化规律建立的离散模型来预测未来人口数量变化情况。最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k 表示时间，记xk 为变量x 在时刻k 的取值，则称Δxk=xk+1-xk 为xk 的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk 为xk的二阶差分。类似可以求出xk 的n 阶差分Δnxk。通过k，xk 以及的xk 的差分给出的方程就成为差分方程。比如在研究节食和运动模型时，发现人们采取节食与运动方式可以消耗体内存储的脂肪，使得人体体重下降，从而达到减肥的目的。也就是说，通过制定减肥计划，如果以周为时间单位是比较方便的，因此，可以采用差分方程的模型进行讨论。可以记第k 个周末体重为w（k）,第k 周吸收热量为c(k),热量转换系数为α，代谢消耗系数为β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc(k+1)-βw（k），k=0,1,2……，增加运动时只需要将β 改为β1+β，β1 由运动的形式和时间来决定。另外，在研究经济变化形势、人口增长等问题时，都可以通过建立差分模型来进行分析。

（二）误差分析问题

在数学建模过程中一般会包含很多变量，很多量通过观察就可以得到，所以也就带来了误差，一般我们把这种误差称为观察误差。而在很多时候，误差是不可避免存在的。为此，在数学建模过程中，要进行误差分析，以避免误差扩大问题的出现。在进行误差分析时，首先要分清问题是否病态和算法是不是稳定，在计算时要尽量避免误差带来的危害。需要说明的是，在数学建模过程中，利用数值分析思想时，为了防止有效数字的损失，务必要遵循以下几个原则：

第一，要避免用绝对值小的数作为除数；第二，要避免数值接近相等的两个近似值相减，因为这样容易导致有效数字的损失；第三，一定要注意运算的顺序，防止“大数”吃“小数”，比如多个数相加减，应该按照绝对值由小到大的次序进行运算；第四，一定要简化步骤，减少算术运算的次数，由于运算次数变少，就可以较高程度的保证计算结果的准确性。

结语

伴随着科技和教学水平的不断发展和提高，数值分析思想的理论和方法运用范围越来越广泛，它不仅局限于解决一些数学问题，而是有了更广阔的使用前景，现在数学建模已经成为教育教学乃至科学工作者和工程技术人员用来解决各种科研问题的一个必备的知识和工具，而把数值分析思想融入到数学建模过程中，不仅是一种研究发展趋势，更是用数学思想来解决实际问题的一个重要体现，并且也是非常重要的一个将复杂问题简便化的方法。为此，在数学建模中融入数值分析思想时，要进一步明确数学建模的目标、精心设计教学案例、加强师生之间的互动、采用有效的教学方法，带领学生参与数学建模过程的同时，进一步让学生理解和感受数值分析思想的价值，也大大提高学生学习的积极性和学习效果。