考研数学中的点估计

李佳 邓有莲

摘要：点估计不仅是《概率统计》课程中的教学重点，也是数学考研的热点之一。本文从历年考研数学中点估计试题出发，详细介绍在离散型总体、连续型总体以及特殊情况下矩估计和最大似然估计的计算方法，总结出求解步骤和求解关键点，以节省同学们宝贵的学习时间、复习时间和应试时间。

关键词：点估计;矩估计;最大似然估计

引言

自1987年全国工学，经济学硕士研究生入学考试实行统一以来，时值今日已有三十多年。概率论与数理统计在数学考研中约占百分之二十，其中有两个选择题，一个填空题和两个解答题，共计34分。注意到，已经连续三年考研数学一和数学三的最后一个大题就是关于点估计的试题。事实上，点估计（即矩估计和最大似然估计）以解答题的身份从1997年首次出现在考研数学一当中，这么多年来，共有十七年出现此类题型，近几年来出现得更为频繁，成为考研的热点之一。考研大纲[1]数一和数三都要求掌握矩估计法（一阶矩，二阶矩）和最大似然估计法，属于中高难度题[2]，是概率统计课程复习的重中之重。本文紧扣考研大纲，重点介绍点估计的基本概念，矩估计和最大似然估计的求解方法和求解关键，节省广大考生宝贵的学习时间、复习时间和应试时间。

1. 点估计、参数估计量和参数估计值[3]

设总体X的分布函数形式已知，但它含有一个或多个未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，通过样本观察值来估计总体分布中的未知参数的值，这种方法称为点估计。具体而言，设总体X的分布函数F（x，θ）中含有未知参数θ，我们已知X1，X2，…，Xn是总体的一个样本，构造一个适当的统计量T（X1，X2，…，Xn）作为参数的估计量，记作，对于样本的一组观察值x1，x2，…，xn，将T（X1，X2，…，Xn）作为参数的估计值，记作，当然F（x，θ）可以表示分布律或者概率密度。由于T（X1，X2，…，Xn）是实数域上的一个点，用它来估计未知参数θ，所以称这种方法为点估计。而矩估计法和最大似然估计法是最为经典的点估计方法。

2.矩估计法

矩估计法是基于一种简单的“替换”思想建立起来的估计方法，最早由英国统计学家K.皮尔逊提出。其基本思想就是用样本矩估计总体矩，选用的矩估计方程不同，所得的矩估计可能也不同，因而矩估计不是唯一的，一般尽量选用低阶矩来求矩估计，求解时会更容易。所以，我们就用样本原点矩估计总体原点矩。具体方法如下：情况一，设总体X的分布函数F（x，θ）中只含有一个未知参数θ，则列一个方程，令，求出参数估计;情况二（考研试题未出现，但考试大纲有要求），设总体X的分布函数含

有两个未知参数θ1和θ2，则列一个方程组，令，

求出参数估计。

3.最大似然估计法

最大似然估计法是在总体类型已知的条件下使用的一种参数估计方法，首先由德国数学家高斯在1821年提出，英国统计学家费歇在1922年重新发现了这个方法，并深入研究了它的性质。一般而言，若事件A发生的概率与参数θ有关，即θ的取值不同，P（A）也不相同，记为P（A|θ）。如果事件A发生了，则认为此时θ的值应该是使P（A|θ）达到最大的那个θ值，这就是最大似然的思想。

定义[3]：设总体X的分布函数F（x，θ）中含有未知参数θ，X1，X2，…，Xn是总体的一个样本，x1，x2，…，xn是样本的观察值，又假设θ的似然函数为。如果存在，使得似然函数L达到最大值，即，则称是参数θ的最大似然估计值。

具体的求解步骤如下：

步骤一，建立似然函数L（θ）：

对于离散型的总体分布，其分布律为P{X=x}，则似然函数;

对于连续型的总体分布，其概率密度为f（x，θ），

则似然函数;

步骤二，因为L（θ）和lnL（θ）在同一处θ取得极值，所以可以建立对数似然函数lnL（θ）;

步骤三，求出。

若总体分布中只含一个未知参数，则令求得;

（考研试题未出现 ，但考试大纲有要求）若总体分布中含有多个未知参数，则可令解出这k个方程的方程组，求得的最大似然估计。

4.似然方程无解的特殊情况，用最大似然估计法求点估计

求最大似然估计的难点是由似然方程解不出θ的估计值，则可由定义直接在边界点找出最大似然估计。（属于难题，请大家仔细研究）

例（2015年数一数三）设总体X的概率密度为，其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求θ的最大似然估计量。

解：建立似然函数=，当时，才有对数似然函数;但是无法求出值θ，从可以看出θ值越接近1，lnL（θ）越大，但受到条件θ≤Xi≤1（i=1，2，…，n）的约束，即只有θ≤Xi（i=1，2，…，n）时，才有非零的似然函数，所以，由最大似然估计法的定义知=min{X1，X2，Xn}。

注：此类题型出现情况：2015年數一数三;2000年数一。

参考文献

[1]教育部考试中心.全国硕士研究生入学统一数学考试大纲：2019版[M].高等教育出版社，2018.

[2]夏天.考研数学中概率统计试题分析[J].考试周刊，2013（9）：3-5.

[3]浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社，2008：149-152.

作者简介：

李佳（1979-），女，江西南昌人，讲师，硕士研究生，主要从事计算机辅助教学和心理测量方面的研究.

邓有莲（1979-），女，江西泰和人，讲师，硕士研究生，主要从事计算机辅助教学的研究.