2020年中考“事件的概率”专题命题分析

谭宏杰

摘  要：2020年全国各地区中考“事件的概率”相关试题稳中求新、“活”而不难，从题量、题型、思想、素养、深度与难度出发展开命题分析，在数学基础、数学价值、数学素养的角度提出概率模块知识点的应对复习、知识体系的完整复习，以及与其他知识同步开展的融合复习等复习建议.

关键词：事件的概率;命题分析;复习建议

“概率”是初中数学四个课程内容之一的“统计与概率”知识的组成模块，主要内容包括了解必然事件、不可能事件、随机事件及其概率的有关概念，理解用列举法（枚举法、列表法和画树状图法）求简单随机试验中事件的概率，利用频率估计概率.“概率”也是历年中考的常考内容之一. 笔者对2020年全国各地区98份中考试卷进行整理、剖析、归纳，对其中“事件的概率”试题的命题分析如下.

一、考查内容分析

2020年中考数学“事件的概率”命题以《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）为依据，其对“事件的概率”教学与考查的要求是：（1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率;（2）知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率. 整理的98份中考试卷都是严格按照《标准》要求进行命题的.

1. 考查的题量与题型

2020年全国大部分地区的中考试卷对概率的考查题量一般是1道题（76份试卷）或2道题（16份试卷），但也存在如广东卷、江苏南京卷、山东聊城卷、山东淄博卷、四川宜宾卷、浙江嘉兴卷中将统计与概率作为一个整体考查，命制了统计部分的试题，没有单独考查概率的情况.

整理的98份中考试卷中共有108道概率相关的试题，其在各份试卷中分布较广，在选择题、填空题与解答题中均有涉及. 其中，解答题占比最大，接近半数;纯概率知识的试题和概率与其他知识复合的试题各占一半，客观题中仍是纯概率知识题占据主流，而解答题除了河北卷第25题外，都是由概率与统计知识复合而成.

2. 考查的知识与思想

在知识层面，以判断命題的形式考查学生对随机事件的认识，对必然事件、不可能事件及其概率的理解;以主观题考查利用试验的频率估计事件发生的概率;以选择题、填空题或解答题的形式考查列表或画树状图求随机事件的概率.

在思想层面，以“摸球”过程中“放回”与“不放回”为基本数学模型，考查学生的建模思想和分类讨论思想;以概率的古典定义公式[PA=mn]（其中，[PA]为简单随机事件[A]的概率，n为列出所有可能的结果，m为指定事件发生的所有可能结果）考查学生的化归思想.

3. 考查的深度与难度

《标准》虽然没有明确说明“事件的概率”教学要求是“了解”“理解”还是“应用”，但从表述中可知概率的概念是“了解”层面，频率估计概率是“理解”层面，求简单随机事件的概率是“应用”层面. 从考查的概率知识来看，试题对概率知识命题判断、一次试验概率、二次试验概率、频率估计概率分别以不同的数学或生活情境进行考查，考查的深度适中，没有涉及偏、难、怪题，但难度有所差异，差异的根源在于试题中复合的其他知识的考查难度不同.

二、命题思路分析

从“事件的概率”考查的内容分析，我们可以初步揣度命题者的命题思路：（1）命题者开始衡量统计知识和概率知识哪个现实价值更大，是否必须考查概率知识;（2）从概率知识的内涵及应用角度看，概率依旧是初中数学知识体系中的重要内容，是承接初中学业水平检测及高中选拔考试良好的知识载体，同时也是拓展、复合其他知识的良好命题载体;（3）概率知识能很好地反映学生的数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识;（4）概率知识的考查可以基于社会热点、时事问题等现实生活情境，能有效引导教师在日常教学中践行“立德树人”的教育根本任务.

1. 立足基础常规，重视“四基”经验

《标准》对概率内容的要求处于初级水平，教学重点在于概率意义的理解和随机观念的培养. 命题过程中会把握重点和控制难度，不会在概率的深层次理解和应用上做文章，也不会在繁难的计算上做要求，试题中的试验结果有限且数量不多，能通过列举法（枚举法、列表法或画树状图法）或用频率估计概率能求出事件的概率. 根据试题中给出的条件，学生能快速从试题中抽取信息，对号入座相关的初中数学概率模型，如放回型或不放回型，进而通过熟悉的解决事件的概率方法解答试题. 例如，黑龙江齐齐哈尔卷第4题考查了一次试验、直接应用概率的古典定义公式[PA=mn.]

例1 （黑龙江·齐齐哈尔卷）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（    ）.

（A）[12]  （B）[13]   （C）[14]  （D）[23]

又如，湖南衡阳卷第20题第（2）小题考查了二次试验、通过列表法或画树状图，最后使用概率的古典定义公式求解.

例2 （湖南·衡阳卷）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为[13.]

（1）求n的值;

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.试用画树状图或列表的方法进行说明.

个别试题考查了“事件的概率”相关基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验中最质朴、最本源的内容. 例如，湖南衡阳卷第20题第（1）小题和黑龙江绥化卷第8题，考查学生对概率的古典定义公式中每个变量的理解及应用.

例3 （黑龙江·绥化卷）在一个不透明的袋子中装有黑球[m]个、白球[n]个、红球3个，除颜色外无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是（    ）.

（A）[3m+n] （B）[3m+n+3]

（C）[m+nm+n+3] （D）[m+n3]

内蒙古通辽卷第21题考查三次试验概率情况，是对二次试验概率的深刻理解与拓展应用.

例4 （内蒙古·通辽卷）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2;乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5;丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋各随机取出1个小球.用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率;

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率.

2020年全国各地区中考“事件的概率”试题中很多是以上述典型常规概率试题为命题方向，由于概率知识对学生应用能力要求不高，是定位给大部分学生“摘到果子”之所在. 在今后的中考相关试题中，这一趋势应该仍会保持.

2. 凝练生活气息，体现数学价值

人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第二十五章“概率初步”的教学建议为“概率与现实生活的联系非常紧密，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的……选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中学习计算概率的方法、理解概率的意义”.

很多试题素材来源于生活，在看似平凡的问题中体现概率最基本的知识原理和思想方法，培养学生用数学眼光观察世界、理解世界，解决生活中的实际问题. 例如，广西玉林卷第16题考查红绿灯时车辆通行的随机事件及其某一事件发生的可能性.

例5 （广西·玉林卷）经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是         .

又如，湖北恩施卷第6题以选粽子为背景命制试题，体现了浓濃的生活气息.

例6 （湖北·恩施卷）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”.端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽.小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（    ）.

（A）[211]  （B）[411]  （C）[511]  （D）[611]

在调查的98份2020年全国各地区中考试题中，有11道“事件的概率”试题以“新冠肺炎疫情”这一热点问题作为情境展开命题，如江苏徐州卷第21题.

例7 （江苏·徐州卷）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）.

（1）小红的爸爸被分到B组的概率是     ;

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（试用画树状图或列表的方法写出分析过程.）

此题除了一次试验和二次试验求概率这一知识性考查外，还有在知识外的命制目的，即让学生铭记我国抗击“新冠肺炎疫情”的艰辛，以及对志愿者在抗疫期间的付出的认可，传递着一心为公、有所担当的德育元素，这是初中数学学科德育的呈现方式之一. 同时也向初中数学教师传递了“数学教学”向“数学教育”转化的要求，提醒教师在教学概率知识时要注重选取与生活密切联系的素材.

3. 知识复合考查，凸显学科素养

在近几年的中考中，将统计与概率知识复合在同一道试题中进行考查成为常态，严格来说是概率借助统计考查试题的现实情境，是对统计知识考查结果的拓展，是相对比较松散的知识复合考查. 这种考查方式在2020年中考中仍然普遍存在，知识复合概率将是未来中考考查的重点方向之一.

知识复合概率考查的试题根据知识复合程度分三种类型.

第一种：泾渭分明型，即概率知识和其他知识泾渭分明，可以先完成其他知识再根据结果完成概率的内容. 例如，内蒙古通辽卷第10题先让学生根据无理数概念、因式分解、正方体的性质、扇形弧长及面积公式判断命题的正确与否，再通过概率公式求出最后结果，两者虽有正确解题的相互支撑，但又在解题过程中相对独立.

例8 （内蒙古·通辽卷）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（    ）.

（1）无理数都是无限小数;

（2）因式分解[ax2-a=ax+1x-1;]

（3）棱长是1 cm的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm;

（4）弧长是20π cm，面积是240π cm2的扇形的圆心角是120°.

（A）[14]  （B）[12]  （C）[34]  （D）1

第二种：知识融合型，即从概率角度入手必须使用其他知识解题，从其他知识角度入手也是概率解题的必要步骤，特别是面积类求概率的试题. 例如，湖北随州卷第14题.

例9 （湖北·随州卷）如图1，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为      .

第三种：绿叶参与型，即当完成其他知识的考查后，试题的概率结果已经显而易见了. 例如，山东滨州卷第17题.

例10 （山东·滨州卷）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为       .

随着知识复合考查概率的试题增多，概率试题将出现“新”的命题趋势. 此“新”更多的是指概率题将复合不同的知识及知识要点，实现对学生综合能力和学科素养的考查.

三、复习教学建议

根据稳中求新的“事件的概率”知识模块命题思想，复习的教学思想应该遵循常规基础复习为主、适度前瞻滚动、动态分层提升的策略.

1. 检测选拔的目标背景下，概率模块应对复习

为实现初中学业水平检测和高中入学选拔的双重目标，让学生“做对题”是考试最“社会化”的要求. 在此背景下，要从历年中考试题中“事件的概率”及其趋势所考查的题型、难度入手，依标据本，选取难度适当的题目，分门别类进行系统训练与巩固，应对中考常规试题展开复习. 笔者在“事件的概率”专题复习中常以一个题干（摸球模型）将初中阶段需要掌握的概率知识命题判断、一次试验概率典型题、二次试验概率典型题、使用频率估计概率、三次试验概率典型题、概率应用能力题整合在一起复习（详见下文模拟套题）.

2. 思维素养的考查背景下，概率模块完整复习

“事件的概率”知识模块命题将考查基础知识、基本能力、基本素养，侧重数学思维、实践应用、创新融合，兼顾知识的“生长点”和“延伸点”.

在思维素养的考查背景下，对概率模块的复习需要有完整的初中数学概率知识框架（如图2），对框架中的数学知识、数学思想与数学方法要做到胸有成竹.

3.“活”而不难的命题背景下，概率模块融合复习

“事件的概率”中考试题以常规考查为主，同时也存在创新命题，集中在试题的情境及复合其他基础知识. 因此，对概率的复习不必过于刻板和集中，可以采取“cháng”备考复习策略——拉“长”概率部分备考复习时长;“常”练相关难点、易错题型，在其他知识模块的备考复习过程中融合概率知识的复习. 概率模块与其他知识模块进行融合复习的设计，有助于实现复习过程中知识间的咬合、滚动与不断夯实巩固.

4.“培养人”的教育背景下，善于命题指引复习

2019年3月18日，习近平主持召开学校思想政治理论课教师座谈会并发表重要讲话，最根本的是要全面贯彻党的教育方针，解决好培养什么人、怎样培养人、为谁培养人这个根本问题. 正如《标准》的要求，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用. 中考试题是引导教师“教”与学生“学”的指挥棒，教师应该与时俱进，提升自身的命题能力，紧握这根指挥棒，实现知识技能、数学思考、问题解决和情感态度的教学总体目标.

四、模拟题欣赏

笔者编制了一组“模拟套题”，是以“不放回摸球模型”为背景，围绕《标准》要求命制的符合“了解概率概念、理解频率表示概率、应用树状图或列表解决概率问题”的基础题目，能够让学生更好地感受随机事件、概率内涵及应用. 其中，问题6增加了题目情境和开放性的设计，既考查学生对概率知识的深层次认知，又能让学生感受到概率知识的实用价值、感悟数学的思维与严谨. 这6个问题以适当的梯度展开，对学生的知识及其他层面的素养要求有着由浅入深的考查，可以为学生不断进步铺设阶梯，让不同的人在数学上得到不同的发展.

题目  在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.

问题1：（概率知识命题判断）以下说法错误的是（    ）.

（A）摸出标号为6的小球是不可能事件

（B）摸出的小球标号都小于6是必然事件

（C）摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性是不一样的

（D）摸出标号为5的小球的概率是0

参考答案：C.

问题2：（一次试验概率典型题）若随机摸出一个小球，则摸出标号为3的概率是（    ）.

（A）[14]   （B）[13]   （C）[12]   （D）[34]

參考答案：A.

问题3：（二次试验概率典型题）若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球.试用树状图或列表求两次取出小球标号的和等于5的概率.

解：依题意可得树状图如图3所示.

[7][开始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][5][6][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][3][5][4][5][5][6][7][图3]

所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等5的情况是4种，

所以[P和为5=412=13.]

问题4：（使用频率估计概率）在口袋中再放入若干个完全相同但没有标号的白色小球，某学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白色小球打“√”，摸到标号小球打“○”，之后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表所示.

[摸球的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000 打“√”的频数 72 93 130 334 532 667 打“√”的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5 ]

估计该学习小组摸一次球，摸到白球的概率是        .（精确到0.01），由此估出白球的个数为     .

参考答案：0.33，2.

问题5：（三次试验概率典型题）若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球后仍不放回，第三次随机摸出一个小球. 试用树状图或列表求三次取出小球标号的和等于6的概率.

解：依题意可得树状图如图4所示.

[开始][第一次][第二次][和][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [3][4][2][4][2][3][3][4][1][4][1][3][2][4][1][4][1][2][2][3][1][3][1][2] [6][7][6][8][7][8][6][7][6][9][7][9][6][8][6][9][8][9][7][8][7][9][8][9][图4]

所有等可能的情况有24种，其中三次取出的小球的标号的和等6的情况是6种，

所以[P和为6=624=14.]

问题6：（概率应用能力题）小明和小亮都想去观看电影，但必须有一个人留在家里等候签收重要快递，于是他们设计了一个“摸球”游戏：若随机摸出一个小球后记下标号但不放回，再随机摸出一个小球也记下标号. 试补充完整、公平的“摸球”游戏规则，并说明其公平性.

解：游戏规则如下：第一次摸出小球标号大于第二次摸出的小球标号，则小明胜;反之，则小亮胜.

画树状图如图5所示.

[开始][第一次][第二次][1][2][3][4][2][3][4][1][3][4][1][2][4][1][2][3] [图5]

因为[P小明胜=P小亮胜=612=12，]

所以这样的游戏规则公平.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.