基于知识关联，体现思维脉络

蒋安娜 刘洋

摘要：数学教学可以基于知识关联设计体现思维脉络的问题链，驱动学生自主探究、有序思考，建立知识体系，学会思维方法。教学《分式》一课，基于分式与分数及整式的关联，设计体现类比思想以及一类代数对象研究基本路径的问题链。这样的问题链设计还体现了“关注学生的数学现实，以更好地促进学生对数学本质的理解”“立足感性经验的积累，逐步建立抽象概念”的立意。

关键词：《分式》;问题链;知识关联;思维脉络;类比

数学学科以逻辑严谨、结构清晰等特点著称，数学结构所体现的数学对象之间的内在关联反映了数学学科的基本思维方法——从喻平教授提出的CPFS结构理论的角度看，就是网络中知识点之间的“连线集”是一个“方法系统”。因此，数学教学可以基于知识关联设计体现思维脉络的问题链（序列），驱动学生自主探究、有序思考，建立知识体系，学会思维方法。教学浙教版初中数学七年级下册《分式》一课时，笔者便尝试运用了这一思路。

一、教学内容分析

从算术到代数，从数及其运算到式及其运算，研究对象更具有一般性了，但其本质并没有变，因此，两者之间有很多相同和相似之处。就像分数是整数基础上数系的一次扩充，因不够分（除不尽）而产生一样，分式是整式基础上代数式的一次扩充，也因无法整除而产生。“类比思维是指，在A、B两个或两类对象之间存在某种相同或相似的属性或特征，由已知的A及其相关的属性推出未知的B需要研究的问题以及可能具有的属性。”因此，我们可以基于分式与分数及整式的关联，设计体现类比思想以及一类代数对象研究基本路径的问题链，引导学生学习。

二、问题链设计

问题1过去我们学过整式概念以及整式运算等知识，你能写出一些整式，然后用整式运算编一些题吗？同桌之间把编好的题交换着做，比一比谁对得多。

这是一个起点性问题，目的在于利用已知的整式引出分式的形式，体现了对分数产生过程的类比。让学生自己举出整式的例子，编题给同桌做并与同桌比赛，能较好地激发他们的学习热情，使他们快速地投入学习。这中间肯定会出现两个整式除不尽的情况，便会引起学生的认知冲突，甚至有些学生还会抱怨同桌编了一道无法除尽的题，这就为引出分式的形式提供了契机。具体来说，当学生发现两个整式除不尽时，教师可以先将这样的式子全都抄写在黑板上，如实际教学中给出了b÷a、7÷p、（2x-3）÷4x、x÷（2y-1）等式子，再引导学生回忆之前的学习经验，这便自然地产生了问题2（含问题21和问题22）。

问题2在过去的学习中是否也碰到过除不尽的情况？是怎么处理的？

问题21在数的除法的学习中是否也出现过除不尽的情况？能举例说一说吗？

问题22为了解决这种除不尽的问题，是如何处理的？

问题2的主要目的在于激活学生已有的分数学习经验，从而为通过类比引入分式概念提供思路与方法。问题21和问题22是问题2的辅助问题（子问题），提供了一些分步的、具体的提示。具体地，学生在小学学习自然数的除法时，面临过两个自然数除不尽的情况，其中一种处理方法就是引入分数概念。这最终导致了数系的进一步扩充。而进一步的事实是，为了追求运算的完备性，数学中经常会拓展数系。学生通过回忆上述学习经验，能自然地联想到，面对整式除不尽的情况，也可以进一步拓展“代数式”的概念。

问题3根据问题2激活的经验，你会如何处理问题1解决过程中出现的除不尽的情况？能试一试吗？

问题3试图让学生将通过引入新数解决自然数除不尽问题的方法迁移到整式除不尽的情况中，并仿造分数的表示方法表示整式除不尽的结果，如ba、7p、2x-34x、x2y-1等。在此基础上，让学生琢磨“自然数除不尽后引入分数”这句话，说出“整式除不尽后引入分式”，使得“分式”这一数学“名字”自然产生。

问题4结合黑板上的例子，这些被我们称为“分式”的代数式有什么共同的特点？

问题4的目的是引导学生结合例子，进一步归纳“分式”的本质属性，从而由对“名字+例子”的理解进一步上升到对内涵的把握。

问题5下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？观察这些式子，你认为分式和整式最主要的区别是什么？32、b-32a+1、m（n+p）7、45b+c、m7、x2-xy+y22x-1、3π。

问题5的目的既是对分式概念的巩固与应用，也是通过比较、辨别使得分式概念与整式概念得到更精细的区分。这对学生知识结构的形成是极为必要的。

问题6 既然分式与分数有着一定的相似性，那么，分数的学习主要包括了哪些内容？你觉得分式的学习应该包括哪些内容呢？

问题6的目的在于为分式学习建立一个基本框架，一方面使后续的学习目标更为明确，另一方面也是为后面的学习提供思维方法的启发。面对这一问题，学生会提出如分数中分母的限制、分数大小的比较、分数的运算等内容，并认为这些方面也是分式学习的内容。当然，有些内容并不需要在本节课研究，由此可以提出问题7—问题9，引导学生研究。

问题7分式中分母上的字母有怎样的限制？请结合之前的例子说一说。

问题8分式1-x4x-8、3x-9x-2什么时候有意义？什么时候等于0？

问题9若当x=2时，分式x-ax+b没有意义，你能获得什么结论？

问题7—问题9通过与分数概念的比较，引導学生发现分式概念中伴随着用字母表示数而来的新问题，从而自然引出分式有无意义、分式什么时候值为零的相关知识，给学生提供了纵向深化的视角，让学生提升对分式概念的理解。而问题8和问题9也注意有机地植入对学生理解分式概念的评价，体现问题链教学“评价的伴随性”特点。

问题10这节课学习了哪些内容？是如何得到这些内容的？你觉得我们还将学习分式的什么知识？

问题10除了引导学生回顾本节课的核心内容之外，还重视对数学对象探究过程以及方法的回顾，试图为学生建立探索问题的框架与脉络。具体地，希望学生类比整式学习所涉及的方面，为分式的学习建立一个整体性的框架与脉络，理解分式的学习要包括分式的概念、分式的性质、分式的运算等内容。

三、进一步的立意

上述基于知识关联、体现思维脉络的问题链设计还体现出以下两点立意：

一是中学数学教学中，问题链的设计要关注学生的数学现实，以更好地促进学生对数学本质的理解。强调联系学生的生活现实（相当于弗赖登塔尔所说的“横向数学化”），是我国当前数学教学改革的一个重点。但是，数学教学除了联系学生的生活现实之外，还要联系学生的数学现实（相当于弗赖登塔尔所说的“纵向数学化”）。虽然联系学生的生活现实，有效地加强了数学的具体性和直观性以及学习的体验性和趣味性，但是随着数学学习的深入，知识的密集性和关联性不断加强，不断积累的数学现实能给学生的“前概念”“前经验”提供更大的发挥空间。因此，中学数学教学中，教师要特别注意选择从学生已有的数学现实出发，通过渗透类比、归纳、演绎等数学思维方法，设计饱含“数学味”的问题链。比如，虽然分式与整式一样，也是表示现实情境中数量关系的常见数学模型，但是为了突出数学的知识结构、思想方法，上述问题链设计选择从整式、分数、除法运算等学生的数学现实出发。

二是受初中学生认知水平的限制，数学问题链的设计要立足感性经验的积累，逐步建立抽象概念。变式是数学问题链设计的一种重要方式，即通过变换数学对象的非本质特征来突出数学对象的本质特征。上述问题链设计始终贯彻这一思想。比如，问题1—问题4的研究，让学生先通过整式运算的举例得到分式的一些例子，再结合这些例子提炼出分式的内涵。再如，问题7—问题9的研究，让学生借助所举的具体例子分析，深化对分式概念的理解，慢慢建立起感性经验与抽象概念之间的联系。

总之，数学问题链就像一条纽带，将数学知识体系中的关键要素和思想方法有序地连接起来，充分地体现出来。在具体设计时，需要注意数学关联的分析与数学思维的渗透，并根据不同的教学功能呈现多样的问题链，从而促进学生自然、深入地探究学习。

参考文献：

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