论高中数学解题中代换法的应用

丁多利

摘 要：代换法是一种重要的解题方法，在高中数学解题中应用率较高.为使学生能够应用代换法灵活解答相关数学习题，促进其解题能力与学习成绩的提升，应做好数学内容研究，围绕典型的习题，为学生讲解代换法的具体应用，使其积累相关的应用经验与技巧.

关键词：高中数学;解题;代换法;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0005-02

高中数学中的代换类型较多，包括参数与常量之间的代换、参数之间的代换、参数与公式之间的代换等.代换法之所以能够进行，关键在于两者之间存在着数或逻辑上的相等关系.

教学中为加深学生对代换法的深刻认识，牢固的掌握最重要的解题方法，应做好应用代换法解题的教学.

一、三角变换中代换法的应用

高中数学涉及很多三角恒等变换公式，如cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin2α=2sinαcosα、cos2α+cos2α=1等，这些公式是进行代换的重要依据，因此，教学中应对三角恒等变换公式进行分类，要求学生采用对比法牢固的记忆，避免张冠李戴.同时，结合授课经验，优选经典的例题，与学生一起剖析解题过程，使学生能够掌握代换法的切入点，实现高效解题.

例1 若3sina+cosa=0，则1cos2a+sin2a的值为（）.

A.83B.93C.103 D.113

该习题属于三角函数中较为常规的题目，难度并不大.教学中引导学生认真分析要求了解分式的特点，积极联系所学知识进行合理的代换.如要求解分式的分子为1，很容易联想到cos2α+cos2α=1，通过代换后，则可转化为齐次式便可求解.

因为3sina+cosa=0，则不难推出tana=-13.

则1cos2a+sin2a=sin2a+cos2acos2a+2sinacosa=tan2a+11+2tana=19+11+2×（-13）=103，

正确选项为C.

教学中通过引导学生分析该题目，使其认识到在解答三角函数相关的问题时一定不要忘记使用cos2α+cos2α=1进行代换.

二、常规函数中代换法的应用

对常规函数而言奇、偶函数、周期函数等存在等量关系，如f（x）=-f（-x）、f（x）=f（x+T）（T为周期）等.为使学生能够灵活运用常规函数中的等量关系进行巧妙的代换，顺利解答相关题目，应结合自身的教学经验设计代表性的问题，要求学生在课堂上思考解答，并做好解题经验总结，在以后的学习中遇到类似的问题，能够迅速的破题.

例2 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）.

A.-3B.-1C.1D.3

该题目难度并不大，解题的关键能够通过代换构建已知条件和要求解问题的关联.因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函數，即，f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），显然可使用f（-x）-g（-x）代换f（x）+g（x）.则可推出f（1）+g（1）=f（-1）-g（-1），又因为f（x）-g（x）=x3+x2+1，则将x=-1代入f（-1）-g（-1）=-1+1+1=1，正确选项为C.

通过做该问题的求解使学生认识到，为顺利解答常规函数问题应注重常用等量关系的积累，并深刻理解，结合具体问题进行合理的变形与代换.

三、导数问题中代换法的应用

导数是高中数学的重要知识点，与其他知识联系紧密.部分习题常与基本不等式知识结合起来.解题时需要具体问题具体分析，巧妙的借助等量关系进行代换.教学中为提高学生运用代换法解答导数问题的意识，在解题中少走弯路，应注重为学生详细的讲解相关的例题，认真板书解题步骤，使其掌握代换法解题的相关细节.

例3 曲线f（x）=2alnx+bx（a>0，b>0）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，则8a+bab的最小值为（）.

A.10B.9C.8D.32

该题目是导数与不等式的结合习题，解题时需要从已知条件中挖掘隐含条件，而后通过等量代换，运用基本不等式公式进行求解.

由已知可得f ′（x）=2ax+b，

又因为f ′（1）=2a+b=2.

8a+bab=8b+1a=12（2a+b）（8b+1a）

=12（10+16ab+ba）

=5+12（16ab+ba）

≥5+12×216

=5+4=9

当且仅当4a=b时，取“=”，因此，正确选项为B.

在课堂上为学生讲解该例题，使学生认识到“1”这一特殊的代换媒介，任何一个数或公式均可以看作其与“1”的乘积，或者分母为“1”，而后寻找与“1”相关的等量关系进行代换解题.

四、数列问题中代换法的应用

高中数学中还有一种特殊的代换关系，即，参数与公式间的代换.该代换关系虽然不难理解，但具有一定的技巧性.很多学生常因不会应用代换法而不能顺利的解答出相关习题，因此教学中应注重向学生展示相关的习题，并给予学生解题的引导，使其能够及时找到代换的突破口.

例4 在等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x·（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），则f ′（0）=（）.

A.26B.29C.212 D.215

该题目数列与函数的综合题目，具有一定的技巧性，很多学生看到该题目后不知所措，事实上采用整体代换问题便可迎刃而解.令g（x）=（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），则f（x）=x·g（x），则由导数知识可得f ′（x）=g（x）+xg ′（x），则f ′（0）=g（0）=（a1·a8）4=212，正确选项为C.

通过该习题的解答，使学生认识到解题时应认真观察给出的已知条件，构建参数与公式之间的等量关系，注重运用代换法进行解答.

高中数学部分习题应用代换法求解，可获得事半功倍的效果，因此教学中应做好这一重要方法的讲解，尤其围绕具体内容，选择不同类型的习题，为学生讲解带换法的具体应用，使其通过学习总结代换法的应用规律，充分把握其本质，在解题中做到游刃有余.

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[责任编辑：李 璟]