连珠成线 连线成片

董卫凤

当新课程不再“新”，解决问题也不再是“问题”，“解决问题”还是让老师们感到困惑。

教师困惑之一， “解决问题”的信息呈现花花绿绿可以接受，一个例题出来后，并不像以往“应用题”那样有“相似情境、相似结构、相似问题”的练习也接受，但是例题和练习不匹配，练习范围广、变化多，让人难以捉摸，学生错误多。教师困惑之二，当教师引导学生关注怎么解决问题的过程和方法，却发现教材不再提供数量关系的分析，数量关系到底怎么控制一个“度”，教材没有“完整总结”，“解决问题”似乎变得教学结构不清，思路难定。

问题即挑战，面对教师在解决问题教学中的困惑，我们确立校本教研以“解决问题教学”为研究主题，主要探求几个问题：怎样正确解读解决问题教学的教材？怎样定位解决问题教学中的学生难点？怎样进行解决问题学法指导？笔者和同事们以《有余数除法解决问题》教学节为例，对以上问题进行探索和研究。

一、解读教材文本

我们首先思考教材，教材是否存在问题？我们教师究竟怎样解读教材？

思考一：解决问题的教材，真的很凌乱吗？

解决问题的教材，真的是零打碎敲吗？真的没有章法吗？真的是例题一类练习一类吗？教研组的老师对二年级下册“有余数除法解决问题”的第67-71页进行了分析，选择典型分析列表如下

教材解读分析：

根据上表所示，人教版二年级下册《有余数除法解决问题》的教材編写，应该说教材的编写者确实有其独到之处。

（1）仔细解读文本，类型全面并不凌乱：人教版二年级下册第67页到第71页的有余数除法15道解决问题，涵盖了有余数除法的几大类型。第一类，与有余数除法计算教学紧密结合的问题，类似“可以坐满几辆车，会有剩余的人吗？”的“两问式”典型问题;第二类“至少要租几条船”的“求至少”的“进一类”问题，第三类“最多可以买几瓶？”的“求最多”的“去尾类”;第四类 “再过多少天是星期几？”的等余问题类;如练习十五第6题;第五类“这条彩带有多长”，有余数除法的逆用类。第六类综合应用，多种情境组合的有余数除法解决问题。

（2）通读2-5年级教材，呼应紧密一脉相承：

本课教学，对于有余数除法的计算，包括口算、笔算，学生已有了能力上的储备。有余数除法为三年级学习一位数除多位数打基础，解决问题部分与五年级的用“去尾法”“进一法”“四舍五入法”求商的近似值一脉相承，余数在周期性问题中的运用是一二年级“找规律”从图形到式题的一次思维提升。

（3）横向比较6个版本教材，思路相似目标接近：

笔者查找了人教版、苏教版、北师大版、现代小学数学等几个版本的关于有余数除法解决问题的电子课本。苏教版、北师大版的教材把“有余数的除法”放在二年级下册，西南师大版安排在二年级下册，现代小学数学比较侧重有余数除法解决问题的意义理解，而北师大版的数学关于有余数除法解决问题中的《租船》更具典型性，特别是其中关于最多与最少的阐述最明确，最清楚，对有余数除法的余数进行合理取舍能有明确的认识，而人教版关于此节的编写优点是起点低，但最后的提升深度综合性特强，事实上各个版本的编写形式不同，编排总体目标大略相同，各个侧重点其实是一脉相承。

（4）再读《课程标准》，更关注沟通思维联系

为什么一个解决问题例题后面有这么多“看似不配套”的练习题，通过课程标准对解决问题的目标定位的再学习，解决问题的编排必然更具应用性，为构建良好的认知结构，沟通知识间的联系，必然有相对丰富的编排形式，其目的是关注让学生关注解决问题的过程，揭示思维的关键，沟通知识、方法之间的联系。

教材解读结论：

解决问题的教材并不凌乱，它对学生学习兴趣激发、应用意识增强、创造意识提高方面的作用不容置疑，而且囊括各个类别，相对 “一个范例进行训练” 要求更高，更注重内在数量关系的理解和联系。

二、解读学习难点

教师经常抱怨，学生对于解决问题的掌握得不好。那么解决问题的学生难点，难在何处？

思考二：解决问题的教材，学生学习的难点在哪？

分析人教版教材而下第六单元练习十五第8题（如图），此题难度系数最大.

此题的题意为：

有康乃馨22枝、玫瑰16枝，兰花10枝，请用7枝康乃馨、3枝玫瑰、2枝兰花扎成一束。这些花最多可以扎成多少束这样的花束？

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

结论：这些花最多可以扎成3束这样的花束。

我们对此内容进行前测和后测。

前测：二年级未上过该内容的同学前测正确率为4%。

后测：二年级非实验班和三年级同学已经学过该内容，后测正确率32%和37%。学生的错误样式如下：

后测错误样式

错误样式一：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

结论：最多可以扎成5束

分析原因：学生理解可能“最多”要找商中最大的那个数的。

错误样式二：

22+16+10=48（枝） 7+3+2=12（枝） 4 8÷12=4（束）

结论：最多可以扎成4束

分析原因：可能，受有余数除法结构思维定势影响，人为构造一个总数和一个每份数。

错误样式三：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

3+5+5=13（束）

结论：最多可以扎成13束

分析原因：学生理解几个扎在一起，就是把几个商合并起来。

老师们很困惑——（1）教材为什么编写综合性这么强的解决问题？（2）此题归结到哪一种数学思想呢？（3）此题与前面所学的有余数除法到底是什么样的关系呢？

教师关于解决问题的抱怨，其实并不仅仅因为解决问题的练习数量少范围广，更在于教材关于解决问题凸显“数学思考”的发展，综合性较原来要强多了，而我们的学生探究和分析能力彰显薄弱。

老师们很期待——（1）有什么办法让学生比较顺畅地理解类似题目的题意？（2）可以建构怎样的模型让突破学生认知难点？（3）怎样让学生的模糊识记变成意义理解，形成分析理解探究能力？

结论：既然是难点，就有必要把此类题目进行研究，在学生感觉困惑之处加以点拨，帮助学生突破难点。

三、关于解决问题学法指导

鉴于以上对课程标准及教材的解读和对学生认知发展水平的分析，教研组的成员认为：学生解决问题的难点已经明确，解决问题的目标已可以准确定位，由此归结为学法指导方面的问题：解决问题如何使教学“形神均不散”，有效突破教学难点，从而构建良好的认知结构（知识同化），提升数学思考的能力？

策略一：抓内核主干，殊途同归体现“神不散”

著名数学家华罗庚曾有句名言：读书要从薄到厚，再从厚到薄。数学学习更是如此。人教版教材，有余数除法解决的问题，共编排六种类型，属于“大而全”，而一个例题是无论如何无法囊括所有类型的，那这些类型必然有一个核心主干。

分析有余数除法解决问题的类型，尽管千变万化，但都可以归结到运算意义——有余数除法的意义、商和余数的意义。而抓住这一点，等于抓住了解决问题的主干。

比如《有余数除法解决问题》的导入部分，笔者安排了一组辨析题：

①扇子队有25人，演出时队形变换，每个圆圈站4人，可以站成几个圈，还剩几人？

②扇子队有25人，演出时队形变换，站成4个圆圈，每个圆圈几人，还剩几人？

解题1：25÷4=6（圈）……1（人）

解题2：25÷4=6（人）……1（人）

这一组题，从外在形式上看，是结果单位名称的不同，但是从数学角度看，当学生解决问题后，最后归结到对除法意义的理解上，实际是映射了数学课程标准的这句话：解决问题教学必须让学生经历从现实背景中感受和体验数学，发展学生根据运算意义解决问题的能力。

“这一组题非常有意思”，有位特级教师这样评价，“解答后，让孩子们辨析这组题的题目和答案的异同，那就会真正去想商和余数的意义。”

思考：课程标准指出，将小学应用题教学与运算教学紧密结合，让学生在建立数学概念、原理和方法的过程中理解和解答应用题，发展學生根据实际情况和运算意义解决问题的能力。

凸显概念意义，挖掘运算意义，沟通内在联系，正确理解商和余数的意义，理解除法的意义，可以沟通六大类问题之间的内在联系，万变不离其宗，使解决问题从“大而全”到“少而精”，从而使学生的数学学习有完整而系统的建构，书由此从厚而薄。

策略二：揭思维关键，沟通知识方法联系

学生解决问题，因为个体生活背景和认知水平的差异，会出现各种各样的解题策略与思考，这其实是很好的教学资源，通过典型题例辨析，可以促感性认知升华，去除表象抽取特征，实现数学模型的意义建构。

例：二年级34位师生去参加跨湖桥美食节，每张桌子限坐4人，至少需要几张桌子？

跨湖桥美食节，洪七公叫化鸡每份8元，20元钱最多可以买几份？

解决这个问题，我们让学生进行“三辨”。

第一辨：商加1与商不加1的辨析

对于第一问，学生有两种解法。

解法1：34÷4=8（张）……2（人）;……………………（×）

解法2：34÷4=8（张）……2（人）8+1=9（张）。……    （√）

两种解法的区别，第一种是两问式典型有余数除法解题思维定势，第二种是商和余数进行合理取舍。通过两种方法的辨析，归结到商和余数的意义，强调余下2人必须要给他们安排座位，去掉余数，所以商8必须加上1。

第二辨：“至少需要几张桌子？”与典型“两问式”问题的差异

孩子们解决问题时其实已经明白了余数要合理的取舍。重点引导对“至少”认识，明确“至少”在保证人人有座位的情况下的“至少”，这样让孩子们在理解商为什么要加1时，不仅仅是一种直觉和感性认识，而是学会了对题目信息的剖析，使自己的解答显得有理有据，在感性认识的基础上升华。

第三辨：“至少”与“最多”辨析

至少需要几张桌子？最多可以买几份？

最多与至少，是一组很值得回味的概念情境，通过组题辨析，学生能从实际问题的解决中理解有余数除法的应用，而且引导孩子们关注题中信息的剖析，能丰富孩子们对有余数除法解决问题不同的表达形式。

结论：“第一辨”实质是学生解决问题的原点，从实际生活中理解有余数除法的意义，关注学生剖析、梳理、提炼、处理数学信息的能力，让他们根据信息提出数学问题。“第二辨”是触发学生对不同问题情境不同目标指向的思考，让学生明确“问题不同”导致解决问题的答案和思考不同，让学生们理解小学数学学习不是也不可能所有问题都是典型的“问题”和“解决问题”，它必然需要有意义的接受——思维的训练。“第三辨”是解决问题后的思路整理和回顾，从前面两个梯度的问题对比，引发学生对于“至少”与“最多”的理解，让学生自主探索、合作交流中分析。这样的“三辨”，由低到高，揭示了数学思考的思维本质，沟通了知识方法的联系，实现解决问题的意义建构。

策略四：情境串接，一线串珠 “形不散”？

由于解决问题类型各不相同，如果老师只是照本宣科地按照顺序一题一题呈现，学生一则兴趣不大，二则目标定位较高，学习效果肯定不会很理想。所以考虑创设数学情境，就像主题图一样，把每部分的题材串起来，既凸显数学性，又照顾学生的生活和年龄实际，让课堂“形神都不散”

為此，一线串珠，把不同目标取向的数学素材用适当的情境有效串接。在教学预案设计时，我们充分利用了“跨湖桥美食节”这个实实在在的地方资源，有机容纳四个类别问题（如下表），达到形不散。

本课的教学，教师选取的是“跨湖桥文化节”的主题情境，但在教学中每一个环节教师都尽量少说“废话”，关于生活主题情境的阐述，除了课前谈话1分钟左右以外，其它各个环节连结语总时间不超过1分钟。

“我觉得整体的课结构很好。能够紧密结合当地的文化进行教育。不过请注意，课的引入过程中，介绍当地的一些活动，要快一些不要化时间太多。这些事学生是相对比较熟悉的，所以不必太详细。”（特级教师指导。）

结论：教学情境既激发兴趣，又始终明确数学教学的目标要求，达到形神都不散。

策略五：化静为动，直观表象构建思维支撑点

人教版练习十五的第8题，无论前测还是后测，都显示一个事实，学生独立解决这个问题有难度。下面是根据教材改编的教学素材：跨湖桥文化节十大名菜展评中推出一道“孔雀开屏”。

症状：根据前测和后测，学生近50%的学生能得到三个算式，

14÷3=4（盘）……2（个）7÷1=7（盘）19÷2=9（盘）……1（个）

但是得到正确答案“4 ”很难

难点分析：为什么此题对学生而言很难，综合性体现在哪？

设计这道题目的编写者的意图，除了让学生巩固理解“最多”的余数取舍方法，此题蕴含的数学思想是什么？笔者感觉此题设计是两次“最多”的综合运用，第一次是余数的取舍，“苹果多余的只数”要去掉，“菠萝多余的只数”要去掉;第二次是组合事物商的取舍，“橙子多余的盘数”要去掉，“菠萝多余的盘数”要去掉，蕴含的数学思想的根据是“包含与排除”的初步理解，7、4、9只能共同拥有4，所以最多只能做4盘“孔雀开屏”。

难点根源：多样物体进行“两次取舍”，其中蕴含的数学思想，学生缺乏感性经验支撑

采取对策：抽象的“数学思想”，用具体直观演示做支撑。第一层面让学生从数学数量和数学思想方法的角度寻找解决问题的策略，第二层面借助课件直观地演示，用动态的形式，让学生在感性认知的基础上理解刚才的知识，形成同化。

课堂片段：同学们有很多答案，咱们用课件帮助我们证明一下。（先放菠萝，再放苹果，最后放橘子。）（生随着课件演示，说出每次变化。）

动态演示—————————————————————

逐步演示后提问：最多能放几盘？为什么？

学生思考后回答：4盘。此时有学生已经能表达自己的思维：因为4是三个商中最小的，大家都包含有的量，所以当几样东西组合在一起，要选择商最少的，咱们把这句话读一读。我们发现：几类事物组合在一起，取商最小的。这是数学思考的飞跃。

结论收获：现行小学数学教材为教师提供了丰富的教学资源，教材例题和习题内容也比较贴近学生的生活实际，符合学生的年龄特点，但这些毕竟是静止的东西，要引起学生的注意和兴趣还有很大的欠缺，而学生往往对活动的事物更感兴趣。如果遭遇思维过程相对复杂、学生理解有一定的困难的内容，适当改变习题呈现方式，把这些静止的资源活动化，可以增加直观性、趣味性，更利于突破难点。

上例中抽象的“数学思想”，用具体直观演示做支撑，化静为动，在学生有了直观感受以后，再留时间让学生自查、内化，并有提升和总结性的语言，帮助学生表达自己的认识，这样他们对这类问题的解决就会比较到位。

综上所述，解决问题在内容上，并不局限典型例题，关注解决问题的思维过程;在形式上，突破了例题和练习“单打一”形式，更丰富更广阔，感觉上给教师带来很多困难。实质上，解决问题这样的编排更关注原先“应用题”编排的目标的落实——重视思维方法的训练（分析思维、综合思维）和思维品质的培养;

所以，突破“解决问题”教学疑难，对教师而言，必须对教材深入剖析，包括挖掘教材每道题的编排意图和代表类型，包括数学知识和生活情境之间的生长点联结点，包括众多版本的的教材的比较分析，这需要创新和探索;必须对学生进行深入分析，包括剖析学生已有生活经验和认知起点，包括剖析学生思维困惑的成因和对策，这需要创新和探索;必须对学生进行适恰的学法指导，重视算式意义的理解、思路的表述和思维关键的揭示，重视分析方法的讨论和数量关系的提炼，任何数学问题的解决都不能直接依赖已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法，才能实现问题的解决，这也需要创新和探索。