条件极值在中学数学中的应用研究

姚廷兰 王杏

摘 要：不等式的证明是中学数学中不等式的核心内容之一，既是重点也是难点，通常可采用比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法等来进行证明，在中学数学中占有重要的地位.为了更好地理解中学数学中涉及的不等式证明问题，本文拟应用大学《数学分析》课程中的条件极值法来解决在中学阶段中一些较难的不等式证明问题，为日后从事数学教学工作奠定一定的基础，提高自己的专业能力.

关键词：条件极值;中学数学;不等式证明

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0015-03

一、条件极值简述条件极值是指在一定的约束条件下求解最值问题，其中拉格朗日乘数法就是最常用的方法之一.对于许多较难证明的不等式问题，一般可转化为一定约束条件下求解最值问题，从而可以利用条件极值来解决不等式问题.下面介绍二元和n元的情况：

（1）用拉格朗日乘数法求解二元函数z=fx，y在约束条件φx，y=0下的条件极值步骤如下：

作辅助函数

Lx，y，λ=fx，y+λφx，y

再令Lx=Ly=Lλ=0，即是

Lx=x，y，λ=fxx，y+λφxx，y=0Ly=x，y，λ=fyx，y+λφyx，y=0Lλx，y，λ=φx，y=0

解上述方程組，可得到稳定点p0x0，y0.

现需判断该稳定点是否为条件极值.如果是现实生活中的实际问题，由问题本身的性质进行判断;如果不是实际问题，可用二阶微分法判断.由此就可以把条件极值问题转化为讨论函数Lx，y，λ=fx，y+λφx，y的无条件极值问题.这种方法称为拉格朗日乘数法，函数L称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.

（2）用拉格朗日乘数法求解n元函数z=

fX1，X2，…，Xn在约束条件φX1，X2，…，Xn=0下的条件极值步骤如下：（其中f，φkk=1，2，…，m在区域上都具有一阶连续偏导数，且雅可比矩阵φ1X1…φ1Xn…φmX1…φmXn的秩为m.）

作辅助函数

LX1，X2，…，Xn，λ1，λ2，…，λm=fX1，X2，…，Xn+∑mk=1λkφkX1，X2，…，Xn，其中λ1，λ2……λm为拉格朗日乘数.

令LX1=LX2=…=LXn=Lλ1=Lλ2…Lλm=0，即

LX1=fX1+∑mk=1λkφkX1=0…LXn=fXn+∑mk=1λkφkXn=0Lλ1=φ1X1，X2，…，Xn=0…Lλm=φmX1，X2，…，Xn=0

解方程组得到可能的条件极值点，再根据题目判定.

因此，若用求函数条件极值的拉格朗日乘数法来解决中学数学中一些较难的不等式证明问题，就较为容易理解，如中学数学选修4-5以及高考真题中的不等式问题.

二、条件极值在中学数学中的应用

1.在不等式问题中的应用

条件极值在不等式证明问题中的应用，先分析题目，需要找到约束条件和目标函数，进而转化为条件极值问题.通过构造辅助函数、求偏导、解方程组，

由此证明不等式.

例1 （2019年全国Ⅱ卷）已知a，b，c为正数，且满足abc=1，证明：

（1）a2+b2+c2≥1a+1b+1c

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24

分析 此题可看作在约束条件下求两个函数的最小值问题，进而用拉格朗日乘数法求解.

证明：（1）构造辅助函数L（a，b，c，λ）=a2+b2+c2+λ（abc-1）

令La=2a+λbc=0Lb=2b+λac=0Lc=2c+λab=0Lλ=abc-1=0

解之，有a=b=c=1.

根据题意得，a2+b2+c2≥1a+1b+1c成立.

（2）构造辅助函数L（a，b，c，λ）=（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3+λ（abc-1）

令La=6a2+6ab+3b2+3c2+6ca=0Lb=6b2+6ab+3a2+3c2+6bc=0Lc=6c2+6ac+3b2+3a2+6bc=0Lλ=abc-1=0

解之，有a=b=c=1.

考虑到在abc=1中，当a充分大时，（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的值可以充分大，从此题的实际出发，可推断当a=b=c=1时，函数（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3的取得最小值24，所以有（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

例2 证明不等式nx1x2…xn≤x1+x2+…+xnn，其中xi≥0，i=1，2，…，n.

分析 根据题意，要想转化为求条件极值问题，需要找到约束条件和目标函数，所以，设fx1，x2，…，xn=x1x2…xn，x1+x2+…+xn=m，问题就转化为证明fx1，x2，…，xn=x1x2…xn在约束条件x1+x2+…+xn=m下的最大值为mnn.

证明：设fx1，x2，…，xn=x1x2…xn，x1+x2+…+xn=m，用拉格朗日乘数法，构造辅助函数L（x1，x2，…，xn）=x1x2…xn+λ（x1+x2+…+xn-m）

由 Lx1=x2x3…xn+λ=0Lx2=x1x3…xn+λ=0…Lxn=x1x2…xn-1+λ=0Lλ=x1+x2+…+xn-m=0

解之，有唯一驻点mn，mn，…，mn，因此 mn，mn，…，mn为目标函数在约束条件下的最大值点或者最小值点.任意取满足条件的另一点0，0，…，0，a代入fx1，x2，…，xn=x1x2…xn得f0，0，…，0，a=0.

又f0，0，…，0，a=0≤mnn=fmn，mn，…，mn，所以 mnn为fx1，x2，…，xn=x1x2…xn在x1+x2+…+xn=m下的最大值，即x1x2…xn≤mnn=（x1+x2+…+xnn）n，结论得证.

2.在函数问题中的应用

在实际的问题解决中，也涉及到不等式证明的问题.一般在有约束条件的情况下，可构造辅助函数，分别对变量进行求偏导，进而求解方程组，最后把结果代入目标函数中，即可证明.

例3 农夫现需做一个容积为1立方米的圆木桶用于盛水，怎样设计此木桶才能使用料最少？

分析：此题可看作是一个条件极值问题，容积为1立方米就是一个约束条件，如何使用料最省，就是看表面积的大小，表面积越小，用料就越少.

解 设圆木桶的底面半径为 r，高为h，由题意可得容积V=πr2h=1，则表面积S=2πrh+2πr2.

构造辅助函数

Fr，h，λ=2πrh+2πr2+λπr2h-1

求偏导，得到

Fr=2πh+4πr+2πrhλ=0Fh=2πr+πr2λ=0Fλ=πr2h-1=0

解得r=312π，h=34π.

根據题意得，当r=312π，h=34π时，圆木桶的表面积最小，此时最省材料.

例4 （1）求周长一定面积最大的矩形;（2）求面积一定周长最短的矩形.

分析 这两个小题均是已知约束条件求最值问题，采用求偏导数，列方程组求解的方法.

解 （1）设矩形的长为x，宽为y，则面积为S=xy（x>0，y>0）.

约束条件为 C=2x+2y

令L（x，y，λ）=xy+λ（2x+2y-C）

由Lx=y+2λ=0Ly=x+2λ=0Lλ=2x+2y-C=0解之，有x=y=C4.

所以，在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大.

（2）设矩形的面积为S，约束条件为xy=S，

令L（x，y，λ）=2x+2y+λ（xy-S）

由Lx=2+λy=0Ly=2+λx=0Lλ=xy-S=0

解之，有 x=y=S.

所以，所求周长最短的矩形存在，边长为S的正方形的周长最短.

通过以上两个问题的求解，可知在遇到有约束条件问题时，也可选择用条件极值法求解，较简便，容易下手.

3.在三角函数证明问题中的应用

虽然条件极值在三角函数证明问题中的应用较为不是太多，但若题目满足条件极值法的条件时，也可通过找到约束条件和目标函数，然后构造辅助函数，求偏导，解方程组，从而解决问题.

例5 若三角形的边长为a，b，c及面积S，证明：a2+b2+c2≥43S，并求等号成立的条件.

证明 根据题意，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC和面积公式S=12absinC得：不等式a2+b2+c2≥43S等价于a2+b2+a2+b2-2abcosC-43·12absinC=2（a2+b2-abcosC-3absinC）≥0，可写为a2+b2-abcosC-3absinC≥0.

令L（a，b，C）=a2+b2-abcosC-3absinC

由La=2a-bcosC-3bsinC=0Lb=2b-acosC-3asinC=0LC=absinC-3abcosC=0

解之，得tanC=3C=60°，将C=60°

代入上式解得a=b，L（a，b，C）=a2+b2-abcosC-3absinC有极小值，

所以a2+b2-abcosC-3absinC≥L（a，a，60°）=0，

即a2+b2+c2≥43S成立.

不等式问题贯穿于中学与大学中，应用非常广泛，而且还能开拓学生的思维能力，所以探究不同的方法解决不等式问题非常有必要.本文主要介绍了用《数学分析》中的条件极值法解决中学阶段的部分不等式问题，将不等式问题转化为条件极值问题，就可以利用条件极值法来解决不等式问题.实际上，利用多元函数的条件极值证明不等式，关键是选择适当的目标函数和相应的约束条件，这种证明方法对于证明含有多个变量的不等式问题是有效可行的，值得研究.

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[责任编辑：李 璟]