数形结合，舞动点的坐标

张新民 李思蒙

摘  要：数形结合是重要的数学思想. 利用数形结合思想在直角坐标系中求点的坐标是一类常见问题，也是解决与直角坐标系相关问题的基础. 在解决问题的过程中，以明晰点的坐标的定义为出发点，基于图形的特殊性，分析图形的整体和局部，巧设点的坐标有助于有效地将数与形相结合，让求点的坐标不再成为学生解决问题的障碍.

关键词：数形结合;发现与构造;解题策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中明确了“图形与坐标”内容是由坐标与图形位置、坐标与图形运动两部分构成. 综观2020年全国各地区中考数学试题，发现关于这部分内容的试题就其难度来说比较基础. 因此，教师要按照《标准》的要求落实学生的基础知识和基本技能. 由于“图形与坐标”在很多代数与几何综合问题的解决中起着“工具”和“桥梁”的作用，所以这部分内容对于学生来说非常关键. 本文针对2020年中考数学“图形与坐标”试题的特点，就帮助和引导学生透过问题的表面现象发现问题的本质，找到解决这一类问题的关键策略展开研究.

一、溯源解题策略的关键点

在研究了100多套2020年中考数学试卷中“图形与坐标”试题后，发现该专题主要考查以下几类问题：用坐标描述图形的位置，坐标系下特殊图形的性质研究，坐标系下图形的变换，坐标系下坐标规律的探索，坐标系中函数的图象及性质研究，等等.

在解决这些中考试题的过程中，学生往往存在解题切入点不当、思路不清晰、方法不灵活、解题效率不高等情况. 造成这些情况的主要原因是学生不能抓住解题的关键点，无法发现试题的本质，最终不能灵活进行数与形之间的相互转化. 经过分析，不难发现“图形与坐标”试题离不开平面直角坐标系，试题最终指向在平面直角坐标系中“求点的坐标”，即求出关键点的坐标是解决“图形与坐标”试题的突破口.

二、建立“求点的坐标”的基本模型

数学是研究数量、结构、变化及空间模型等的一门学科，概念是数学结构的基石. 因此，数学学习要紧紧抓住概念的学习. 在平面直角坐标系中，点的坐标的定义是我们研究“图形与坐标”问题的出发点. 点的坐标的定义实际上是通过分别向两条坐标轴作垂线，将点的坐标转化为坐标轴上的点的坐标，点的横、纵坐标的正、负通过数轴上点的坐标的正、负来体现. 在具体问题中，将求點的坐标转化为求某些线段的长度，然后将这些线段的长度转化为点的坐标. 在实际教学中，发现有些学生在解题过程中运用概念的意识比较薄弱，不能正确作出辅助线，不能有效应用数形结合思想解决问题.

通过研究2020年全国各地区中考数学“图形与坐标”试题，发现其解题策略基本上都是求点的坐标，或利用求出的点的坐标解决后续问题. 因此，教师需要在教学中向学生渗透运用点的坐标的定义解决问题的意识.

例1 （甘肃·天水卷）如图1，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为[E2，3，] 则点F的坐标为       .

根据平面直角坐标系中的点的坐标的定义，可以很快作出辅助线. 如图2，分别过点E，F向坐标轴作垂线，两垂线交于点H，EH，FH分别交x轴、y轴于点N，M. 根据三角形全等及点E的坐标求出线段FM，HN的长度，从而转化为点F的坐标.

学生在解决这类问题时容易存在两个困惑：一是依据已知条件不能有效地作出辅助线;二是在写点F的坐标时容易弄混点F的横、纵坐标，以及不能正确地明确点F坐标的符号.

由此，我们可以梳理出解决“求点的坐标”问题的一般策略模型，如图3所示.

必须说明的是，过一点向坐标轴作垂线是非常重要的辅助线. 它将“求点的坐标”问题转化为求坐标轴上的点的坐标，进一步转化为求线段的长.

三、典型解法赏析

1. 还原整体图形

在很多时候，学生不能很好地解决问题，原因之一可能是缺乏对图形结构的整体认识. 命题者有时只给学生呈现部分图形，学生如果能还原图形的整体结构，问题就不难解决了.

例2 （江苏·连云港卷）如图4，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为[M3，9，N12，9，] 则顶点A的坐标为       .

利用复原整体策略，我们将图4还原成一个5 × 3的长方形，如图5所示. 由点M，N对应的坐标求出小正方形的边长，很容易得到点A的坐标.

需要注意的是，此题具有一定的特殊性，即图中刚好有15个相等的小正方形，这样的解题策略有助于学生快速找到解决问题的思路.

2. 化整为零

在解决问题时，有时遇到的一些图形，需要学生利用化整为零的策略. 化整为零本质上就是转化思想的运用，即将一个图形运用辅助线转化为若干个基本图形.

例3 （江苏·南京卷）如图6，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，☉P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D. 若☉P的半径为5，点A的坐标是[A0，8]，则点D的坐标是（    ）.

（A）[9，2] （B）[9，3]

（C）[10，2] （D）[10，3]

如图7，过点P作y轴的垂线PE，交y轴于点E，交BC于点F，再过点P向x轴作垂线PG，连接PC，于是在图7中呈现了两个基本图形——正方形OGPE和Rt△PFC. 根据圆与坐标轴相切，利用切线的性质实现了正方形OGPE与半径的联系，而直角三角形是应用垂径定理的基本图形.

在解决例3的过程中，我们看到了化整为零的策略有助于在图中发现基本图形，并将题目中的所有信息联系起来，最终解决问题.

通过以上分析，发现“还原整体图形”与“化整为零”是一对互为相反的思维模式，这两种模式的有效运用能解决问题，这一切都是建立在解决坐标问题的基本模型上的. 我们可以进一步梳理出解决“求点的坐标”问题的逻辑思维导图，如图8所示.

3. 发现与构造

弗里德曼在《怎样学会解数学题》一书中写道：解题是一种创造性活动，而寻找解题方法是一个发明的过程. 对于坐标系中点的坐标的求法，当所求点位于特殊位置时，常常需要围绕特殊点的坐标，发现坐标系中图形的特殊性，如平行线或垂直于坐标轴的直线、全等三角形或相似三角形等. 当所研究的问题在网格中时，这一方法将变得格外简洁.

例4 （山东·烟台卷）如图9，已知点[A2，0，][B0，4，C2，4，D6，6，] 连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为      .

如图10，由于点A，C是旋转前后的一对对应点，容易作出线段AC的垂直平分线[l1]. 接下来思考线段BD的垂直平分线的作法. 当连接点B，D之后，可以找到线段BD的中点M，进一步构造出△BEM ≌ △MFN. 于是确定线段BD的垂直平分线MN，且MN与直线[l1]的交点为点N，从而求得点N的坐标.

这种方法具有很好的应用性与拓展性，我们再看下面的试题.

例5 （江苏·泰州卷）如图11所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为[A3，6，B-3，3，] [C7，-2，] 则△ABC内心的坐标为      .

要解决此题，应该先作出平面直角坐标系. 根据三角形内心的定义，分析要找到[∠B和∠C]的平分线. 如图12，构造[△BGE≌△BHE，△MCP≌△NCP，] 于是角平分线BE，CP的交点I即为△ABC的内心.

其实有无网格，都可以構造出这样的全等三角形或相似三角形，关键在于解题时我们的意识中应该有一个网格模式.

在利用数形结合思想解决问题的过程中，通过反思例4和例5的解答过程，可以梳理出以下求特殊点的坐标问题解决的逻辑思维导图，如图13所示.

4. 巧设点的坐标

在求解点的坐标的相关问题时，教师要引导学生发现设点的坐标、构建方程求解的策略. 当设出点的坐标后，只需要建立起关于点的横、纵坐标的方程（组）即可. 认真分析图形，寻找点的横、纵坐标所满足的特殊关系，从而建立方程，能更加有效地解决问题. 这种策略的逻辑思维导图如图14所示.

我们借助例6说明这一解题思路.

例6 （江苏·苏州卷）如图15，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点[D3，2]在对角线[OB]上，反比例函数[y=kx k>0，x>0]的图象经过C，D两点. 已知▱OABC的面积是[152]，则点B的坐标为（    ）.

（A）[4， 83] （B）[92，3]

（C）[5， 103] （D）[245， 165]

如图16，过点C分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点H，G，再分别过点D，B作x轴的垂线DE，BF，垂足分别为点E，F. 由于[△ODE∽△OBF，] 于是可以得到[BF∶OF=2∶3.] 从而可以设点B的坐标为[B3x，2x.] 又由于[S△ODE=S△OCH=S△OCG=3，] 且[S▱OABC=][S矩形CBFH，] 可得[S矩形OFBG]=[272]. 最终建立起关于x的方程，使问题得以解决.

四、结束语

本文之所以从“求点的坐标”这一小的切入点入手，是因为“求点的坐标”是解决“图形与坐标”问题的起点和关键点. 在以上关于坐标系中“求点的坐标”的解题策略的研究中，点的坐标的定义是思考问题的逻辑思维出发点，解决问题的关键是向坐标轴作垂线段，这样建立坐标和线段之间的联系，从而解决问题.“求点的坐标”类问题的解决策略比较丰富，需要我们对图形的整体和局部加以分析，充分挖掘数与形的关系，以及图形结构中所体现出的特殊性. 同时，还应该研究怎样将点的坐标转化为方程（组）来解决问题. 有效、准确地求出点的坐标之后，才可以解决坐标系中的后续问题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]弗里德曼. 怎样学会解数学题[M]. 陈淑敏，尹世超，译. 哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，1981.

[3]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2016.