回归本质 适度创新

陈莉红　曹经富

摘  要：对2020年全国各地区中考试题的命题特点及创新之处进行分析，寻求课程改革与教育教学实践的结合点与着力点，期望通过中考试题评价正向引导教师在课堂教学中坚持以立德树人为根本，进一步落实“四基”，着力培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学素养. 通过对中考数学试题的研究，不断提升命题质量，充分发挥考试的育人导向作用.

关键词：中考试题;命题特点;命题创新;教学启示

依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），结合中共中央、国务院印发的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，以及教育部颁发的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》等文件要求，对2020年全国各地区中考试题进行分析，寻求中考数学试题的命制特点及创新之处.

2020年是特殊的一年，受疫情影响，全国各地学生有2 ～ 6个月时间在线上学习，各地中考试题的命制适当控制难度、稳中求新，在着重考查基础知识、基本技能的基础上，创设了丰富多样的试题情境，尝试对探究性、应用性、开放性的考查，不乏有非常精彩的试题呈现. 本文主要从命题特点、命题创新、教学启示三个方面进行分析.

一、2020年全国中考数学试卷命题特点分析

2020年全国各地区中考数学试题的命制坚持正确的政治导向、育人导向和专业导向，以落实立德树人为根本任务，体现义务教育的性质，并坚持公平、全面、科学的原则，注重能力素养立意，充分关注试题的教学导向和育人功能.

1. 从命题立意方面分析

2020年中考数学试题在考查基础知识和基本技能的同时，注重落实对基本活动经验、基本数学思想的考查;注重试题情境的真实性、科学性、公平性、适切性，设问角度的创新性，设问方式的开放性，思维的层次性和发展性，探究的过程性，以及试题的应用性及育人功能，凸显素养立意. 大多数试卷都既能体现初中学业水平考试的要求，也能满足高级中学选拔的需要. 主要有以下几个特点.

（1）注重基础，突出对“四基”的考查.

2020年全国各地区中考数学试卷都能以《标准》为依据，围绕十个核心概念，着重考查基础知识和基本技能. 对“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个部分的课程内容保持适当的考查比例（一般为45%，40%，15%）. 也有山西卷、陕西卷、黑龙江齐齐哈尔卷等试卷尝试“综合与实践”试题的命制，把整卷的知识分布比例按照四个领域划分，这是以《标准》为命题依据的体现，是一种突破性的尝试，更是未来中考试卷发展的方向.

例1 （北京卷）实数[a]在数轴上的对应点的位置如图1所示. 若实数[b]满足[-a<b<a，] 则[b]的值可以是（    ）.

（A）2 （B）-1 （C）-2 （D）-3

例2 （河北卷）对于①[x-3xy=x1-3y]，②[x+3 ·][x-1=x2+2x-3]，从左到右的变形，表述正确的是（    ）.

（A）都是因式分解

（B）都是乘法运算

（C）①是因式分解，②是乘法运算

（D）①是乘法运算，②是因式分解

【评析】各地中考试卷中大都采用直接或间接设置数学情境考查“数与式”的概念、性质、法则和运算的方法，突出对基础知识和基本技能考查. 例1以数轴为载体，考查实数与数轴上点的一一对应关系，比较实数的大小关系，相反数的意义及不等式范围与数轴上线段长的对应，渗透数形结合思想;例2通过代数式的恒等变形，辨识因式分解和整式的乘法运算的区别与联系，在学生易混淆、易错的知识点处命题，考查学生对基本概念的辨析，渗透了数感和符号意识，体现了对基础知识和基本技能的考查.

例3 （江西卷）如图2所示，正方体的展开图为（    ）.

例4 （江西卷）矩形纸片ABCD，长AD = 8 cm，宽AB = 4 cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交边AD于

点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其他线段. 当图中存在30°角时，AE的长为________.

【評析】例3和例4分别以正方体展开图、折纸等基本操作活动为载体，考查学生经历剪拼、翻折等基本活动积累的经验，经过数学抽象，转化为数学运算与推理. 以上两道例题在考查正方体的性质、轴对称的性质、直角三角形、等腰三角形、锐角三角函数等基础知识的同时，考查了分类讨论思想. 例3和例4的命制起点低、立意高，有效落实了对“四基”的考查，能有效考查学生根据已有的学习经验在新的活动情境中进行有效迁移、运用的能力.

（2）注重思维过程，关注对能力素养的考查.

2020年全国各地区中考数学试卷都能从数学学科的特点出发，注重对思维过程的考查，越来越重视对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等核心素养的考查.

例5 （江西卷）已知[∠MPN]的两边分别与☉O相切于点[A，B，] ☉O的半径为[r].

（1）如图4，点[C]在点[A，B]之间的优弧上，[∠MPN=][80°]，求[∠ACB]的度数.

（2）如图5，点[C]在圆上运动，当[PC]最大时，要使四边形[APBC]为菱形，[∠APB]的度数应为多少？试说明理由.

（3）若[PC]交☉O于点[D]，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含[r]的式子表示）.

【评析】对于第三学段，《标准》中弱化了对圆的考查要求，缩小了考查范围，删除了“圆与圆的位置关系”这一内容. 各地区中考数学试卷对圆的基础知识的考查，大多是在一个圆内考查与圆有关的基本概念、性质、基本运算及简单推理，也不乏以圆为载体考查学生的动态探究、综合应用，以及分析问题和解决问题的能力. 此题着重在探究过程中考查学生的数学思维. 把定圆放入角内部，恰好与角的两边相切. 第（1）小题是静止的状态，直接给定角的大小，令点C在优弧上，蕴含着即使点C在优弧上运动，也不会改变结果;第（2）小题是动态变化的过程，点C在圆上运动，角的大小也在变化，需要通过观察、分析，判断PC取最大值时经过圆心O，再以此为前提，继续探究四边形APBC为菱形时[∠APB]的度数，再写出推理过程;第（3）小题在第（2）小题的基础上，求在特殊状态下对应的阴影部分的周长. 三道小题从特殊到一般再从一般到特殊，引导学生经历观察、归纳、猜想、证明的过程，在此过程中渗透了转化思想，以及直观想象、合情推理、演绎推理等素养.

例6 （河北卷）如图6，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°. 嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下.

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“因为CB = AD，”和“所以四边形……”之间作补充. 下列正确的是（    ）.

（A）嘉淇推理严谨，不必补充

（B）应补充：且AB = CD，

（C）应补充：且AB∥CD，

（D）应补充：且OA = OC，

【评析】此题以学生的推理过程为情境，要求根据情境分析判断，思考要达到完整正确的推理过程是否需要补充条件，补充怎样的条件，这既是对学生关于平行四边形判定定理掌握情况的考查，更是对学生思维严谨性的考查，能够有效凸显能力立意.

例7 （山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是________________________.

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS = 90°.

（3）① 尺规作图：试在图9的木板上，过点C作出AB的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）

② 说明你的作法依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）

【评析】此题围绕问题“不用直角尺，如何过AB上的一点C，作出AB的垂线”展开，以学生日记的形式呈现阅读材料，直接给出“木工师傅不用直角尺也能画出直角”的两种办法，并以此进行设问. 第（1）小题要求写出“办法一”依据的数学定理是什么，考查学生对勾股定理逆定理的理解，不但要知其然，更要知其所以然. 第（2）小题让学生写出“办法二”的证明过程，要求学生准确完成文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化，并能用数学语言把思维过程表达出来. 这两道小题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的判定等知识，以及学生的逻辑推理能力. 第（3）小题针对日记中小宇同学的反思“还有什么办法不用直角尺也能作出AB的垂线？”进行设置，这个反思具有开放性，但设问明确要求利用尺规作图法过点C作出AB的垂线，并需说明依据的数学定理或基本事实，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对尺规作图不仅要会操作，更需要理解为什么这么操作，说明作图的依据.

例7以日记的形式呈现阅读材料，围绕日记中的问题展开设问，让人耳目一新. 学生需要通过阅读资料寻求文字背后的作图原理，再在这个基础上进行延伸，寻找新的思路解决问题. 这是研究数学问题的一般思路，学生在解题过程中不知不觉融入其中，与小宇同学一起思考、一起操作，体现了对思维过程的考查，同时也对图形性质的运用提出了更高的要求.

（3）关注探究性、应用性、开放性的考查，尝试跨学科命制试题.

例8 （江西卷）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图10中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究.

类比探究：

（1）如图11，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若[∠1=∠2=][∠3]，则面积S1，S2，S3之间的关系式为________.

推广验证：

（2）如图12，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足[∠1=∠2=∠3，] [∠D=∠E=∠F，] 则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，试证明你的结论;若不成立，试说明理由.

拓展应用：

（3）如图13，在五边形ABCDE中，[∠A=∠E=∠C=][105°，][  ∠ABC=][90°，AB=23]，[DE=2]，点[P]在[AE]上，[∠ABP=30°]，[PE=2]，求五边形ABCDE的面积.

【评析】此题以教材中常见的探究勾股定理的基本图形为背景，对这一素材进一步挖掘拓展，设置“类比探究—推广验证—拓展应用”的主线展开探究，还原课堂学习的真实情境，让学生感觉亲切熟悉，降低了压轴题带来的压迫感. 顺势引导学生的思维层层深入，最终感悟在直角三角形三边外侧分别作正方形、直角三角形、相似三角形时，结论（S1 + S2 = S3）依然保持不变，让学生体会“变中不变”的思想. 此题真实地再现了数学活动经验的积累、知识的综合，并将曾经的相关课堂活动经验与知识综合运用到具体情境（求解五边形的面积）中进行分析与求解，要运用前面环节中发现的不變的结论构造相应的模型，并运用相关结论解决问题. 这是学习新知识的完整过程，让学生在解题的过程中感悟学习数学的思想方法. 此题具有一定区分度，能考查不同层次学生的数学思维. 其中，问题的设置由浅入深、层层递进，引导学生由形式到内容、从特殊到一般，逐步过渡与提升，符合学生的认知规律，有效考查了勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数、解直角三角形、相似三角形的性质与判定之间的关系与转化. 其中渗透了数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算素养，引领师生关注数学文化，重视教材在教学中的重要作用.

例9 （重庆A卷）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动. 现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图14所示.

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表1所示.

根据以上信息，解答下列问题.

（1）直接写出表1中的a，b，c的值.

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？试说明理由.（写出一条理由即可.）

（3）该校七、八年级共1 200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

【评析】此题以“垃圾分类人人有责”的知识测试活动为情境，对抽取的学生的测试成绩的相关数据分别以条形统计图和表格的形式给出，考查了平均数、众数等统计量的运算及样本估计总体等统计知识，同时引导学生关注社会问题，体现时代性，培养学生的数学应用意识. 第（2）小题的设问具有开放性，要求学生结合数据分析进行判断，并说明理由，考查统计量的意义. 中考对开放性试题的命制一直在实践和摸索的过程中，目前大多是在统计题中进行开放性设问，对答案及评分也具有包容性，一般回答有道理即可得分. 因此，开放性试题如何命制，是条件开放、结论开放，还是过程开放？开放的度如何把握？这些都有待于在今后的命题实践中进一步摸索.

例10 （河北卷）用承重指数[W]衡量水平放置的长方体木板的最大承重量. 实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数[W]与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当[x=3]时，[W=3].

（1）求[W]与[x]的函数关系式.

（2）如图15，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）. 设薄板的厚度为x（厘米），[Q=W厚-W薄].

① 求[Q]与[x]的函数关系式;

② [x]为何值时，[Q]是[W薄]的3倍？

【评析】此题图文并茂，以物理实验为背景，引入“木板承重指数”这一新的量. 在已知木板承重指数与木板厚度之间函数关系的基础上，进一步将厚度为6厘米的木板分割成两块，然后对[Q]与[x]，[Q]与[W薄]之间的函数关系进行探究，既考查了函数的定义、性质，也体现了数学学科的工具性，体现了数学抽象与数学建模的作用，实现了数学与其他学科知识的融合. 如果在试题中再增加一道小题，利用求出的函数关系解决实际问题，体现数学应用意识，就更完美了.

2. 从命题导向方面分析

从试题的育人导向和学科教学导向两个方面来看，2020年中考数学试卷整体向好发展，都能以《标准》为依据，逐步打破试题固化、模型化，注重考查数学本质，以引导教学回归教材. 重视概念法则的教学，以纠正轻教材、重教辅，套路化、机械性训练的教学现状，会对教学起到正向引导的作用. 同时，2020年全国各地区中考数学试题都非常关注社会热点、传统文化、数学文化、时代精神等社会背景，并以此为情境创编试题，体现数学的育人功能. 命题特点主要体现在以下几个方面.

（1）注重对教材的进一步挖掘与研究，体现良好的教学导向.

为使得试题情境更加真实，体现公平性，符合学生生活实际，2020年全国各地区中考数学试题都重视从教材中选取素材，创造性地开发、利用教材资源成为命题的立足点与出发点. 例如，江西、安徽等地中考数学试题选自教材中的素材占比达50%. 因此，中考试题面向全体学生，对教材例、习题进行适当创编，考查基础知识、基本技能，体现义务教育的基础性和全面性，同时对教材中的知识和方法进行类比、迁移，引领一线教师放弃题海战术、回归教材，加深学生对教材内容的进一步理解和挖掘，重视对教材知识的拓展与延伸，以评价促进课堂教学正向发展.

例11 （陕西卷）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2 000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%，他近期想出售鱼塘里的这种鱼. 为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘. 现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图16所示.

（1）这20条鱼质量的中位数是________，众数是________.

（2）求这20条鱼质量的平均数.

（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，试利用这个样本的平均数，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入费用为多少？

【评析】此题以“鱼塘养鱼”为情境，贴近实际生活，也是教材中常见的素材，如人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）九年级上册习题25.3中的第5题，北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）九年级上册综合与实践问题“池塘里有多少条鱼”等，考查的知识点有统计图表，平均数、众数的计算，用样本估计总体等. 这些都是统计部分的基本内容，突出了对基础知识和基本技能的考查，引导课堂教学回归教材.

类似地，还有山东青岛卷第17题，素材源于北师大版教材九年级上册第65页问题情境“配紫色”游戏，通过转盘转动的随机性和等可能性，考查学生对概率意义的理解和概率的计算.

四川绵阳卷第21题以人教版教材八年级下册第127页的问题情境“推销鸡腿”为素材，北师大版教材八年級上册第六章“数据的分析”第4节的数据波动的问题情境与之类似. 这些试题将教材中的素材或习题进行适当改编及拓展，对学生来说倍觉亲切熟悉，又与教材内容不完全相同，在考查基础知识的同时，也有能力的区分，对课堂教学具有良好的导向作用.

关于几何情境应用性试题的考查，主要是以“解直角三角形”的形式呈现，通常需要先从实际情境中抽象出数学问题，建立数学模型（几何图形），运用三角形相似或者直接运用锐角三角函数解决实际问题. 2020年中考数学试题中，也有很多这类试题的素材直接来源于教材. 例如，新疆卷第20题以测量建筑物的高度为情境，与北师大版教材九年级下册第19页中“想一想”的情境相似;河南卷第18题以河南省登封市境内的元代观星台为情境，要求学生使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度. 这一情境虽然来源于生活，但是解决问题的方法来源于教材，如北师大版教材九年级下册第23页的“活动3：测量底部不可以到达的物体的高度”;人教版教材九年级下册第二十八章第81页中的“活动2：利用测角仪测量塔高”等，都是转化为相同的基本图形求解. 这两道试题都是以测量高度为载体，将解直角三角形问题中的典型模型运用到解决具体问题中，达到了检测课堂教学效果的目的.

从以上分析可以看出，2020年中考数学试题对教材中的情境、例题或习题的选用，主要体现在以下几个方面：一是对教材中某一道题或某一类题，进行多方向、多角度的改编，呈现探究性试题;二是对教材中的基础性题目进行浅层次的改编，更换题目情境，而解决问题的方法相同，或者使用相同的情境，改变设问的方式或方向等;三是围绕核心内容，对教材中跨年级、跨章节的某一核心内容进行综合，从整体角度进行考查;四是在挖掘教材习题内涵、抓住本质的基础上，改编成不同的题型，实现不同的考查功能. 这些都会促进教师对教材和课堂教学的研究.

（2）创设丰富多元的试题情境，渗透立德树人，发挥育人功能.

2020年全国各地区中考数学试题在考查数学概念、法则、定理及应用的过程中，强化了数学学科的育人功能，在选用素材时重视文化传承、家国情怀及国际视野，关注时代的进步和社会发展，重视对数学应用意识的培养.

① 关注社会热点，体现时代特征，培养正确价值观.

例12 （湖南·常德卷）今年2 ～ 4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗. 图17（1）是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图17（2）是这三类患者的人均治疗费用统计图. 试回答下列问题.

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A，B，C，D，E五位患者任选两位转入另一病房，试用树状图法或列表法求出恰好选中B，D两位患者的概率.

【评析】此题以地方政府对新冠肺炎患者进行免费治疗为素材，通过该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图，估算出轻症患者的人数、该市为治疗危重症患者共花费的费用、所有患者的平均治疗费用等，展示了中国政府对防控新冠肺炎疫情措施保障得力，人民有病能及时得到治疗，让人民无后顾之忧.

类似的试题还有江苏扬州卷第15题，以健康码为素材，展示了大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战及复工复产发挥的重要作用;浙江台州卷第22题、湖南郴州卷第20题分别以新冠肺炎疫情期间各地开展“停课不停学”线上教学时，以“录播”“直播”、电视和手机[APP]等平台为素材，展示我国改革开放以来取得的教育现代化成果. 试题从人民群众关切的国计民生问题出发，根据真实数据编制统计图，体现立德树人的教育理念.

湖南衡阳卷第22题以白衣执甲、前赴后继支援湖北省為素材，对全国30个省（市、区）各派出支援武汉的医务人员中的“90后”的情况进行统计，通过有关“90后”医务人员的数据及补全统计图进行分析、预测，有效地考查了学生的数据分析素养，同时弘扬了“90后”青年的担当和爱国情怀. 黑龙江齐齐哈尔卷第21题对全市各学校部分参与志愿服务的教职工的志愿服务时间进行统计. 江苏扬州卷第22题通过疫情防控下实测体温进校园的事件中求解随机通过测温通道的概率. 福建卷第22题以广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”为统计素材. 以上试题体现了当代“90后”及各行各业的时代担当、兢兢业业和志愿服务精神，具有积极的教育意义. 湖南邵阳卷第17题以山东舰舰徽的构图为背景，考查立体图形与平面图形之间的转化关系. 这些情境素材能有效地激发学生强烈的爱国情怀与民族自信，渗透爱国主义教育.

除统计试题背景素材体现了丰富性的时代性以外，在方程与不等式的模型应用方面也体现了试题的教育价值. 例如，江西卷第17题以学生熟悉而亲切的日常生活小事“在地摊上购买笔芯和卡通笔记本”为情境，从数学的角度关注构建方程组这一数学模型的同时，突出对方程思想的考查，更关注对实际问题的分析与解决，体现了命题者对方程与不等式建模的不同考查要求，同时渗透了沟通交流、团结合作、勤俭节约的价值观教育，体现了数学的育人功能.

② 以数学史料为背景，渗透数学文化，体现育人导向.

近几年，各地中考数学试题中以数学文化为背景的试题逐年增加. 数学的发展源远流长，数学文化是人类文化的一种，它的思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，而其中的数学观念、意识和思维方式是数学文化的核心. 2020年全国各地区中考数学试卷中，有很多试题通过数学史展示数学文化的民族性与世界性，弘扬我国悠久的历史和文化，并注意吸收世界数学文化的精髓，引导学生胸怀祖国、放眼世界，体现了数学的文化价值，充分发挥了以史育人的作用.

例13 （宁夏卷）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小. 如图18，用锯去锯这木材，锯口深ED = 1寸，锯道长AB = 1尺（1尺 = 10寸）. 问这根圆形木材的直径是________.

【评析】此题以《九章算术》中的“圆材埋壁”问题为素材，体现了数学文化在学业评价中的渗透. 类似地，四川达州卷和内江卷分别考查了《易经》中的“结绳计数”，《增删算法统宗》中的“绳索量竿”，体现了中国古代文化的源远流长与博大精深;江西卷第9题将数学史中的记数文化、数感、古巴比伦文明尽显其中，第10题以无理数为素材对出现的数字进行统计，潜移默化地将无理数、数学史及古代数学家祖冲之融入统计阅读材料中. 河南卷第20题以“三分角器”的使用说明为阅读材料，让学生根据材料补全已知、求证，并写出证明过程，考查学生的阅读理解和数学表达能力. 这些试题素材来自中国或世界优秀的传统文化或科学发明，与数学知识和原理相结合编拟试题，即是对这些文化的继承与传播，又可以使学生建立正确的数学观和价值观.

二、2020年全国中考数学试卷创新题分析

2020年全国各地区中考数学试卷除了具有上述的命题特点之外，各地命题者仍不断探索，力求在“数与代数”“几何与图形”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的试题命制有所创新. 主要体现在以下几个方面.

1. 把推理、运算与探究适度融合，考查综合素养

全国各地中考数学试题注重通过设置代数式或图形之间的结构关系来探索和表示数、形及实际问题中蕴含的内在关系、规律或变与不变的本质问题，实现了对数与式表达功能及分析探究问题能力的考查.

各地区中考试卷普遍从不同侧面、不同角度对数、式等知识进行了比较全面、系统的考查，都命制了一定比例涉及实数、整式的运算、分式的意义及运算的试题. 所谓运算，是指在运算律的指导下对具体的数、式或等式进行变形的演绎过程. 数学中的运算包括数的运算，式的恒等变形、运算和求值，各种几何量的测量与计算等，是一种集算理、算法、计算、推理、转化等多种数学思想方法于一体的综合性能力.

例14 （山西卷）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

[x2-9x2+6x+9-2x+12x+6]

[=x+3x-3x+32-2x+12x+3]……第一步

[=x-3x+3-2x+12x+3]……第二步

[=2x-32x+3-2x+12x+3]……第三步

[=2x-6-2x+12x+3]……第四步

[=2x-6-2x+12x+3]……第五步

[=-52x+6]……第六步

任務一：填空：

① 以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________________. 或填为：________________.

② 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________.

任务二：试直接写出该分式化简后的正确结果.

任务三：除纠正上述错误外，试根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

【评析】此题以“阅读 + 任务”的形式呈现，考查分式运算的算法、算理，改变了以往化简求值考查分式运算的题型结构，把分式运算过程以阅读材料的形式呈现出来，并提出三个任务设计.“任务一”要求识别出哪个步骤是通分并指出通分的依据;“任务二”是检查出错误的步骤，指出错误原因，并写出正确的结果;“任务三”具有开放性，要求针对分式化简须注意的事项给其他同学提一条建议. 此题呈现了“阅读、理解、评价、纠错、反思、交流”的学习过程，在阅读材料、分析问题的过程中考查学生对算法、算理的理解，对运算过程的质疑、推理、探究，对学习方法的批判质疑，对学习经验的归纳总结、表达交流的能力等. 此题命题立意高，不仅考查数学运算，还对学生的思维品质、探究推理、反思质疑、表达交流等综合素养进行了考查，引导教师除了要关注学生的思维培养还要关注学生学习习惯、学习能力的养成.

类似地，北京卷第16题模拟生活中某剧场购票选座的真实情境，设问具有开放性和趣味性，考查学生的逻辑推理，以及在具体问题中分析问题、解决问题的能力，是一道非常精彩的创新性试题，体现了数学情境的多元化及数学的应用价值.

2. 凸显函数本质与建模过程，融入合情推理与直观想象的素养考查

函数是刻画变化与对应关系的重要数学模型，函数图象是表示函数关系的重要方式. 近几年，全国各地区中考数学试题注重在具体情境中酝酿与生成函数关系，通过列表、描点、连线画出相关函数图象，进而探究或发现函数的增减性、对称性、最值等. 2020年中考试题对如何在具体情境中抽象出函数的本质属性，如何从动态变化的情境中探究相关问题的函数关系或函数图象进行了有益的尝试与实践.

例15 （江西卷）已知抛物线[y=ax2+bx+c]（a，b，c是常数，a ≠ 0）的自变量[x]与函数值[y]的部分对应值如表2所示.

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________.

（2）求抛物线的表达式及[m，n]的值.

（3）试在图19中画出所求的抛物线. 设点[P]为抛物线上的动点，[OP]的中点为[P]，描出相应的点[P]，再把相应的点[P]用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线[y=m m>-2]与抛物线及（3）中的点[P]所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，试根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系________.

【评析】此题以表格的形式展示两个变量x，y之间的二次函数关系，要求学生结合两个变量x，y之间的增减性或描点法识别二次函数的开口方向、对称轴，以及用待定系数法求函数解析式，进而完善表格中的相关数据. 通过表格中给出的相关数据考查二次函数的三种表示方法（解析法、图象法和列表法）之间的相互转化，体现了对二次函数本质属性的关注与考查. 在第（3）小题中借助抛物线上的动点P，联动线段OP的中点[P]的运动轨迹也为抛物线，其间涉及抛物线上动点坐标的表示及中点[P]坐标的表示，进而表示点[P]的横坐标x与纵坐标y之间的函数关系，确定中点[P]的运动轨迹，考查了数形结合思想与几何直观、空间想象能力及数学建模素养. 在第（4）小题中借助直线y = m与固定抛物线、动态抛物线之间的四个交点中左右两条线段之间的数量关系保持着某种特定不变的属性，展示了直线与抛物线之间的交点、一元二次方程实数根之间的内在联系，以及两交点间水平距离变与不变的内在美，考查了直观想象和数学运算素养.

北京卷第24题类比教材中研究函数的一般方法，以新函数为研究载体，改变往年北京卷从“形”入手研究函数的呈现方式，直接从“数”的角度出发，分段分析一次函数与二次函数在相应范围内的增减性，再根据部分列表对应值画出部分函数图象，最后根据图象探究相应的函数性质. 为学生提供了探究一类可分解为已知函数类型的新函数的方法与路径，突出了对数形结合、转化与化归的数学思想方法的应用. 试题重视对学生活动经验、学习能力的考查.

3. 把图形变换与逻辑推理适当融合，突出探究性，考查直观想象素养

在“图形与几何”领域的试题，常规考查总是围绕着基本图形的概念和性质，以及综合运用进行逻辑推理证明. 这部分试题的创新点在于把图形变换、图形性质巧妙结合起来，融入观察、归纳、建模等探究过程，改变试题的呈现形式，使试题变得灵动起来.

例16 （江西卷）如图20（1）是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图20（2）是其侧面结构示意图，量得托板长AB = 120 mm，支撑板长CD = 80 mm，底座长DE = 90 mm. 托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB = 40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.（结果保留小数点后一位.）

（1）若∠DCB = 80°，∠CDE = 60°，求点A到直线DE的距离.

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度.

（参考数据：sin 40° ≈ 0.643，cos 40° ≈ 0.766，tan 40° ≈ 0.839，sin 26.6° ≈ 0.448，cos 26.6° ≈ 0.894，tan 26.6° ≈ 0.500，[3]≈ 1.732.）

【评析】此题以生活中常见的手机平板支架为素材，构图简洁、自然、美观，引导学生从实物图中抽象出几何图形，转化为数学中的相关距离及角度的问题. 这道题的创新之处在于第（2）小题设置了2次旋转——“把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转”，通过旋转自然生成直角，借助旋转变化实现了构造直角三角形、将不规则图形转化为规则图形的目的. 此题要求学生在阅读文字语言的同时，借助直观想象，画出图形帮助理解题意，解题过程体现了探究性，也渗透了数学抽象、数学建模、数学运算素养.

江西卷第16题以正方形网格为背景，以无刻度直尺作图的形式考查中心对称、旋转的性质的运用. 尤其是第（2）小题，只告知旋转方向及旋转后的图形顶点仍在格点上，要求作出旋转后的图形，这需要学生运用旋转的性质结合网格图进行观察、推理，在寻找作图思路的过程中凸显了直观想象素养. 此题从题型结构上看是作图题，本质上是一种把图形性质与图形变换作为工具，经历观察、联想、类比、推理等思维过程，寻找、构造作图线索，解决问题的探究性试题，这对于培养学生的画图能力、直觉思维、逻辑思维及直观想象素养和创新意识有积极的作用.

4. 统计试题突出考查数据分析能力，加强对统计本质的考查

近几年全国各地区中考数学试题中对统计的考查已经趋于模式化且偏离统计的本质，多数试题以“情境 + 填补统计图 + 统计量的运算”的模式进行考查，使得统计考查几乎成了“填空 + 运算”的答题模式. 就统计本身而言，涉及数据收集、整理、分析的过程，统计图表的选择及制作，统计量的实际意义，以及统计在决策、判断中的价值，这些在中考试题中体现不够.

2020年中考试题在统计题的命制上尝试创新，力求凸显对统计本质的考查，也呈现了一些可圈可点的创新性试题.

例17 （北京卷）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下.

小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图如图21所示.

小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如表3所示.

（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________.（结果取整数.）

（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的________倍.（结果保留小数点后一位.）

（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s2

1，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s2

2，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s2

3. 直接写出s2

1，s2

2，s2

3的大小关系.

【评析】此题以“某小区厨余垃圾分出量”的社会热点问题为情境，考查学生从统计图表中读取信息、整理数据、分析数据、做出判断等数据分析能力，在实际问题背景中理解统计量的意义. 此题的创新之处在于首次在统计题中使用数据散点图描述数据，还原数据整理分析的过程. 在第（3）小题中要求“直接写出s2

1，s2

2，s2

3的大小关系”，考查学生在理解方差的基础上，自觉运用散点图观察、分析，得出判断，体现统计图表在数据分析过程中的价值.

在统计试题命制上有所创新的还有江西卷第19题，其以“停课不停学”复学后的两次教学质量测评为背景命题，创新之处体现在第（2）小题和第（3）小题. 第（2）小题要求学生根据已知数据画出两次测试成绩的折线图，并对两次成绩做出对比分析，设问具有开放性. 可从折线图走势做出判断，或根據平均数、众数、中位数等统计量分析判断. 第（3）小题的设置具有现实意义，要求估计成绩为78分的学生大概处在全班什么位置，排在前面的最多有多少人，最少有多少人，这也是生活中常见的问题. 这个问题考查了学生对统计表中成绩分段的进一步思考，引导教学把数学与生活实际紧密联系起来，培养学生的数学应用意识，考查统计的本质.

这两道统计试题的任务设计改变了多年来统计类试题单纯考查统计量运算的现象，在实际情境中运用统计解决问题方面做了新的尝试.

5. 对“综合与实践”试题的命制进行积极地探索

《标准》对“综合与实践”部分的要求是“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中尝试发现和提出问题……进一步获得数学活动经验，……进一步理解有关知识，发展应用意识和能力”. 由于“综合与实践”要求的综合性、应用性、探究性、实践性，对于纸笔测试的中考试题的命制要求比较高，往年全国各地区中考数学试卷常把“综合与实践”的要求滲透到其他知识领域中进行考查. 2020年个别地区中考数学试卷尝试把考查知识内容按照“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域进行分值占比的划分，并尝试专门命制一道“综合与实践”试题，突出对“综合与实践”的重视，落实《标准》的要求.

例18 （黑龙江·齐齐哈尔卷）综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能. 例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣. 在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平;再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图22（1）.

（1）折痕BM________（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线;试判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：________;进一步计算出∠MNE的度数为________.

（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图22（2），则∠GBN 的度数为________.

拓展延伸：

（3）如图22（3），折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT.

求证：四边形SATA′是菱形.

解决问题：

（4）如图22（4），矩形纸片ABCD中，AB = 10，AD = 26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平. 同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9.

试写出以上4个数值中你认为正确的数值________.

【评析】此题以人教版教材中折纸这一数学活动为情境，经历“实践发现—拓展延伸—解决问题”三个过程，通过三个活动操作经验的积累，让学生在充分感知相关图形的位置（线段的垂直平分线）、形状（等边三角形、菱形）及大小（角度）关系，进而借助所得活动经验分析与解决第（4）小题情境中的实际问题. 此题由浅入深、由外及里、由直观形象到抽象地设计系列问题，有利于引导学生的思维逐步深入，并在深入活动操作及探究过程中考查由感性到理性思辨相关的能力因素，有效考查学生的数学素养与创新意识. 此题与《标准》中对“综合与实践”部分的要求基本吻合. 试题情境取材于教材中的数学活动，让学生感觉亲切熟悉，适合在纸笔考试中对“综合与实践”的考查要求，不失为一种有益的尝试. 在中考数学试卷中尝试对“综合与实践”试题的命制刚刚起步，有待于进一步的研究与实践，期待今后会出现更多这方面的精彩试题.

三、2020年全国中考数学试题对课堂教学的启示

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中明确指出，引导教师积极探索基于情境、问题导向、深度思维、高度参与的教育教学模式，引导学生自主、合作、探究学习，充分发挥考试对推动教育教学改革、提高学生综合素质、促进学生全面健康成长的重要导向作用. 因此，研究中考试卷和试题，不仅是为了学习命题技术、提高命题质量，更是为了及时引导课堂教学方向，优化课堂教学结构，提高教学效率. 因此，教师在研究中考试题前，首先，需要加强对《标准》的学习，分析考试内容的适标性与合理性;其次，需要分析试题的科学性（效度、信度、区分度、难度）等;最后，要研究中考评价对数学教学的导向功能，需要把考试评价与教学紧密结合，以考试评价改革促进课堂教学改革的深入，落实“四基”，发展数学学科核心素养，将立德树人的目标落实到课堂教学中. 2020年全国各地区中考试题启示教师需要在以下几个方面加强课堂教学.

1. 聚焦立德树人，强化理性思维培养

理性思维是人类思维的高级形式，而数学学科育人的核心目标是发展学生的理性思维，培养学生良好的思维品质. 在初中阶段，理性思维的培养需要从培养数学学习兴趣、养成良好的数学学习习惯开始，以知识学习为载体，关注教学中数学学科核心素养的任务设计及实施，形成学习能力，体现育人价值.

2. 聚焦应用意识，突出数学建模及基本活动经验的积累

作为教师，首先要加强自身的数学应用意识，注重教学情境的创设，加强数学活动的可操作性. 在课堂教学中，教师要给学生留出充分的思考及动手操作的时间，注重学生数学活动经验的积累，注重引导学生用数学眼光观察生活，加强数学与生活的联系，不能完全用解题代替数学学习，要积极采用多样化的教学手段，培养学生的数学建模及数学应用意识. 例如，测量旗杆的高度、遮阳棚的设计、公式的探究、如何打车省钱、垃圾的分类、关注人口问题等都是有益的数学活动.

3. 聚焦学习能力，重视阅读、探究和开放

教学的终极目标是培养学生具备学习的能力，实现自主学习. 学习能力的首要基础是学会阅读. 因此，培养学生的阅读理解能力至关重要. 数学文化是人类文化的一种，它的思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分. 作为文化的数学，要充分展示数学知识发生、发展及应用的过程，体现数学的人文价值. 在近几年的中考数学试卷中，以数学文化、数学史、媒体材料为阅读素材命制试题逐渐成为一种趋势，这也意味着在课堂教学及日常学习生活中对数学史与数学文化的关注与重视是一种必然. 因此，教师要有意识地指导学生加强对数学史与数学文化书籍的阅读，并在这个过程中让学生经历数学知识发生、发展的过程，提高探究的欲望，具备开放的视野，感受数学的魅力，逐步形成自主学习的能力.

总之，教师应以《标准》为依据，高度关注中考评价对课堂教学的导向作用，在课堂教学中力求培养学生具有一种（应用）意识，具备一种（学习）能力，形成一种（数学）思维.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈莉红，张仁华. 2018年中考“综合与实践”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（3）：37-46.

[3]陈莉红. 2016年中考“函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（1 / 2）：59-65.

[4]陈莉红. 聚焦直观想象核心素养的解题教学思考：以几道高考试题为例[J]. 中国数学教育（高中版），2019（1 / 2）：103-105，109.

收稿日期：2020-10-27

基金项目：国家新闻出版署出版融合发展（北师大出版社）重点实验室2020年度重点开放课题——基于互联网技术的初中数学教学资源的开发与教学实践（BSDRHK2020-06）.

作者简介：陈莉红（1973— ），女，中学高级教师，主要从事中学数学考试评价与教学、教材研究.