立足基础·关注能力·聚焦素养

2021-09-10杨开学李建英

中国数学教育（初中版） 2021年2期

杨开学　李建英

摘要：方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，也是代数学的核心知识和有效工具，更是分析和解决实际问题的重要方法. 方程与不等式包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容. 总体而言，2020年全国各地中考试题对本部分的命题设计紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求，立足基础，突出关键能力，聚焦数学学科核心素养.

关键词：方程与不等式;数学模型;命题思路;数学素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，也是代数学的核心知识和有效工具，更是分析和解决实际问题的重要方法. 方程与不等式包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容. 总体而言，2020年全国各地中考试题对本部分的命题设计紧扣《标准》要求，立足基础，突出关键能力，聚焦数学学科核心素养.

具体来讲，2020年中考数学方程与方程组的命题设计重点放在解法和应用上，与往年相比变化不大;而不等式与不等式组的设计重点为：既考查基本解法，又高度关注与其他知识的交叉融合，突出其工具性的特点. 为此，现结合《标准》要求，从落实“四基”、关注能力、聚焦素养三个角度对2020年全国各地中考数学关于“方程与不等式”内容的试题的命题思路进行分析.

一、试题设计整体分析

方程与不等式作为刻画数量关系的重要数学模型，在数学中的地位至关重要. 而“相等”与“不等”又是数学中两种基本的数量关系，两者相辅相成，形成了对数量关系完整的认识，地位不容忽视.

从2020年全国各地中考试题来看，其基本遵循《标准》的要求，普遍从不同层次、不同角度对方程和不等式进行了全面、系统的考查. 可以看到，大部分试题的命制从方程与不等式的内涵和本质出发，以“解”和“列”为支撑，对基本概念、基本性质和基本方法进行全面考查. 部分试题关注了转化思想、模型思想、分类讨论思想等数学思想方法的落实;部分试题在体现形式上进行了创新;部分试题注重了对数学文化的考查，在解决函数问题中突出了对方程与不等式的应用，凸显了其工具特性，强化了应用意识.

在分析2020年全国各地区约120套中考数学试卷后，发现大多数试卷中与方程和不等式内容相关的试题分值占总分值的11%左右，比例合理，与2018年和2019年相比占比略有下降. 对该部分内容投入分值较大的有广东东莞卷、贵州铜仁卷和内蒙古通辽卷，均占18%左右;在河北卷、贵州贵阳卷中占比较小. 难度方面，容易题、中等题、难题都有涉及，以容易题和中等题为主;题量方面，每套试卷大多设计2 ～ 4道试题. 题型及试题结构方面，主要是1道选择题、1道填空题或1道解答题.

二、命题思路分析

1. 立足“四基”，夯实基础

方程与不等式涵盖的内容有：等式的性质、一元一次方程的定义与解法、一元二次方程的定义与解法、根与系数的关系、分式方程的定义与解法、无解问题、一元一次不等式（组）的定义与解法、在数轴上表示解集. 相对而言，“方程与不等式”部分考查内容比较简单，对学生提出的主要是运算能力方面的要求，面向全体学生，以体现义务教育阶段数学课程的基础性与普及性.

（1）对基础知识的考查.

例1 （湖南·株洲卷）下列哪个数是不等式[2x-1+3<0]的一个解？（）

（A）-3 （B）[-12] （C）[13] （D）2

【評析】此题考查的是一元一次不等式的解的问题，命题者并没有正面设计让学生去求该不等式的解（范围），而是要求学生在选项中寻找一个数满足不等式即可，因此解题方法也不唯一，既可以求解判断，也可以逐一带入选项验证，加深了学生对一元一次不等式的解这个基本概念的认识. 此题虽然简单，但不失为一道好题.

例2 （重庆A卷）解一元一次方程[12x+1=1-13x]时，去分母正确的是（）.

（A）[3x+1=1-2x] （B）[2x+1=1-3x]

（C）[2x+1=6-3x] （D）[3x+1=6-2x]

【评析】此题是一道解一元一次方程的试题，试题没有要求解出方程的结果，而是设计求解过程中一个步骤——去分母，既突出“去分母”这个知识的重要性，又提醒师生在关注结果的同时更要关注解题过程的严谨性和完整性.

例3 （甘肃·金昌卷）解不等式组：[3x-5<x+1，22x-1≥3x-4，] 并把它的解集在如图1所示的数轴上表示出来.

【评析】此题考查的是一元一次不等式组的解法以及解集的表示，也展现了数与形是表示不等式组解集的两种基本方法.

类似地，考查一元一次不等式组解法的试题还有北京卷第18题、福建卷第17题.

例4 （江苏·南京卷）关于x的方程[x-1x+2=p2]（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）.

（A）两个正根（B）两个负根

（C）一个正根，一个负根（D）无实数根

【评析】此题考查的是二元一次方程根的情况，根据已知方程形式，需要进行转化，进而计算判别式，根据判别式的符号判断根的个数情况，然后借助根与系数的关系，确定答案为选项C. 此题巧妙设计了方程的形式，等号的左边为一次因式的乘积，右边是含有参数p的表达式，这样的设计不仅融入了转化思想，而且提高了学生的运算能力.

类似地，广西玉林卷第21题、北京卷第10题、湖北孝感卷第21题都是围绕二元一次方程根的个数及根与系数的关系设计的，这也是近几年中考中的一种高频命题方式.

例5 （甘肃·金昌卷）已知x = 1是一元二次方程[m-2x2+4x-m2=0]的一个根，则m的值为（）.

（A）-1或2 （B）-1 （C）2 （D）0

【评析】此题考查的是一道借助已知方程的根求方程中未知数m的试题，通过对根的概念的运用，重新建立关于m的一元二次方程，进而解得m的值，这是对基础知识的考查. 当然，这里学生容易忽略一元二次方程成立的基本条件，即二次项系数不能为0，这是对学生思维缜密性的考查.

类似地，考查一元二次方程概念和解的试题还有江苏常州卷第14题.

（2）对基本技能的考查.

例6 （山东·聊城卷）用配方法解一元二次方程[2x2-3x-1=0]，配方正确的是（）.

（A）[x-342=1716] （B）[x-342=12]

（C）[x-322=134] （D）[x-322=114]

【评析】此题考查解一元二次方程的基本方法——配方法，因配方过程涉及提取二次项系数和完全平方公式的逆向运用等知识，故对学生的运算能力有一定的要求. 又因为各个选项有一定的迷惑性，因此此题得分率并不高，需要引起各地教师的高度重视.

例7 （浙江·嘉兴卷）用加减消元法解二元一次方程组[x+3y=4，①2x-y=1 ②]时，下列方法中无法消元的是（）.

（A）[①×2-②] （B）[②×-3-①]

（C）[①×-2+②] （D）[①-②×3]

【评析】消元法是解二元一次方程组的基本方法与技能，消元的方法有代入消元法和加减消元法. 此题考查的是加减消元法，并且需要先进行系数的统一，对学生的消元技巧和转化思想有一定的要求.

类似地，考查二元一次方程组解法的还有广西玉林卷第20题和黑龙江大兴安岭卷第19题.

例8 （山东·滨州卷）若关于[x]的不等式组[12x-a>;0，4-2x≥0] 无解，则[a]的取值范围为 .

【评析】此题探究一元一次不等式组无解的问题. 正确求出每个不等式的解集是基础，结合数轴利用数形结合思想是解答此题的关键，也是解一元一次不等式组应具备的基本的技能.

类似地，考查一元一次不等式组解集的还有黑龙江大兴安岭卷第5题和山东烟台卷第12题，这些试题都是要求先求出每个不等式的解集，再画出数轴，最后结合图象理解一元一次不等式组的解集.

例9 （重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组[3x-12≤x+3，x≤a] 的解集为[x≤a，] 且关于y的分式方程[y-ay-2+3y-4y-2=1]有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）.

（A）7 （B）-14 （C）28 （D）-56

【评析】此题的第一个考点为通过不等式组的解集确定字母系数的取值范围，对学生的思维有一定要求;第二个考点为会解分式方程，渗透对转化思想的考查;第三个考点为通过分式方程解的情况将分式方程解的问题转化为[a+23]为正整数值的问题，即[a+2>0]且[a+2]为3的倍数，实现知识间的转化互用，這对学生的转化能力有着较高的要求. 同时，[a+23≠2]即分式方程有意义，这是学生容易忽略的地方，对学生的逻辑推理有较高的要求.

2. 渗透思想，提升能力

方程（组）与不等式（组）之间有很多内在联系，在学习和应用的过程中贯穿了模型思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等数学思想，有利于提升学生的数学能力和思维品质.

（1）模型思想.

结合实际问题，注重在新的问题情境下合理构建方程或不等式模型，借助数学的语言和方法，经历表达数量关系、实现逐步转化、解决实际问题的基本过程，始终是研究方程与不等式的核心，既是出发点，也是落脚点. 2020年全国各地中考数学试题对这部分模型思想的考查试题比比皆是，是命题的主要方向之一，复习时应引起高度关注.

例10 （浙江·金华卷）如图2，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为[x，] 则列出方程正确的是（）.

（A）[3×2x+5=2x]

（B）[3×20x+5=10x×2]

（C）[3×20+x+5=20x]

（D）[3×20+x+5=10x+2]

【评析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程模型的问题，合理利用图片设计试题是此题命题的一大亮点，正确表示十位数是解题的关键. 直接利用表示十位数的方法得出等式即可.

例11 （湖南·长沙卷）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大. 为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同. 设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）.

（A）[400x-30=500x] （B）[400x=500x+30]

（C）[400x=500x-30] （D）[400x+30=500x]

【评析】此题借助“5G产品的需求”这一社会关注度较高的热点情境，考查用分式方程解决实际问题. 通过分析试题中的数量关系，找出相等关系——更新技术前后的生产时间相等，进而依据相等关系列出方程是解决问题的关键.

类似地，辽宁本溪卷第8题借助“快递公司投递快件的能力”这一情境设计考查分式方程的应用性.

例12 （浙江·衢州卷）某厂家2020年1 ～ 5月份的口罩产量统计图如图3所示. 设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为[x，] 根据题意可得方程（）.

（A）[1801-x2=461] （B）[1801+x2=461]

（C）[3681-x2=442] （D）[3681+x2=442]

【评析】此题考查口罩产量的实际问题，口罩作为2020年最“火”的日常用品之一，其积极意义不言自明. 借助统计图把实际问题转化为一元二次方程模型是此题的命题亮点.

例13 （宁夏卷）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A，B两种防疫物品. 如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1 140元;如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元.

（1）求A，B两种防疫物品每件各多少元？

（2）现要购买A，B两种防疫物品共600件，总费用不超过7 000元，那么A种防疫物品最多购买的件数为多少？

【评析】2020年疫情肆虐，全国上下众志成城，积极抗疫. 此题借助“献爱心捐款”这个情境，既积极传递正能量、弘扬传统美德，又考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，有一定的借鉴意义.

（2）数形结合思想.

在研究方程与不等式中求字母系数问题时，往往借助数轴考查数形结合思想.

例14 （河南卷）已知关于x的不等式组[x>a，x>b，] 其中a，b在数轴上的对应点如图4所示，则这个不等式组的解集为__________.

【评析】此题考查不等式组解的问题，已知中呈现的不等式组形式简洁，命题的亮点是先需要借助数轴判断a，b的大小，然后求解，进一步强化了常规方法，渗透了数形结合思想.

（3）分类讨论思想.

在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题，这也是方程与不等式内容的一个重要命题方向. 复习中，教师要引导学生逐步体会为什么要分类、如何分类，以及如何确定分类的标准，从而使学生在分类的过程中认识对象的性质，感悟分类讨论思想的魅力.

例15 （贵州·铜仁卷）已知[m，n，4]分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且[m，n]是关于[x]的一元二次方程[x2-6x+k+2=0]的两个根，则[k]的值等于（）.

（A）7 （B）7或6 （C）6或[-7] （D）6

【评析】此题考查了根的判别式、一元二次方程的解，以及等边三角形的性质等内容，围绕等腰三角形（非等边三角形）三边的长[m，n，4]中哪两个数量相等展开分类讨论，代入方程即可得到结论. 当[m=n]时，即[Δ=-62-4×k+2=0，] 解方程即可得到结论.

类似地，广西玉林卷第11题命制利用截木条构造相似三角形的问题，黑龙江大兴安岭卷第15题为已知等腰三角形两边求周长的问题，都涉及对分类讨论思想的考查.

（4）转化思想.

例16 （上海卷）用换元法解方程[x+1x2+x2x+1=2]时，若设[x+1x2=y，] 则原方程可化为关于[y]的方程是（）.

（A）[y2-2y+1=0] （B）[y2+2y+1=0]

（C）[y2+y+2=0] （D）[y2+y-2=0]

【评析】此题考查用换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法之一. 此题利用转化思想把分式方程化繁为简、化难为易，进而转化为关于[y]的方程. 复习时要注意总结用换元法解分式方程的特点，寻找解题技巧.

3. 突出能力，提升素养

在复习备考“方程与不等式”这部分内容时，除了要关注基础性，还应该重视培养学生的抽象概括能力、数学语言与符号语言表达能力、逻辑推理能力和数学建模能力，进而培养学生的应用意识和创新意识，整体提升学生的数学学科核心素养.

（1）阅读与抽象概括能力.

例17 （内蒙古·通辽卷）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m ※ n = m2n - mn - 3n，如：1 ※ 2 = 12 × 2 - 1 × 2 - 3 × 2 = -6.

（1）求[-2]※[3;]

（2）若3 ※ m ≥ -6，求m的取值范圍，并在所给的数轴（图5）上表示出解集.

【评析】此题属于新定义试题，主要考查正确理解新运算的定义及其应用能力，突出考查学生的阅读能力和抽象概括能力. 解题的关键是根据新定义正确列出算式.

类似地，还有河南卷第7题.

（2）创新能力.

例18 （青海卷）在解一元二次方程[x2+bx+c=0]时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1 = 2，x2 = 3;小刚看错了常数项c，得到的解为x1 = 1，x2 = 4. 试写出正确的一元二次方程__________.

【评析】此题情境设计新颖、构思巧妙，主要考查一元二次方程的根与系数的关系，而非解一元二次方程. 因此，在考查学生阅读理解题意和解题策略选取方面有较高要求.

类似地，还有广西玉林卷第21题、湖北黄冈卷第10题和江苏泰州卷第10题.

（3）传承文化，提升素养.

数学文化一直是教学与评价的重要内容之一，方程与不等式这部分内容从中国古代的《九章算术》到现代的微分方程都得到持续不断的变化与发展. 在中考试题中融入中国传统数学文化或直接呈现原著中的相关问题，自然成为命题的一个方面，这对于促进学生全面发展，形成良好的数学素养具有重要意义.

例19 （福建卷）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）.

（A）[3x-1=6 210x] （B）[6 210x-1=3]

（C）[3x-1=6 210x] （D）[6 210x=3]

【评析】此题以数学文化为背景，考查分式方程的应用性，将数学文化融于试题是近年来各地中考试题中一种常见的考查方式. 复习时需要关注相关的数学古籍，更要通过练习提升学生相应的翻译能力，进而解决问题.

类似地，还有河南卷第18题.

（4）逻辑推理能力.

数学学习的过程是以显性知识技能为载体，培养学生“四基”“四能”的过程. 因此，考查学生的思维品质、隐性知识、解决问题的经验也是各地中考试题命制的一个立意所在.

例20 （广东·东莞卷）已知关于x，y的方程组[ax+23y=-103，x+y=4] 与[x-y=2，x+by=15]的解相同.

（1）求a，b的值;

（2）若一个三角形的一条边的长为[26，] 另外两条边的长是关于x的方程[x2+ax+b=0]的解. 试判断该三角形的形状，并说明理由.

【评析】此题利用两个二元一次方程组同解的已知条件，考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理，以及等腰直角三角形的判定，是一道综合性较强的中档题，对学生的计算能力和方法策略要求较高. 此题的命题亮点是结合已知条件将数字系数和字母系数的方程进行二次分类重组，由数字系数方程组解得x，y，然后代入另一方程组求得a与b，最后把第（1）小题中的a，b的值代入方程，求得两个相等的根后来判断三角形形状.

三、复习建议

1. 依“标”靠“本”，立足基础

《标准》是中考命题和复习备考的依据，教师应该认真研究，以确保目标合理、方向正确，对深度和难度把握准确，明确复习的重心. 特别是要弄清楚《标准》中对每个知识的等级要求，做到“心中有数”. 教材是教学与评价的主要载体，是落实《标准》的主要工具，复习时更要回归教材、研读教材，体会教材的编写意图. 由于“方程与不等式”这部分知识分布在初中几个学期的学习中，因此在中考复习时认真研究教材的复习策略，重构系统的知识网络显得尤为重要.

2. 关注生活实际，强化应用意识

数学源于生活，又服务于生活.《标准》中明确指出，有意识利用方程与不等式模型解释现实世界中的问题;认识到现实生活中蕴涵着大量与数量有关的问题可以抽象成数学问题，用方程与不等式的方法予以解决. 2020年全国各地中考数学试卷中与实际生活相结合的试题非常多，复习时要注重培养学生的阅读理解能力和数学建模能力.

3. 增强开放意识，培养创新能力

在全国各地的中考试题中，关于此部分的试题中有5%左右的设计有一定难度. 复习时要关注有效解答的策略研究，在引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中不断探究、积累经验，体会数学知识之间的关联，注重知识的生长点与延伸点，引导学生感受数学的系统性和整体性，从不同层次、不同角度对方程与不等式的核心知识加以分析、深化理解，不断培养学生的开放意识和创新能力. 当然，更要考虑学情，分层次落实.

四、模拟题欣赏

1. 注重概念及性质的考查

（1）已知xa + 1 + 2y2 - b + 3 = 0是关于x，y的二元一次方程，则a - b的值为________________.

参考答案：-1.

（2）若a

（A）a - c>b - c （B）a - c ≥ b - c

（C）a + c

参考答案：C.

2. 注重对通法的考查

（3）方程[21-x=1]的解是__________.

参考答案：x = -1.

3. 注重对数学思想的考查

（4）已知方程[x2x+3-2x+6x2-3=0.] 如果设[x2x+3=][y，] 那么原方程可化为关于y的方程是 .

参考答案：y2 - 3y - 2 = 0.

（5）阅读以下例题.

解方程：[3x=1.]

解：当3x ≥ 0时，

原方程可化为一元一次方程3x = 1，

解这个方程得[x=13;]

当3x<0时，

原方程可化为一元一次方程-3x = 1，

解这个方程得[x=-13.]

所以原方程的解是[x=13]或[x=-13.]

① 仿照例题解方程：[2x+1=3.]

② 探究：当b为何值时，方程[x-2=b+1]满足：无解;只有一个解;有两个解.

参考答案：① x = 1或x = -2.

② 当b<-1时，方程无解;当b = -1时，方程只有一个解;当b>-1时，方程有两个解.

4. 注重应用意识的考查

（6）某中学七年级教师购买《平凡的世界》《朝花夕拾》和《钢铁是怎样练成的》供学生借阅. 已知三本书的单价之和为120元，计划购买三种书数量总共不超过125本，其中《平凡的世界》单价为50元，计划购买25本，《朝花夕拾》至少购买15本，《钢铁是怎样练成的》数量不少于《朝花夕拾》的2倍. 在做预算时将《钢铁是怎样练成的》和《朝花夕拾》的单价弄反了，结果实际购买三种书的总價比预算多了116元，若三本书的单价均为整数，则实际购买这三种书最多需要花费多少？

参考答案：4 808元.

5. 注重对传统文化的考查

（7）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.”（出自《九章算术》）意思是：同样的时间段里，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步. 假定两者步长相等，据此回答以下问题.

① 今善行者与不善行者相距960步，两者相向而行，问，相遇时两者各行几步？

② 今不善行者先行100步，善行者追之，不善行者再行300步，请问谁在前面，两人相隔多少步？

参考答案：① 善行者走600步，不善行者走360步;

② 善行者在前面，两人相隔100步.

6. 注重对综合能力的考查

（8）若整数a使关于x的不等式组[x2-1≤13x-2，3x-a≥21-x] 恰有两个整数解，且使关于y的分式方程[1-3yy-1-2a1-y=][-2]的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是__________.

参考答案：5.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.