如何破解极值点偏移问题

黄小妹

摘 要：极值点偏移是高中数学的难点，常出现在高考的压轴题中，对学生分析以及解答问题的能力要求较高.教学中为使学生掌握极值点偏移问题的解题思路，既要注重为学生系统的讲解相关理论知识，又要做好相关例题的归纳与总结，使得学生掌握突破该类问题的技巧.

关键词：高中数学;极值点;偏移;破解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0007-02

破解极值点偏移问题需要扎实掌握相关的理论.教学中应结合具体的图像为学生讲解极值点偏移的情境以及存在的不等关系，在其头脑中留下深刻的印象.同时，认真总结与汇总历年高考中有关极值点偏移的习题题型，在课堂上为学生逐一的剖析、讲解，使其掌握不同题型的解题思路，给其以后解答类似问题带来良好启发.

一、不含参数极值点偏移的处理

不含参数极致点偏移问题常作为某一压轴题的其中一小问，考查学生对导数知识的灵活应用情况.解答该类习题的方法多种多样，其中构造一元函数是常用的解题思路.解题时应灵活运用导数知识研究给出的已知函数图像，对其增减、极值情况进行大致判别.而后注重应用题干中给出的已知条件通过等量代换将多元变量转化为一元变量，构造对应的函数.以构造的函数为研究对象，通过二次应用导数知识找到其中的不等关系完成解答.

例1 已知函数f（x）=xe-x（x∈R），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2>2.

该题目题干较为简洁，其中应注重运用“f（x1）=f（x2）”这一关系，将多元变量转化为单一变量.对已知函数求导得到f ′（x）=（1-x）e-x，容易得到函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，则x→-∞，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞，f（x）→0，可知x=1时f（x）取得极值，且f（1）=1e.设x12，x2>2-x1，只需证f（x2）0，则H（x）在（0，1）上单调递增，即，H（x）

二、含有参数极值点偏移的处理

含有参数的极值点偏移问题难度又提升了一个档次.众所周知，一般的极值点偏移问题涉及两个变量，但含有参数后出现三个变量.很多学生遇到该类题目不知如何下手.事实上，解答该类问题应结合经验，先通过化归消去参数，化陌生为熟悉，再进行求解.该题目对学生的解题经验具有一定要求，因此，教学中应注重多组织学生进行该类习题的训练，使其积累丰富的经验.

例2 已知函数f（x）=ex-ax的两个零点分别为x1、x2，且x12.

该题目难度较大.解答时应将零点问题转化为函数图像交点问题，而后构建相关参数之间的关系，不断的进行转化.可将已知条件可转化为y=xex和y=1a有两个交点问题，结合函数单调性可知0

ex1=ax1①

ex2=ax2②

②-①得：ex2-ex1=a（x2-x1），

即a=ex2-ex1x2-x1

①+②得：ex1+ex2=a（x1+x2），即ex1+ex2a=x1+x2，要证x1+x2>2，可转化为证ex1+ex2a>2，即证ex1+ex2ex2-ex1>2x2-x1，即ex2-x1+1ex2-x1-1>2x2-x1，令t=x2-x1，t∈（0，+∞），设g（t）=t（et+1）-2（et-1），求得可得g′（t）>0，即，g（t）在（0，+∞）上单调递增，即，g（t）>g（0）=0，得证.

三、含对数式极值点偏移的处理

含对数式极值点偏移问题可采用构造函数法解答.当然也可根据已知条件联立等式，借助消参、恒等变形后运用对数平均不等式链进行求解.高中数学教学中，为使学生能够灵活运用对数平均不等式链ab0）处理极值点偏移问题，教學中应与学生一起推导，使学生搞清楚该不等式的来龙去脉，牢固的掌握，为其用于解答极值点偏移问题奠定坚实基础.

例3 已知函数f（x）=xlnx和直线y=m交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：0

解答该题目时根据已知条件构建等式关系进行巧妙的转化是关键.根据函数表达式可知x>0，显然x1x2>0.

又因为函数与直线交于两点，则可得x1lnx1=m，x2lnx2=m，

即x1=mlnx1①

x2=mlnx2②

则①-②得：

x1-x2=m（lnx2-lnx1lnx1lnx2）

两边同除以lnx1-lnx2，

得到x1-x2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2③

①+②整理得到：

x1+x2=m（lnx2+lnx1）lnx1lnx2④

由对数均值不等式

a+b2>a-blna-lnb（证明略），得到

x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2，

将③④代入m（lnx2+lnx1）2lnx1lnx2>-mlnx1lnx2.

对函数f（x）=xlnx求导得到：

f ′（x）=lnx+1，x>0，

令f ′（x）=0，解得x=1e，在（0，1e）上f ′（x）<0，函数f（x）单调递减.

在（1e，+∞）上f ′（x）>0，函数f（x）单调递增，则f（x）min=f（1e）=-1e，

又∵f（1）=0，则在（0，1e）上函数f（x）<0，则可绘制出两个函数图像如图1所示.

易知，m<0，则lnx1+lnx2<-2，即lnx1x2<-2=lne-2，即，0

极值点偏移是高中数学导数部分的重点、难点，是高考的热门考点.教学中为使学生掌握相关题型的解题方法，不断提高学生的解题能力，既要与学生一起推导相关的结论，做好解题理论的讲解，又要对相关习题分门别类，为学生做好解题示范，使学生掌握相关题型的解题规律，以后遇到类似问题能够少走弯路，迅速破题.

参考文献：

[1]曾雪萍.利用对数平均不等式解决极值点偏移问题[J].数学学习与研究，2020（09）：157.

[2]党江平.极值点偏移问题的高等数学背景探究[J].高中数学教与学，2020（05）：34-36.

[3]季明峰.极值点偏移问题的理论探究、实际运用与解题反思[J].数学教学通讯，2020（06）：54-56.

[4]白志峰，祁京生.例谈处理极值点偏移问题的有效策略[J].高中数学教与学，2020（03）：17-18.

[责任编辑：李 璟]