基于函数思想的高中数学解题研究

李德祥

摘 要：函数思想的本质其实就是一种在转化思想范畴内的构造函数思想。在高中数学教学的具体内容中，有很多模块的教学都离不开函数思想的应用，如比大小、列方程、函数不等式教学等，都有着非同寻常的应用意义，有利于引导学生对解题步骤进行简化，促进解题效率的大幅增长。因此，在高中数学课堂上，特别是在数学解题教学中，非常需要教师给学生有效渗透函数思想，在此基础上，锻炼学生解题能力，发展数学思维，增强综合能力。本文主要研究基于函数思想的高中数学解题教学策略。

关键词：函数思想;高中数学;解题研究

数学课程学习的核心内容就包括解决数学问题，旨在解题过程中实现知识的有效运用，对于学生来说，是否可以迅速且正确进行解题，很大程度上要看学生的解题思路与技巧是否清晰，解题思想是否科学。然而，眼下学生进行数学解题时普遍深陷“题海”当中，走不出解题盲区，解题思想不清晰，解题思路不正确。在此背景下，作为数学思想中最重要的组成元素，函数思想的建立与运用非常有利于学生捋清解题思绪，提高解题效率。基于此，在高中数学教学中，还需教师引导学生对函数思想做出深入剖析，研究其本质，并实现有效运用，以便给数学学习提供不竭动力。

一、函数思想下的高中数学解题现状

在高中数学课堂上，针对函数板块进行教学时，由于教师之间教学风格与水平的多样性，导致给学生造成不同的学习效果。在评价授课效果时，不能片面参考教师的执教资质，执教长的教师效果不一定好，执教短的教师效果不一定差，主要还是要与新课改理念有机结合。笔者自执教来旁听了很多各年龄段教师开展的函数板块教学课程，从中总结出眼下多数教师的课堂教学效果并不理想，存在较多不足，具体体现在以下方面：

（一）照本宣科

现阶段，有些教师在课堂上带领学生应用函数思想解决高中数学题时，大多都是毫无新意地对课本教材进行复刻，虽然课本知识都是正确的，但是机械地搬弄只会让学生感觉到学习的枯燥乏味，很难提起兴趣。对比教师给出的相关概念与定义，通常会使学生回忆起初中学到的函数知识，此时的学生难免会产生疑惑“为何与之前学过的函数定义存在不同？”假如教师不能在本节课及时给学生答疑解惑，那么便会对其日后的学习造成不良影响，只会让学生更难以理解后续的课程[1]。因此，以函数思想为指导的高中数学解题教学在具体开展过程中，首先需要教师对比初中函数概念进而引出高中阶段需要学习的函数思想内容，带领学生完成由已知到新知的过渡，及时消除学生疑虑。

（二）不顾学情，盲目授课

在广大的教师队伍中还有这样一类教师，其年轻敬业，却习惯性忽视学生的实际学情。这些教师在给两个不同班级教学时，常常忽视每个班的学生在学习能力方面存在着较大差距，教师在给能力更强的班级授课时会迅速递进相关知识点，一节课包含众多知识点，然而等到课下批阅学生作业时却发现学生很快就能接受所学知识，效果还不错，就会认为这种教法是有效的。因此，到另一个班教学时，依然会套用相同的教学思路与方法，此时，这个班的学生学习起来就相当费力，眼下的知识点还没搞清楚就要跟上教师步伐学习下一个知识点，一节课下来大多学生都是云里雾里的，完全不清楚这节课讲了什么，最终导致能力较差的学生学习效果不佳[2]。因此，在日常教学中，尤其是在讲授函数概念性内容时，教师务必要重视分析学生实际学情，制定相适宜的教学计划，以求给学生日后顺利、高效学习打下坚实基础。

（三）枯燥无味

还有一些教师讲课时根本提不起学生兴趣，给学生造成枯燥乏味的认知。主要是因为刚刚升入高中的学生还没有完全适应眼下的学习生活，加之函数板块的内容本就晦涩难懂，很多教师在课程刚开始时就单刀直入切进正题，缺少有效的铺垫引导，所以很难激发学生兴趣，导致教学效果不理想。因此，给学生讲授函数模块的内容时，需要教师融入新课程理念，鼓励学生自主探究学习内容，主动获取知识，掌握高效学习方法。教师可适时为学生创设相应教学情境，引导其尝试亲近数学概念、定理、公式、思想方法等，在此基础上点燃其学习热情，增强学习兴趣，进一步打造高效课堂。最后，还有一个不容忽视的问题，就是教师自身的数学素养缺乏。存在这一问题的基本上都是刚刚走上教育工作岗位的青年教师，针对抽象且杂乱的函数思想内容，很多教师尚未形成清晰的教学思路，教学方案缺少逻辑性、连贯性，很难吸引学生注意力。

二、基于函数思想的高中解题研究

（一）函数思想解决不等式问题

不等式是高中数学教学中最为重要的组成部分，也是高考中最为重要的内容之一。但是在具体的教学中，由于数学不等式这一部分的内容相对比较简单，学生很容易找到不等式的解题规律。在对其进行解决的时候，函数思想就是最为重要的一种技巧。具体来说，通过函数思想的应用，可充分借助函数思想，引导学生在函数图像的分布区间，对不等式进行直观地表示。如此一来，不仅节约了学生对不等式的计算时间，也在很大程度上提升了不等式的解题效率。

具体来说，在借助函数思想解决不等式问题的时候，主要有以下两种类型：第一、利用函数的单调性，对不等式问题进行解决。通常情况下，通过函数单调性的利用，可进行证明、判断、比较大小等问题中。且通用的范式就是将不等式进行转化，使其成为函数，即f（x）≥a，或者f（x）≤a，其中这一不等式左边的是函数y=f（x），右边是a的某一个自变量x的函数值。因此，即可指导学生利用函数的单调性，对不等式问题进行解决;第二、利用函数周期性对不等式问题进行解决。某一些函数具有周期性，要求解决不等式。针对这一类的不等式和函数问题时，就可以引导学生借助函数思想，引导学生对整个定义域的不等式进行求解。

（二）函数思想解决数列问题

数列问题一直是高考数学评估中的关键和难点问题。数列由有序数字组成，每个都可将其看作一个函数。函数思想与科学研究的独立变量有关。两者可以在一定条件下相互转换，从而简化了复杂的问题。因此，在学生解题的整个过程中，应探索题目内隐藏条件，深入地分析问题，并建立函数思想和数列间存在的联系性、规律性。基于函數思想解决数列问题，有助于深化数列定义、等比、等差等知识衔接[4]。数列问题求解，应抓住题目中的已知条件与利用函数的单调性与连续性等定义互相转化，求得数列分布规律和通项公式，促使问题得到高效解决。此外，教师在课堂上应有目的地指导学生找到最佳解题方案，点燃数学学习热情，发展学生的逻辑思维能力，帮助其掌握函数思想。保持灵活性，借助数学思想来解决实际问题，并提高学生的数学水平。最后，教师应重视训练学生的数学思想应用能力，并在课堂上充分说明数学思想的重要性。

（三）应用于方程解析

在具体数学中，函数和方程经常紧密相关。一般情况下，学生可以轻松求解简单的方程式。但是，方程中有着很多等式参数，已给条件并不能让学生解决问题，此时，学生就会陷入思维困境。教师必须充分发挥自己的主导作用，引导学生正确思考，并让学生进行理性思考以区分是否有必要结合函数思想来求解数学方程式。在相互交流和讨论之后，引导学生掌握解决问题的方式。首先，简化方程式，然后找到问题中的对应关系以创建直角坐标，最后找到连接点的总和作为方程式的解。将抽象方程式转换为具体函数图像，引导学生掌握函数思想运用技巧，使其对此类问题形成扎实的理解，这对于学生以后再次解答这类问题是非常有益的[5]。可使用解析式来描述某一函数关系，该表达式即为方程;某二元方程组的两个未知数之间存在单值对应关系，这种情况下，可将该方程当成一个函数。方程组的两边分别当成一个函数，方程的解是两个函数图像交点的横坐标轴。因此，在高中方程问题的求解过程中，更加有利于渗透函数思想。

（四）函数思想解决三角函数问题

在数学学习中，三角函数是其关键部分，也是更复杂的知识点，因为涉及许多公式，学生在回答问题的整个过程中，很有可能因为使用公式计算和定义掌握不完整，所以给出答案总是错误的。其次，由于三角函数的复杂性，传统解题方法通常会消耗大量时间，尤其是在考试的情况下，通常会导致学生没有足够的考试时间。为了应对这种情况，在教师改进三角函数解题时，可从三角函数和函数思想间的关系入手，找准时机渗透函数思想，促使解题过程更加轻松、高效。一般来说，虽然三角函数隶属几何知识，函数隶属代数范围，二者在表面上没有相通性。但是，二者的内在有着很大联系：角的集合与实数集间有着一对一的对应关系，一定确定角度的角又与唯一一个正弦值相互对应[6]。结合该定律，可以明确确定正弦函数。因此，在实际的三角函数求解问题中，教师可以引入函数思想，根据函数模型的创建，复杂的三角函数问题将变得越来越简洁明了，促使学生轻松解题。

（五）在最优化问题中的应用

除了将函数思想应用到各种数学问题解决以外，函数思想还可应用于日常生活，这主要是因为数学思想在日常生活中有很强的应用性，在数学知识的学习中，引导学生积极将数学知识变化为生活经验，深化理解函数知识，并增强学习能力。例如，进行课堂教学时，师生经常遇到以最小的成本获得更大的经济效益的问题，即最优化问题。基于函数思想，可以在已知数量和未知数量之间建立关系，进而形成正确函数关系式，随后联系函数关系的相关性质，顺利解决问题， 算出正确答案。学生的解题过程，同样是其函数思想学习的过程，也是学生能力锻炼的过程，通过教师的有效引导，对培养学生综合应用能力有着积极作用。

结语

在完整的数学思想中，函数思想是最基础也是应用最广泛的一种思想方法，在学生实际解题时，需要有效结合其他数学思想，以提升解题效率。通过函数思想的有效渗透，来帮助学生灵活变换思维模式，促使数学问题更加简洁明了，并快速得出答案，锻炼学生思维能力的同时，不断强化解题能力，有利于快速提高学习成绩，真乃一举多得。

参考文献

[1]古懂敏.巧用数学能力密钥，开启高中数学解题教学之门[J].新课程，2020（33）：12-13.

[2]王鹏.函数思想在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2020（22）：51-52.

[3]王跃霞.运用函数思想，打造高中数学解题中的万能钥匙[J].高考，2020（25）：14-15.

[4]张远.构造函数在高中数学解题中的应用分析[J].数理化解題研究，2020（21）：8-9.

[5]姚铭赣.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化（自主招生），2020（Z1）：12.

[6]周晓琳.构造函数在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2020（19）：26-27.