分离参数法在解高考数学题中的应用

摘 要：结合高考实例分析说明了分离参数法在解高考数学题中的讨论方程根的个数、判断函数的零点问题、解决不等式恒成立等多方面的应用，进而说明这种方法往往可以使问题简化，达到事半功倍的效果。

关键词：分离参数法;高考数学题;零点问题

所谓“分离参数法”是指在含有两个量（一个参数和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和参数分离（即变量和参数各在等式或不等式的一端），从而求出变量的取值范围或者是判断解的存在性问题。它在求函数的值域或最值、数列求和、讨论方程根的个数、函数的零点个数分析、不等式的恒成立判定以及根的存在性问题等诸多方面均有广泛的应用，而且利用这种方法可使解答问题简单化，达到事半功倍的效果。下面结合高考数学题实例来进行分析说明。

1  分离参数法在求解函数最值问题中的应用

例1  若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为多少？

分析：先将该函数进行参数分离，然后利用奇函数图像关于原点对称，其最大值与最小值之和为零，得到M+N=2t，从而求得t的值。

解：对该函数进行参数分离得，令，因为g（x）是奇函数，其图像关于原点对称，所以最大值与最小值之和为零，从而得到M+N=2t，故有t=2.

评注：题目中出现最大值与最小值之和等问题，可以转化为对称性问题来解决，通过参数分离后出现了奇函数，再结合奇函数图像的对称性可以快速解决问题。此题如果是直接对已知函数求导，利用函数的单调性求其最大值与最小值，在利用已知条件求出参数t将极为麻烦。

2  分离参数法在讨论函数零点个数中的应用

例2  已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，，若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是      （2014年高考江苏卷第13题）。

分析： 要求函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个不相同的零点，通过分离参数a转化为要求函数y=f（x）与函数y=a在区间[-3，4]上有10个不相同的交点。

解  根据函数的图象：

有;当且仅当x=1时，;同时知 .

关于x方程f（x）- a=0即f（x）=a在x∈[-3，4]上有10个零点，即曲线y=f（x）与直线y=a在[-3，4]上有10个交点.因为函数f（x）的周期为3，所以直线y=a与曲线有4个交点时，由于曲线y=f（x）与直线y=a在x∈[3，4]上还有两个交点，所以得到实数a的取值范围是.

评注：如果直接求原函数在 x∈[-3，4] 上有10个不同的零点，通过分类讨论将十分复杂，这里我们通过分离参数将原函数转化为y=f（x） 图像与直线y=a的交点，利用周期性即可很快地求出所求参数a的取值范围，方法简洁、事半功倍。

3  分离常数法在讨论函数极值问题中的应用

例3设函数（k为常数，e是自然对数的底数）.

（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间;

（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.（2014年高考山东卷理科第20题）

分析：这里要求函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，如果是用列表法分别求其单调区间再来判断，将极为复杂，我们采取的办法是通过分离参数k快捷简便。

解  （1）. 当k≤0时，得，所以与x-2同号，得函数f（x）的单调增区间、减区间分别是.

（2）由（1）的结论知，，与同号.

设，得.

所以函数在（0，1），（1，2）上分别是减函数、增函数.又因为，所以函数在（0，2）有两个零点.

设这两个零点分别是，还可证它们分别是函数f（x）的极小值点、极大值点.所以所求k的取值范围是.

评注：在求出函数f（x）的导数后，通过参数分离再令，然后对的单调性和极值进行求解，进而得出的范围，最后求得参数的取值范围。

4 分离常数法在求解恒成立、存在性问题中的应用

例4  设函数.若存在f（x）的极值点x0满足恒成立，则m的取值范围是（  ）。（2014年高考课标全国卷II理科第12题）

A. B.

C. D.

分析：这里要求出m的取值范围，针对条件中的不等式恒成立，通过参数分离实际上是要求出不等式左边的最大值即可。

解  .得Z）（还可得这样的x0一定是函数f（x）的极值点）.

满足，即Z满足，也即，还即，进而可得答案为C.

评注：在许多针对不等式恒成立或者是解的存在性问题时，我们往往可以通过参数分离的办法将所求问题转化为求函数的最大值、极小值问题。

综上所述，分离参数法在高考数学中有着广泛的应用，它的本质实际上是转化与化归的思想，通过参数分离将一些复杂的问题转化为简单的问题或者是已经熟练掌握了的问题，这样往往可以化繁为简。

参考文献：

[1]王后雄主编.  高考标准教材数学理数[M]，湖北教育出版社，2014.03.

[2]牛玉胜总主编. 高中数学万能解题模版[M].湖南师范大学出版社，2014.04.

[3]許楠桸，许赛飞. 例谈“非等价转化”方法解高考数学题[J].2021.（1）：274-280.