因式分解的常用方法

朱菊香

分解因式即把一个多项式转化为几个最简整式的乘积的形式.它与整式乘法是互逆的关系，是代数中不可或缺的恒等变形方法，也是解答代数问题的有力工具.因式分解的方法有很多，同学们可根据多项式的具体结构特征灵活选择.现将因式分解的几种常用方法举例说明.

方法一：提取公因式法

提取公因式法是指通过提取多项式中的公因式达到因式分解的目的，是因式分解最为常用的方法之一.在运用提取公因式法分解因式时，同学们要把握如下几点：1.所提取的公因式应一次提全、提净，各项不可再出现公因式.因此，在提取时要注意“三取”：一是取“大”，即各项系数均为整数时，公因式的系数应取各项系数绝对值的最大公约数;二是取“同”，即取多项式中各项相同的字母;三是取“低”，即取多项式中相同字母的最低次幂.2.若多项式的某一项与公因式相同，切记不能遗漏常数项“1”.3.若首项为负，应提取负号，使括号内的首项系数为正，此时括号内各项都应注意变号.

例1 因式分解：①8abc-12abcd+16abc;

②-6xy（a-b）-9xy（a-b）-3xy（a-b）.

解析：①仔细观察多项式，8、|-12|、16的最大公约数为4，所以公因式的系数是4.a、b、c这三个相同字母最低次幂分别为a、b、c，故提取的公因式是4abc.②此多项式中的首项系数为负数，需要先提取“-”号，括号内各项则变为[6xy （a-b）+ 9xy （a-b）+3xy （a-b）].6、|-9|、|-3|最大公约数是3，所以公因式的系数为3.各项中相同字母x、y、（a-b）的最低次幂分别为x、y、（a-b），因而提取的公因式是-3xy（a-b）.

解：①8abc-12abcd+16abc=4abc（2bc-3ad+4bc）

②-6xy （a-b）-9xy（a-b）-3xy（a-b）=-3xy（a-b）（2x+3y+1）

方法二：主元分解法

主元分解法是一種反“客”为“主”的思维方法，也是破解因式分解问题的有效策略.它是指在分解因式时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，然后将原式重新整理成关于主要元素按降幂排列的多项式，这样就能排除字母的干扰，简化问题的结构.在进行因式分解时，同学们若发现对多项式直接分解存在很大难度时，要克服思维定势，反其道而行，变“客”为“主”，使问题化繁为简、化难为易.

例2  分解因式：①p-4p+（4-2q）p+4qp+q-9;

②a+（1-2b）a+ （b-2b-1）a+b-1

解析：①该多项式是一个关于p的四次多项式，直接分解难度较大.借助主元分解法，把次数较低的字母q视为主元，这样原式就可以变为关于q的二次多项式.②该多项式为二元三次多项式，直接分解比较棘手，若能利用主元法，把次数较低的字母b作为主元，那么原多项式就可以变为关于b的二次多项式，即可迅速解题.

解：①p-4p+（4-2q）p+4qp+q-9=q-2（p-2p） q+ （p-4p+4p-9）

=q-2（p-2p）q+[p（p-2）]-3

= q-2（p-2p）q+（ p-2p+3）（p-2p-3）

=[q-（p-2p+3）][q-（p-2p-3）]

= （p-2p-q+3）（ p-2p-q-3）.

②a+（1-2b）a+ （b-2b-1）a+b-1=（a+1）b-（2a+2a）b+（a+a-a-1）

=（a+1）b-2a（a+1）b+（a+1）（a-1）

=（a+1）{b-[（a+1）（a-1）]b+（a+1）（a-1）}

=（a+1）（a-b-1）（a-b+1）.

方法三：分组分解法

分组分解法是指根据多项式的具体特征，有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每組能够分解，从而达到对整个多项式因式分解的目的.在分组时，要有预见性，要统筹思考，常用思路一般有按系数分组、按公因式分组、按次数分组、按公式分组、按主元分组以及拆（添）项后分组等.

例3 分解因式：①a+a+2a+2;②4xy-x+8yz-z;③9m-12mn+4n-25

解析：①此多项式中的第一、三两项，第二、四两项的系数之比都是，因此，可以按照系数分组分解因式. ②该多项式中的第一、三项存在公因式，不妨按照公因式分组因式. ③此多项式中第一项、第三项次数相同，对此可以按照次数分组分解因式.

解：①原式=（a+2a）+（a+2）=a（a+2）+ （a+2）=（a+2）（a+1）.

②原式=（4xy-+8yz）-（x-z）=4y（x+z）-（x+z）=（4y-1）（x+z）.

③原式=（9m-12mn+4n）-25=（3m-2n）-5=（3m-2n+5）（ 3m-2n-5）.

方法四：配方法

对于形如x+2ax+a的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）的形式，但对于二次三项式x+2ax-3a就不能直接运用公式了.此时，我们可以先适当添加一项，使式子构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法就被称为“配方法”.应用配方法进行因式分解，常常将多项式配成A- B的形式，使多项式可用平方差公式分解为（A+B）（A-B）的形式.

因式分解是初中数学的一个重点内容，在代数的恒等变形、分式运算、根式运算、解方程等方面有着广泛的应用.因式分解的方法除了上面列举的四种，还有很多，包括十字相乘法、待定系数法、换元法、求根公式法等.同学们要掌握好因式分解的方法，并注意灵活运用.