强化问题逻辑 引领解题方向

摘 要：文章以四道例题为载体，以问题的逻辑为抓手，剖析解答中的关键过程，揭示出问题的本质，理清学生思维的困惑.

关键词：问题逻辑;充要条件;等价变形;理性思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0056-03

解题过程就是实现从条件到结论的通达.教学中发现部分学生弄不清条件与结论的逻辑关系，常常在解题过程中出现不等价变形而不自知等等.如何避免逻辑关系的颠倒，实现问题的等价转化？学生们不仅要有坚实的基础知识、熟练的基本技能，必要的解题经验，还要具备通过阅读理解题意、结合问题制定解题方案、根据困难所在调整思维方式、反思比较中优化方法的能力.下面給出四道例题并对其关键点进行点评，以期能对大家有所帮助.

例1 四边形边框顶点分别为A、B、C、D，一蚂蚁沿折线BCDA由点B向点A运动，蚂蚁位置P与AB构成△ABP的面积为S，老师在黑板上画出S=fx的图像如图1所示，同学甲、乙、

丙、丁分别做出如下判断：

甲：边框ABCD是平行四边形;

乙：边框ABCD是等腰梯形;

丙：当蚂蚁到AD中点时，△ABP的面积是10;

丁：路程x∈10，14时，S=fx=56-4x.

试问哪些同学的判断是正确的？

解 当x∈5，9时，从图1可知△ABP的面积不变，此时S△ABP=20，则四边形ABCD中必有两边AB与CD平行，且

CD=4，BC=5，DA=5.

如图2所示，若ABCD是平行四边形，则S△ABP的最大值只能为10，达不到20.所以乙、丙、丁的回答是正确的.

点评 本题设问为“哪些同学的判断是正确的”，即由条件可直接断定结论.这时不宜将选项直接代入，符合条件就认定其为正确选项，因为还有可能有其他情况.即要弄清楚结论的充要条件与充分条件的区别.本题容易判断AB与CD平行及CD，BC，DA的长度，在“一组对边（AB与CD）平行的条件下”只需判断另一组对边是否平行即可断定该四边形的形状（平行四边形还是梯形）.该等腰梯形唯一吗？还能怎么推导呢？设AB=a，蚂蚁运动的路程为x（线段或折线AP的长度），当x∈0，5时，S=12axsin∠ABC=4x，得asin∠ABC=8①;当x∈9，14时，S=56-4x.另一方面S=12a14-xsin∠DAB=7asin∠DAB-12axsin∠DAB，所以有asin∠DAB=8②.结合①②可知，sin∠ABC=

sin∠DAB，而∠ABC，∠DAB∈0，π.当∠ABC+∠DAB=π时，四边形ABCD是平行四边形，此时a=4，这与asin∠ABC=8矛盾（或直接由a8得到ABCD不是平行四边形）.若∠ABC=∠DAB，此时四边形ABCD是等腰梯形，且该梯形不唯一.例2 已知函数fx=bx+cax2+1（a，c∈R，a>0，b是自然数）是奇函数，fx有最大值12，且f1>25.

（1）试求函数fx的解析式;

（2）是否存在直线L与y=fx的图像只交于点P，Q两点，并且使得P，Q的中点坐标为（1，0）？若存在，求出直线L的方程;若不存在，请说明理由.

解 （1）由fx是奇函数，易知c=0;

又a>0，b是自然数，可知当x<0时，fx<0;当x>0时，fx>0.因此fx的最大值12必在x>0时取得.当x>0时，fx=bxax2+1=bax+1x≤b2a，当且仅当x=aa时等号成立.故b2a=12，又f1>25，即ba+1>25，又a>0，b是自然数，所以a=b=1.所以函数fx的解析式为fx=xx2+1.

（2）假设存在满足条件的直线L，则P，Q的坐标可设为x0，y0，Q（2-x0，-y0），且这两点都在函数fx=xx2+1的图像上，则x0x20+1=y0，2-x02-x02+1=-y0.消去y0，得x20-2x0-1=0，x0=1±2.

所以P1+2，24，Q1-2，-24或P1-2，-24，Q1+2，24.所以直线L的方程为x-4y-1=0.

把直线L的方程与函数fx=xx2+1联立，不难求得共有三组解：x=1+2y=24或x=1-2y=-24或x=-1y=-12.

因此，直线L与函数fx的图像共有三个交点，与“只交于两点”矛盾.所以满足条件的直线不存在.

点评 很多学生求出直线L的方程为x-4y-1=0便以为万事大吉.事实上，这只是“直线L与y=fx的图像上存在两个公共点P，Q两点，并且使得P，Q的中点坐标为（1，0）”的必要条件，因为消去了y0（y0∈-12，12）而对y0“舍而不求”，至于直线L与函数fx的图像是否相交、具体几个交点均需验证.即直线L的存在性还需要通过充分性的检验.

例3 对于函数fx（x∈D），若同时满足以下条件：①fx在D上单调递增或单调递减;②存在区间a，bD，使fx在a，b上的值域是a，b.那么，我们把函数fx（x∈D）叫做闭函数.

（1）求闭函数y=-x3符合条件的区间a，b;

（2）判断函数y=2x-lgx是不是闭函数？若是，说明理由，并找出区间a，b;若不是，说明理由;

（3）若y=k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围.

解 （1）函数y=-x3是单调递减函数，则有-a3=b-b3=aa<b，得a=-1b=1，即a，b=-1，1.

（2）记fx=2x-lgx，f1100=2.02，f1=2，f10=19，故函数fx=2x-lgx不是单调函数，故它不是闭函数.

（3）解法1 由题意，x=k+x+2有两个不相同的实数解，则x-k=x+2，故x-k2=x+2，所以x2-2k+1x+k2-2=0.记gx=x2-2k+1x+k2-2，则gx=0的两个不同的根均大于等于k，故△>02k+12>kg（k）0，得k∈-94，-2.

解法2 在同一平面直角坐标系下，作出函数y1=x-k，y2=x+2的图像，如图3所示，当直线y=x-k与y=x+2的图像相切时，可得k=-94，结合图像可得k∈-94，-2.

解法3 x=k+x+2有两个不相同的实数解，则有k=x-x+2=x+2-x+2-2=x+2-122-94，令t=x+20，则k=t-122-94，t∈0，+SymboleB@，若直線y=k和y=t-122-94，t∈0，+SymboleB@的图像有两个交点，则k∈-94，-2.

点评 对于第（3）小题，解法1中x-k=x+2有两个不同的实数解，其中xk且x-2，当两边平方后，只需xk即可.但x-2不能保证xk，有可能会出现x-k与x+2互为相反数的情况;解法2中转化为倾斜直线y=x-k与y=x+2图像有公共点问题，难点是画出函数y=x+2的图像;解法3分离参数，转换为水平直线y=k和y=x-x+2的图像交点问题，根据t与x的一一对应关系巧妙换元，从而使解答变得直观与简捷.

变式 若方程lg2-x2lgx-a=2有实数解，求实数a的取值范围.

解 原方程等价于lg2-x2=2lgx-a且x-a≠1，即2-x2=x-a>0①，且x-a≠1.记fx=2-x2，gx=x-a，且fx>0，gx>0.

由图4可得①的条件是-2≤a<2.

由于x≠a+1，若x=a+1，代入2-x2=x-a，得a=0或a=-2.

综上所述，实数a的取值范围为-2，0∪0，2.

点评 原方程的等价条件为2-x2=x-a>0，且x-a≠1.

以上解答先利用2-x2=x-a>0确定结论的必要条件，再利用x-a≠1确定结论的充要条件.也可将所有条件集中在同一个图中，如图5所示.本题也可用分离参数法，只是函数y=x-2-x2的图像与性质相对繁杂.

例4 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L∶x=-1相切，点C在L上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程;

（2）设过点P，且斜率为-3的直线与曲线M相交于A，B两点.

（ⅰ）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标，若不能，说明理由;

（ⅱ）当△ABC为钝角三角形时，求点C的纵坐标的取值范围.

解 （1）由题意，曲线M是以点P为焦点，直线L为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

（2）直线AB的方程为y=-3x-1，联立y=-3x-1，y2=4x，得3x2-10x+3=0， 解得x1=13或x2=3.不妨设A13，233，B3，-23，AB=x1+x2+2=163.

（ⅰ）假设存在点C-1，y，使△ABC为正三角形，则BC=AB且AC=AB，所以3+12+（y+23）2=1632①13+12+（y-23）2=1632②

由①-②得42+（y+23）2=（43）2+（y-23）2③

得y=-1439.

经检验，y=-1439不符合①.

由①②组成的方程组无解，即直线L上不存在点C，使得△ABC为正三角形.

（ⅱ）设C-1，y使△ABC为钝角三角形.由y=-3x-1，x=-1，得y=23.即当点C-1，23时，三点A，B，C共线，故y≠23.

AC2=-1-132+y-2332=289-433y+y2，BC2=3+12+y+232=28+43y+y2，AB2=1632=2569.

①当∠CAB为钝角时，BC2>AC2+AB2，即28+43y+y2>289-433y+y2+2569，得y>239.

②当∠CBA为钝角时，AC2>BC2+AB2，即289-433y+y2>28+43y+y2+2569，得y<-1033.

③当∠ACB为钝角时，AB2>AC2+BC2，即2569>289-433y+y2+28+43y+y2，该不等式无解.

综上所述，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围为-SymboleB@，-1033∪239，23∪23，+SymboleB@.

点评 在第（2）（ⅰ）小题中，“BC=AB且AC=AB”是“△ABC为正三角形”的充要条件，但①-②得到（BC=AC所满足）的方程③只是结论的必要条件，由等价变形可知①③或②③构成的方程组为结论的充要条件.本题也可根据“△ABC为正三角形”由A，B求出点C的坐标再验证点C的横坐标是否为-1.在第（2）（ⅱ）小题中，首先要确保△ABC的存在性，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故∠ACB不可能为钝角，解答中用余弦定理求解，需要解关于y的一元二次不等式.结合本题中点A，B是固定的，故可先根据CA⊥AB或CB⊥AB利用斜率关系找出临界值，再结合图形求解.

参考文献：

[1]郑良.基于数学核心素养的立体几何教学思考——对2018年高考数学立体几何试题评析[J].中学数学教学参考，2018（34）：46-51.

[责任编辑：李 璟]