2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点与复习建议

张晓斌 范美卿

摘  要：2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点有：试题实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务;特别加大了对学生阅读理解能力的考查力度;体现了今后新高考考查的部分新方向;充分体现与新高考文、理合卷的衔接过渡;更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养;文、理科压轴题的难度有所下降，但全卷学生得分较难，获得满分更难. 并给出了高三数学复习教学的一些建议.

关键词：2020年高考数学;全国Ⅱ卷;命题特点;复习建议

2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题仍以《普通高中数学课程标准（实验）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（数学）》为依据，设计新颖，特别关注应用与创新，突出体现了新课改的精神. 命题突出数学学科特色，由能力立意向核心素养导向转化，从学科的本质出发考查“四基”，重点考查数学思想方法，以及理性思维能力和“四能”. 试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设成就和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重数学的应用性，在考试评价中落实立德树人根本任务. 其中，函数与导数、解析几何、立体几何、三角函数、概率与统计等主干知识仍是重点考查内容. 题目构思巧妙，试卷难度低起点、高出口，注重体现文、理科的差异，试题结构稳中有变，有很好的区分度.

一、试题特点分析

1. 实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务

文科第4题（理科第3题）以“‘新冠肺炎’疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，许多志愿者踊跃报名参加配货工作”为背景设计试题，时代气息浓厚，既体现抗击“新冠肺炎”的时代背景，又融合当下“网购”“志愿者”等热词，具有时代特色，体现了德育、智育与劳动教育，立德树人.

例1 （文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成[1 200]份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过[1 600]份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）.

（A）10名  （B）18名  （C）24名  （D）32名

文科第3题以钢琴琴鍵的原位大三和弦和原位小三和弦为背景设计，让学生通过简短的文字从数学角度认识音乐中的和弦问题，普及音乐常识，提升音乐素养，体现了通过音乐、美术的熏陶实现传统文化育人.

理科第4题以北京天坛的圜丘坛石板铺砌数量为背景考查数列相关问题，让学生感受我国厚重历史文化沉淀，将德育、智育和美育有机融合.

例3 （理4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层（如图2）. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（    ）.

理科第12题以0-1周期序列在通信技术中的重要应用为背景来设计试题，强调数学在通信技术中的基础性地位. 让学生在理解题目中的[Ck]的意义的基础上，解决相关数学问题. 通过信息的获取、分析、理解和应用等一系列环节，体现了数学周期性应用的智育价值.

理科第14题以学校派学生参加小区垃圾分类宣传活动为背景，紧扣时代脉搏，倡导时代新风尚，体现学校劳动教育的要求.

例5 （理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是      .

文、理科第18题以“某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加”为背景设计试题，生动地对学生进行了生态环境保护教育.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）;

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

2. 特别加大了对学生阅读理解能力的考查力度

文科第3题、第4题和第18题，理科第3题、第4题、第12题和第18题，题面文字表述较长，符号、图表语言较多，需要学生具有较强的阅读理解能力. 这种阅读理解题在2018年以前的高考数学全国Ⅱ卷中较少出现;2019年理科有2道题，文科有1道题;2020年理科增至4道题，文科增至3道题. 由此可见，这种阅读理解题的数量有逐年增加的趋势.

3. 体现了今后新高考考查的部分新方向

首先，试题命制不仅有传统的封闭性题目，还有具有一定开放性的题目，注重对学生数学学科核心素养的考查. 例如，文、理科第16题是一道选择正确命题形式的开放性填空题，与未来新高考的多项选择题形式雷同，有很强的指导意义;文、理科第18题设计为三道小题，且最后一道小题要求学生先回答结果，再说明理由，也有一定的开放性.

其次，试题设计注重前后小题的层次性和关联性. 例如，理科第21题（压轴题）设计为三道小题，前一道小题是后一道小题的铺垫，层次性和关联性都很强，让学生在解题后有拾级而上、步步深入的感觉.

4. 充分体现了与新高考文、理合卷的衔接过渡

2020年高考数学全国Ⅱ卷中，文、理科相同试题有9道，其中选择题5道、填空题1道、解答题3道;姊妹题有第19题（解析几何题）和第20题（立体几何题），这两道题仅第（2）小题略有不同，其余全部相同，在第（2）小题的思维层次和运算素养等的要求上，理科要比文科高出许多. 总之，文、理科数学试卷正在向新高考数学文、理合卷靠拢.

下面研究该题的第（2）小题.

针对文科第（2）小题，由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知条件进行求解即可. 通过此题，考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养. 具体解法如下.

该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明，以及四棱锥体积的计算，解题的关键是面面垂直向线面垂直的轉化和棱锥的体积公式，考查了学生的分析能力和空间想象能力，属于中档题. 试题需要学生从图形位置想象空间中直线与平面的平行、垂直、角度等位置关系或数量关系，猜想点[P]为线段AM的一个三等分点（靠近点A），猜想从点[M]出发，作以[EB1C1F]为底面的四棱锥的高，垂足在[PN]上，并运用逻辑推理严格确认，再通过数学运算得到最终结果，综合考查学生的数学学科核心素养.

该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明及线面角的求解，试题难度逐级推进. 首先，需要学生由直观想象、逻辑推理得出面面垂直的结论，第（2）小题则要充分利用刚才得到的结论，解题的关键是将面面垂直向线面垂直转化，结合线面角的定义，考查学生分析问题、解决问题的能力，以及空间想象能力，属于难题. 若与建立空间直角坐标系并用空间向量求解的方法相比较，上述几何传统方法在运算上要简洁得多. 由于缺乏对条件的深入分析，很多学生在建立坐标系时都把棱柱当成侧棱垂直于底面的特殊情况来做，虽然最后求出的结果碰巧与正确答案完全相同，但却造成了失误.

5. 更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养

2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题对学生“四基”“四能”的考查要求更高，特别是对学生的数学学科核心素养和综合素养的考查力度加大. 具有严谨性与开放性并存、一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存、应用性与育人性并存等特点. 例如，文、理科第16题和第18题既体现了开放性，又有严谨性的要求;文、理科第20题具有一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存等特点，成为2020年高考数学试卷中的一道有亮点的试题. 另外，理科第6题和第12题都体现了特殊与一般的并存;文科第3题、第8题、第9题、第11题、第16题、第19题、第20题等，理科第4题、第5题、第7题、第8题、第10题、第16题、第19题、第20题等都体现了直观性与抽象性并存和变式推理性与数式运算性并存的特点;所有具有应用性背景的试题都具有应用性与育人性并存的特点. 总之，试卷中的每道试题都体现了对数学学科核心素养的考查，这对中学数学教学起到了很好的导向作用.

6. 文、理科压轴题得满分较多，但全卷得分较难，得满分更难

2020年重庆市参加高考的文科学生[74 997]人，理科学生[113 594]人. 文、理科选择题满分60分，填空题满分20分，第17题至第21题每道题满分12分，第22题至第23题每题满分10分. 文科压轴题第21题获得满分的学生有222人，理科压轴题第21题获得满分的学生有105人，但是全卷文、理科没有一名学生获得满分，这说明全卷难度不是放在第20题和第21题这两道压轴题上，而是把难度分散到多个中档题目之中. 例如，文、理科第18题、第22题、第23题等学生都不易获得满分，这使得学生全卷得分较难，得满分更难. 2020年重庆市高考数学成绩统计数据，见表1、表2和表3.

文、理科的三角解答题（第17题）与常见的三角解答题在解法与运算上有些不一样，此题容易入手，但继续深入就不容易，成为学生解题的“拦路虎”，很多学生在此题的解答上耗时过多，同时错误百出，导致学生快速准确完成全卷的难度增加.

文科学生第（1）小题出现的错误有： 公式乱用，如[cos2π2+A=-sin2A，cos2π2+A=cos2π2cos2A-sin2π2sin2A;]关键步骤不写;运算错误;等等. 第（2）小题出现的错误有： 边角转化思路不清、条理混乱;利用正弦定理和已知条件，学生常常出现[b-c=33a=33sinA=12]的错误;很多学生利用余弦定理和已知条件联立方程，计算不出结果.

理科学生出现的错误有：余弦定理记忆不准确;已知余弦值求角度出错;利用不等式求最值时，不等号方向相反，也当最值使用，如求出[bc≤3]，又利用[b+c≥2bc]，得到[2bc][≤23];把周长当成面积来求;均值不等式变形错误，如[bc≤b+c22];不会使用辅助角公式;等等.

二、复习教学建议

1. 依据上述命题特点，加强复习的针对性

教师的眼睛既要向下看又要向上看，不仅看学生的数学学习实际情况，还要看近几年高考数学考试命题的方向. 做好三轮复习，第一轮“走”一遍，第二轮“跑”一遍，第三轮“考”一遍. 认真编题、选题、做题、评题和品题.

2. 以重点知识为核心，带动其他知识的专题复习

数学第二轮复习主要是重点专题复习，常见的专题有查漏补缺专题、重点知识专题、思想与方法专题. 以重点知识构建主专题复习，非重点知识要融入平时的考试与练习中.

3. 认真组织集中练习，提升学生的思维能力

对重点知识组织专门练习，每个专题安排2 ～ 3套练习;对选择题、填空题可以组织10 ～ 15套专门练习;对中等难度的解答题也可以组织5 ～ 10套专门练习;最后着力打造3 ～ 5套综合模拟适应性训练题. 但切忌只练习不回顾重点知识的做法.

4. 做好每次考试分析，向讲评课要质量

切实做好每次考试试卷分析，试卷讲评要有的放矢，注重试卷讲评课的统计性、选择性、方法性、变式性、概括性和互动性. 不讲评就不考，考了就一定要讲评，这样才会收到实效，坚决反对在教室张贴答案的没有效果的做法.

5. 做好“四本”，重视课堂学生反馈

在日常复习中，要求学生做好练习本、笔记本、错题本、手抄本（知识清单）. 在课堂复习教学中善于从提问、练习、学生表情中获得学习情况反馈. 注意在课堂上给学生内容、时间和展示机会，善于观察学生，及时了解他们的学习情况.

6. 教师课前累、学生课中累、学生课后会

教师课前要认真思考，查找资料，做题想题，急学生所急，想学生所想，精心设计好每一个问题，备好高三每一堂复习课和试卷讲评课. 为的是能在课堂上引领学生积极思考，开启学生思维的闸门，使学生的大脑内部能进行剧烈的思维运动，让学生领悟数学思想与方法，能运用所学知识发现和提出问题，分析和解决问题的思维能力得到提升，这样学生就会自己独立解决问题了.

7. 对学生解答全卷试题进行方法指导

面对即将到来的新高考，日常要增加多选题的训练，全卷解答要先易后难，有主次之分;选择题、填空题力争会的全做对，中等难度的解答题尽量把主要解题步骤写清楚;压轴难题能做多少就做多少. 另外，还要注意训练书写规范.

8. 树立目标意识，保持良好心态

每名学生都应该确定自己的基本分，树立目标意识，锻炼锲而不舍的精神;保持良好的考试心态，仔细认真，克服畏难情绪;综合练习后善于“悟一悟”，学会反思总结;临考前进行心情放松训练，增强考试信心;等等.

9. 不猜题、押题，以官方公布信息为准

高考的基础内容是能复习到的，高考难题是猜不到的. 要想解决高考难题需要能力达到，并且积累一定的解决难题的经验. 以教育部考试中心当年公布的信息为准，适当关注山东、海南、北京、上海、天津、江苏、浙江等地的高考试卷，特别注重全国卷的导向.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.