梳理知识 渗透方法 深度学习

王辉

高三一轮复习，承载着知识的再现与深化，方法的总结与凝练，思想的感悟与提升. 复习课堂更是学生参与数学基本活动生成经验，提高解决问题能力所在. 下面谈谈自己对一轮复习的尝试与思考.

1.梳理模块知识，构建知识体系

1.1梳理模块知识

数学知识是能力的根基，是思想方法的载体，是解决问题的工具. 因此，高三第一轮复习需要系统构建高中数学知识网络. 学生进入高三第一轮复习，知识遗忘率较高或者对过往所学知识仍然一知半解. 这时通过对教材概念、定理、例题、习题进行补缺，扫清知识的盲点，使学生对数学知识的理解和运用上升到一个新高度，这是高三一轮复习的重要环节.

例如 复习“解三角形”时，可以先设置一些问题串来引领学生对知识进行回忆与建构：

（1）请用两种方法证明余弦定理. 其目的是回顾余弦定理的证明过程.

（2）证明角平分线性质. 其目的是重现教材例题，回顾此结论，变于以后解题所需.

（3）设置开放型问题. 你能写出解三角形中的一些常用结论吗？预设会得到;在三角形中，若，则等等.

这样的教学设计目标明确，易于进行提炼总结，课堂师生互动，生生互动增多，复习课堂高效. 知识的系统化使得知识间建立起了结构关系、逻辑关系，让知识不再孤立. 对知识的系统化要从全局着眼，跨越不同章节，甚至要联系初中数学内容.

1.2构建知识体系

对知识的系统化，可以是要点串联，梳理重要的定理的研究模式，也可以是相关问题比较，还可以是题型归类，等等.

例如对于比较简单的内容，如集合，可以通过要点串联——三个特征，四种表示，两种关系，六个特殊数集（将复数集前移），三种运算，一个迁移（对研究对象的表征及分类）. 对于内容多且杂的内容，宜分几条主线，如三角函数，可围绕三角函数概念、三角公式、三角函数的图象与性质、三角函数的应用等主线，而其中的三角函数的应用则要体现应用的广泛性，设计的例题、习题要覆盖三角在不同数学分支及实际中的应用.

概念是极其重要的基础知识，应重视对它的整合性复习. 一方面，概念是数学理论的“基石”，体现数学的本质、抽象性和严密性;另一方面，对概念的把握深刻影响着解题.例如，函数单调性这条主线贯穿于函数、导数、数列、不等式这些重要内容之中，比较各种特殊函数的单调性，运用多种方法判断单调性，广泛应用单调性，真正发挥单调性概念纵横联系知识、方法的作用.

2.精选例题，渗透思想方法，提高能力

例题可以选择近年的高考试题（或模拟题），明确高考考什么，怎么考，可能会有哪些变形，激发学生挑战欲望，培养学生解题能力. 教师要把培养学生的解题思维放在首位，精选有利于“模式化”解题总结的例题，多选贴近高考的典型题，多角度、有计划的启发和调动学生去进行积极的思维活动.

例如（高考模拟题） 椭圆长轴的两个顶点与椭圆上异于这两顶点的任意一点连线的斜率乘积等于_______.

探究：类比以上结论，写出双曲线具有类似结论的性质.

考虑到学生的层次，为了降低题目的难度，减少抽象感，设计如下过程：

已知点P是椭圆上异于长轴的两顶点的任意一点，则点P与长轴两顶点连线的斜率乘积等于_______.

方法1：通过设点P坐标，利用椭圆方程再去参数，得到结果，大多数采用这种方法.

方法2：考虑结果是定值，采用特殊值完成，比如设点P坐标为（0，2）.

思考：观察所得结果与题目中的两个分母之间有何联系？这种联系是必然还是巧合？

让学生自己设计一道类似的题目，比如椭圆方程是，检测一下自己的猜测是否正确？

有了前面的铺垫，学生可以归纳猜想到：答案是，并完成证明. 大胆类比出探究的答案：

双曲线实轴的两个顶点与双曲线上异于这两顶点的任意一点连线的斜率乘积等于定值.

引导学生反思：学习过程，是由一般性结论得到特殊性结论的过程，也是从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个严谨的理性思维过程.

例题的选择要着眼于学生的最近发展区，体现“典型性、针对性、层次性.”选取例题的主要途径有：（1）教材上的典型例题习题;（2）易错题;（3）近年的高考真题或模拟题. 因此，高三第一轮复习应以一些经典例题为载体，由浅入深，由表及里，使学生站在解题的最高点上，这样在以后独立面对高考题时，就有“一览众山小” 的感觉.

3.加强变式训练，促进深度学习

深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们如如原有的认知结构中，能夠在众多思想间进行联系. 学会站在命题者的角度去揣摩试题意图. 打通方法之间的内在联系，通过对问题本质、解法本质的理解培养学生的思维能力.

例如（教材习题） 已知，0<α<π，求的值.

本题主要考查的是两角差的余弦公式，解题时套用公式即可，但为了研究三角函数恒等变换的一般规律，借助此题进行适当的变式训练.

变式1：已知，，求cosα的值.

学生求解本题时，会把展开成，再联立，解方程组即可求得. 但是这种方法有复杂的运算，本题可以把未知角转化为已知角和特殊角，即，再利用和角公式展开即可求得cosα的值.

变式2：已知，，求的值.

研究“已知角”和“未知角”的关系，发现. 因此，可得，再利用和角公式展开即可求得的值.

变式3：已知，，，，求的值.

把未知角转化为已知角，观察已知角与未知角间的关系，即，利用诱导公式及和角公式展开即可求得的值.

高三第一轮复习为了提高学生的解题能力，会设计相关的变式训练教学，在此过程中教师应重视对学生分析、观察、联想、类比等能力的培养. 通过变式训练，让学生对知识理解更全面，方法选择更合理.

数学中的概念和命题，或是问题和方法，实际上都应被看成一种具有普遍意义的模式. 分为三步走：一是通过一些基本问题的解决，如教材例题、课后习题，归纳解决一类问题的特征和方法;二是通过一类问题的反复训练，如变式训练，提高解决一类问题的可辨别性和稳定性;三是通过综合问题的分解回归，发展各类问题之间的衔接和联系，提高解题能力，提升数学核心素养.