“兴趣”引领 “项目”实施

张永刚

摘  要：关于正方体的截面，可以探究其形状、大小、周长等，内容解析中具体分析了可能研究到的问题及研究思路. 在常态教学中进行完整、大型数学探究的实践较少，学生在学习中会在思维和操作方面有所顾忌，需要教师的设计、指导和帮助，为此设计了以学术真实为情境的项目学习教学方式. 教师设计驱动问题，学生自主分解任务实施项目，并用评价指引项目的实施，最后形成项目作品——数学“定理”，并进行展示交流、智慧分享，完善产品和项目报告、积累探究经验.

关键词：项目学习;数学探究;正方体截面

一、项目教学内容和内容解析

1. 项目教学内容

探究正方体截面的形状、面积及周长.

建议使用三课时. 提前布置任务，学生课前独立自主探究. 第1课时在开题报告中完成问题的提出与成果展示的规范化;第2课时中期汇报充分掌握正方体截面的形状特征并进行面积大小的初步探究;第3课时全面展示探究成果，布置课后作业. 最后完成研究报告.

2. 项目内容解析

立体几何研究的是现实世界中物体的形状、大小与位置关系.

本探究活动是在学生学习了空间中点、直线、平面的位置关系，了解了一些简单几何体的表面积与体积的计算方法之后，进一步探究如何全面、准确地认识一个空间几何体;如何在研究过程中逐步发现有价值的问题，在解决问题的同时归纳方法、探索规律，从而揭示数学研究的本质——探索规律的不变性.

对于正方体来说，用一个平面去截它，最直观的是截面的形状. 对此可以按截面边的数量进行分类. 截面多边形的边是指这个平面与正方体表面的交线. 正方体有六个面，一个平面截一个正方体，该平面最少会与三个面相交，最多会与六个面交，按照边的数量可分为：三角形，四边形，五边形，六边形. 在这些多边形中是否存在特殊的形状，可以通过观察、猜想进一步探究，并通过论证与举反例进行证明或反驳. 截面所在平面的相对位置不同，导致截面形状的不同，按照某些特殊位置的平面系截正方体，分析各类截面图形是否存在，更容易了解截面形成的过程，体会分类研究是解决复杂综合问题的常用方法.

截面的形状确定之后还可以创设“求面积最值”的情境. 为探究求截面面积，可采取按截面在正方体的一个特定表面的投影形状进行分类. 为了探究求截面面积的一般方法，以2018年高考全国Ⅰ卷理科第12题为支架问题，发现六边形截面的面积可以转化为其在正方体表面的投影面积进行计算，而这种方法又能推广到截面四边形、五边形. 为了控制二面角变化中的变量数量，将截面图形中两条平行的边所在的正方体表面作为投影面.

体会分类标准的选择往往是被问题所驱动的. 当然，对于截面图形还有更多其他形式的标准. 例如，可以按不同形状的截面会与正方体哪些位置的棱产生交点进行分类，这样在给定正方体不同棱上的任意三点后，很快就能判断出截面的大致形状.

数学的学习要掌握解决一类问题的方法.“类”从何而来？当然是根据我们想要解决的问题而来. 课后作业以求截面周长为驱动问题，鼓励学生继续探究对正方体截面新的分类.

综上，确定本项目的教学重点为：探究正方体的截面形状，通过研究截面面积，探究对复杂综合问题的合理分类.

二、项目教学目标及目标解析

1. 项目教学目标

（1）经历探究正方体截面形状、面积的过程，了解截面的形状及特殊截面，求得截面面积的最大值.

（2）通过完成关于正方体截面的探究，让学生了解探究，经历提出问题、发现问题、证明猜想或反驳猜想的过程，积累通过思维碰撞、合作探究进行数学学习的经验.

（3）通过体会合理分类与归类的过程，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.

2. 项目目标解析

（1）能通过自主实验，找出正方体所有可能出现的截面形状，以合理的形式概括描述，并说出各类多边形产生的原因;能借助立体几何初步中给出的基本事实、定理、推论等论证截面多边形的形状特征;能够脱离实验想象出以与正方体的棱、面对角线、体对角线平行或垂直的平面截正方体可能截出的图形;能合理选择正方体表面作为投影面，转化求截面面积，了解为求出截面面积的最大值而对截面投影形状先进行分类再进行归类的方法.

（2）能通过实验探究，对结果产生质疑. 例如，为什么会有五边形、六边形？是否会有直角或钝角三角形？是否会出现梯形？并且能够借助已有知识对问题进行论证或反驳;面对逐渐深入的探究，能够大胆合理猜想，主动驳斥论证，探讨解决方案，直至提出新的问题.

（3）能对复杂问题提出合理恰当的分类，再回到问题本身，对散乱多样的分类加以归类整理;能够主动提出新的问题，并对不同问题提出恰当的分类标准.

三、教学问题诊断分析

本单元教学的难点之一是学生没有经历过完整的数学探究活动.“找出一个平面截正方体所有可能的截面”本身是一个结构不良的问题. 寻找截面的目标是什么？借助何種工具找？是按边的数量界定，按图形形状界定，按内角大小界定，还是按平面位置界定？结果又应当如何表述？为此，将采取教师指导与学生自主探究相结合的方式：首先，以课前任务的形式启发学生主动质疑，对实验结果收集、整理、分类，从中充分认识截面形状形成的条件，也可以借助特殊位置的平面截正方体的探究路径，或探查特殊截面图形的存在性，引导学生借助已有的空间立体几何知识解释截面形状的成因和分析错误等. 同时还需要推理、给出论据. 分析哪一种分类方案更适合当下的情境，解决面临的问题，并提出新的问题.

本单元教学的难点之二是在求面积时由于截面所在平面位置的多样性，导致截面形状的多样性，如何从变化的截面面积中寻找不变的规律？为此，可以设置2018年高考全国Ⅰ卷理科第12题为支架问题，发现只要截面之间相互平行，就能借助二面角大小的不变性将截面面积转化为截面的投影面积进行计算. 再推广到一般的四边形、五边形、六边形截面中，选取同一个变量，同时建立二面角与最大投影面积的函数，由于函数比较复杂，可借助信息技术寻找函数最值. 在这一环节中，按指定平面寻找截面投影，并按照投影形状进行分类，然后再根据“寻找最大投影面积”的目标驱动问题进行归类，剔除繁冗情况. 这种归类决策学生较难提出，教师可适当引导，让学生借助信息技术体会合理分类、筛选数据、做出决策的必要性.

四、教学支持条件分析

本探究需要多种媒体的综合应用. 在探索初始阶段，可以用实物或者模具进行. 例如，可以利用切萝卜块观察形状，或者在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置，等等. 在深入探究阶段，则需要借助信息技术手段进行探究. 例如，利用图形计算器探索特殊图形的位置、投影及面积最大值时的位置.

此外，教师还可以利用其他技术. 例如，使用GeoGebra软件进行演示，帮助学生直观验证截面形状，做出复杂函数图象寻找函数最值.

在教师的带领下，用项目学习的方式进行教学.

五、研究规划

教师以“用一个平面截正方体，截面的形状是什么样的？对于截面能想到研究哪些问题？”为驱动问题，开启学生的数学探究活动. 学生假定自己是一个从事数学研究的科研人員，从学术真实的数学情境入手，通过实验或借助信息技术提出问题，发现数学猜想，分小组合作探究、论证反驳，形成具有一定推广价值的数学结论，最终形成项目作品——自己命名的“定理”. 根据每个阶段形成的阶段性项目产品，开展现场质性评价. 最终在结题活动中展示项目产品，学生自我评价，教师结合探究过程分别为项目作品撰写结题词.

六、教学过程设计

1. 课前启动项目

引导语：“把空间问题转化为平面问题”是研究空间问题的一种重要方法. 用一个平面去截空间几何体，形成截面图形，也是将空间问题“平面化”的一种重要方法.

任务1：规划可能探究的问题.

用一个平面截正方体，截面的形状是什么样的？对于截面你能想到研究哪些问题？

师生活动：教师提出问题，学生自主完成.

预设答案：可以研究截面的形状，特殊图形，截面的面积、周长，等等.

【设计意图】鼓励学生打开思路、提出问题，为后续的探究做好铺垫.

任务2：猜想截面的形状并予以论证或反驳.

学生以学习小组为单位共同提出实验策略，利用已有的工具和材料，找出一个平面截正方体可能出现的所有截面形状. 具体要求如下.

（1）实验结果易于观察、直观清晰. 汇总所有不同形状的截面图形，拍成照片并标注图形名称，打包发送到班级邮箱.

（2）给出猜想：用一个平面去截正方体，可能形成哪些截面图形，其中又有哪些特殊形状（如正三角形等）？并论证你得到的结论.

预设师生活动：学生独立进行探究. 通过切萝卜块观察;也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水;在正方体上绑皮筋;还可以借助信息技术直观、快捷地展示各种可能的截面. 为课题的开展形成前期的独立思考与认知.

【设计意图】阐述课题研究的必要性，激发学生的研究兴趣，学生提前形成自我认知，培养动手能力. 通过观察和汇总实验结果，对截面形状提出猜想，验证猜想的成立，为后期合作探究逐渐深入研究做准备，提升学生的直观想象素养.

2. 第1课时——探究正方体截面的形状与面积开题报告活动

环节1：分组展示交流部分研究成果，积累探究经验.

师生活动：以一个问题为目标，为探究目标做出示范，教师做出评价.

学生可能面对的困难.

（1）注重直观想象，欠缺严密的理论推理.

（2）展示的研究成果缺乏系统性，准确性.

教师引导：可以以正方体的三角形截面为范例，引导学生类比研究其他截面图形.

环节2：分组展示交流，确定研究内容，形成研究方案.（制定项目作品目标.）

师生活动：学生课前进行探究，课上提出有价值的研究问题、确定研究方向，制定研究计划并在班级展示.

学生可能面对的困难.

（1）学生没有探究经验，很难提出有价值、有深度的问题，可能还会把探究问题停留在解题上.

（2）提出的问题过于宽泛、不够有条理，不易总结出一般规律.

教师引导：明确探究任务的实质，可示范性地给出一些问题范例;通过协调小组之间的合理任务分工，明确研究方向.

【设计意图】初步了解数学探究活动的本质，掌握必要的研究方法，学会发现问题、理解问题、解决问题的一般探究思路，激发学生的研究兴趣，培养学生的合作意识，为后期合作探究做准备.

第1课时课下，学生自主开展探究活动，教师随机参与、交流指导.

3. 第2课时——探究正方体截面的形状与面积中期成果汇报活动

环节1：分组展示交流部分研究成果（阶段性项目产品展示），积累探究经验.

师生活动：学生展示，师生制定评价标准.

学生可能面对的困难.

（1）展示的研究成果缺乏系统性、准确性.

（2）可能出现错误结论.

（3）小组间合作不够充分，对其他小组的研究成果了解不够充分.

教师引导：引导学生合理分类表述研究成果，形成合理分类意识，对研究成果做出评价，提出下一步的研究建议.

环节2：全面汇总前期研究成果，合理分类表述或提出新的问题.

师生活动：小组间相互评价，教师评价提出的新问题，对于较难解决的问题教师可给出合理的问题支架.

学生可能面对的困难：研究成果不够全面，表述不够有条理.

教师引导：及时评价，对于复杂问题可提供相应的问题支架.

教师讲解：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究，并最终解决问题的过程. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索和合作研究论证数学结论. 数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.

【设计意图】理解数学课题研究的本质，培养学生的合作意识. 通过体会合理分类与归类的过程，提升学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养.

第2课时课下，学生进一步深化探究，梳理成果.

4. 第3课时——探究正方体截面的形状与面积结题交流活动

环节1：分组成果汇报.

师生活动：小组项目负责人汇报成果，其他成员可以补充并做好记录、认真反思、取长补短，教师记录对该组的质疑，汇报后提问，指出各组优、缺点.

环节2：项目总结.

师生活动：学生谈谈对数学探究活动的体会，以及在活动中的收获. 师生共同评出优胜小组. 教师做出结题评价.

七、预设项目产品

1. 截面形状分类

用一个平面截一个正方体，平面最少会与正方体的三个面相交，最多会与正方体的六个面相交，截面按照边的数量可分为三角形、四边形、五边形、六边形.

【设计意图】通过直观想象了解截面形状，初步培养学生的分类表述能力.

项目作品1：特殊截面多边形存在性论证.

2. 三角形截面的探究

问题1：在三角形的截面中，具体有哪些类型？如何判断？

预设答案：若用一个平面截正方体，截面只与正方体两两相交的三个表面相交，此时截面与正方体表面恰好有三条交线，此为截面多边形中边数最少的图形. 按照截面与正方体棱的交点位置的不同，可划分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形.

分别用x，y，z表示截面三角形的三条边长，再借助余弦定理判定截面不可能出现直角或钝角三角形，进一步研究截面三角形的形状.

也可以用反证法证明不会有直角三角形.

与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立.

【设计意图】明确问题的定位，即要借助空间立体几何中的知识对产生的问题进行合理的论证或驳斥. 进一步深化分类，从截面所在平面位置是否可以截出三角形入手，形成认识截面图形的一般套路.

3. 四边形截面的探究

问题2：用一个平面截正方体得到的四边形截面有哪些类型？如何判断？

预设答案：由于截面与正方体四个不同的表面（截面过正方体棱时按与一个表面相交计算）相交，才能形成四边形，而任选正方体四个不同表面，至少会有一对平行平面. 例如，图2、图3、图4都是平面与正方体的两对平行表面相交，交线对应平行，此时界面必为平行四边形;图5是平面与正方体的一对平行表面相交，因此截面四边形至少有一组对边平行，即截面四边形只可能是梯形或矩形（不会出现一般的平行四边形，可证明）. 类比证明无直角三角形截面的方法，可用反证法证明不存在直角梯形. 在证明的过程中发现：当截面所在平面与一条侧棱所在直线平行时，截面图形为矩形，特殊位置时可以是正方形;当截面所在平面过侧棱所在直线时为矩形（如图3），这一位置也可以看作是截面与两对平行表面相交产生的截面四边形.

4. 五边形截面的探究

五边形截面是平面与正方体的五个表面产生交线，一个平面是否能够同时与正方体的五个表面相交？三个不共线的点确定一个平面，可在三条互相平行的棱上各确定一点（确定的平面不与正方体表面平行），利用立体几何中的基本事实3寻找截面与正方体表面的交线，这样的截面图形中可能出现平行四边形，也可能出现五边形（不会出现六边形）. 当截面所在平面与正方体五个面相交时截出的就是五边形. 而正方体的这五个表面至少会有两两平行的两对平面，由面面平行的性质定理可知：截面五边形必有两组对边分别平行.

由于在平面内，两直线平行同旁内角互补（如图6），故[∠1+∠2][=180°].

显然与正五边形各内角相等，分别为[108°]相矛盾，故不存在正五边形截面.

5. 六边形截面的探究

平面所在截面与正方体的每个表面都相交时，截面图形是六边形. 由平面与平面平行的性质定理可知，这个六边形截面必定是由三组两两平行的六条边围成的几何体，于是这个六边形的各内角必为[120°].

从作图的过程中发现，六边形截面与棱的交点不会出现在正方体同一个表面的两条相互平行的棱上，即：对棱有交点，对面平行线. 这一特点是由正方体的对称性决定的.

【设计意图】充分探究正方体截面的形状，让学生了解探究，经历提出问题、发现问题、证明猜想或反驳猜想的过程，积累探究的经验.

项目作品2：特殊位置的平面截正方体，可能出现的截面形状规律.

6. 其他

问题3：在什么条件下会产生三角形、四边形、五边形、六边形截面，或者特殊的多边形截面？你能找到规律吗？用一些特殊位置的平面截正方体试一试.

预设答案：我们发现截面图形不但能从边的数量上进行分类，而且能够按截面所在平面的某些特殊位置进行分类. 例如，平面与正方体的一条面对角线垂直截正方体，只可能截面出六边形或等边三角形. 通过对抽象的数学问题进行分类，随着分类的不断深化，更容易帮助我们揭示问题的本质.

具体归类汇总如下.

① 与正方体的一条棱平行（或一个面垂直）的平面截正方体，截面一定是矩形. 其中，用与正方体一对平行的面平行的平面截正方体，截面是正方形. 除此之外，图7的这种特殊位置也可以截出正方形.

② 用与正方体的一条面对角线平行的截面截正方体，可能截出三角形且这些三角形都是等腰三角形，可能截出的四边形有等腰梯形、矩形、正方形、菱形，还可能截出五边形、六边形.

只要一个平面截正方体，使截面与正方体彼此平行的四条棱同时相交，此时截面图形一定是平行四边形;如果这個平行四边形再有一条对角线与正方体的一条面对角线平行，那么这个平行四边形就是菱形.

③ 用与正方体的一条面对角线垂直的平面截正方体，截面都是矩形.

④ 用与正方体的一条体对角线平行的平面截正方体，可能截出三角形. 如果截面为四边形，形状可能是梯形、矩形. 可能截出五边形，不可能截出六边形.

⑤ 用与正方体的一条体对角线垂直的平面截正方体，截面为正三角形、六边形（含正六边形）.

⑥ 用过正方体的体对角线的平面截正方体，截面形状可能是平行四边形、菱形、矩形.

教师可以借助多媒体展示部分截面的形成.

再如，可以按不同形状的截面会与正方体哪些位置的棱产生交点进行分类，这样在给定正方体不同棱上的任意三点后，很快就能判断出截面的大致形状.

【设计意图】展示不同的分类思路，拓展学生思考问题的角度，使他们体会问题驱动下的分类.

问题4：经过前面的分析，可以继续探究截面图形是否还有其他形式的分类？

项目作品3：用一个平面截正方体，截面面积最大问题.

探究任务：我们已经了解了正方体截面的形状，那么，不同形状的截面面积如何计算？什么情况下取得最大值？试结合你课前的探究进行进一步研究.

问题5：关于截面面积何时最大，你能想到哪些具体的问题？

预设答案.

① 任意三角形截面面积最大问题.

② 等腰梯形截面面积最大问题.

③ 平行于棱的平面截出的矩形面积最大问题.

【设计意图】激发学生的探究兴趣，分解复杂问题.

问题6：正方体具有非常完美的对称性，先来体会一个特殊位置截面面积的最值问题. 通过求解下面的具体问题，你能提炼出求解截面面积的一般方法吗？

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值如何寻找？

师生活动：学生完成猜想并加以论证，总结出转化截面面积的一般套路.

【设计意图】在四边形、五边形、六边形截面中，将面积转化为投影面较为复杂，通过这个问题的求解为学生的进一步探究搭建支架.

问题7：正方体的所有截面中哪个截面面积最大？最大面积是多少？提出你的猜想，并论证.

追问1：正六边形截面的面积是否为正方体所有截面中面积最大的截面？

预设答案：不妨设正方体棱长为1，如图8，[S1=6×][12×222×sin 60°=334;S2=1×2=2，] 显然[S1<S2]. 通过运算发现，正六边形截面的面积并不是正方体所有截面中最大的.

追问2：为了寻找截面面积的最大值，你觉得可以将截面问题进行怎样的转化？

预设答案：截面图形面积最大的探究.

① 三角形截面图形中面积最大者为三个两两相交表面的对角线围成的等边三角形（之前已说明），最大面积为[Smax=32<2，] 一定无法形成最大面积，此处不再进行研究.

② 除三角形截面外，截面面积最大计算方法的探究：当正方体的截面不是三角形时，必然与正方体的一组对面分别有交线[l1，l2]，将这组相对的面作为上、下底面，设截面在下底面上的投影面积为[T]，截面与上、下底面的二面角的大小记为[θ，] 则根据面积射影定理，得截面面积[S=Tcos θ].

根据面面平行的性质定理，可知交线[l2]在底面上的投影[l2′]与交线[l1]平行. 设这两条平行线之间的距离为a，则容易求得[cosθ=aa2+1.] 所以[S=T1+1a2，0<][a≤2]. 当[a>1]时，由于[T≤1]（正方形的一个表面面积为1），因此[S≤2.] 则截面面积的最大值为[2.]

当[0<a≤1]时，我们研究当a固定时的投影面面积的最大值T（a）max，再求出当a变化时的截面面积S的最大值S（a）max即可. 记底面为正方形ABCD，下面按投影中平行线与正方形的四边的相交情况分类讨论（设相交得到的线段分别为MN和PQ）：

第一种情况，如图9，平行线均与正方形的某一组邻边相交.

第二种情况，如图10，平行线中一条与正方形的一组邻边相交，另一条与一组对边相交.

第三种情况，如图11，平行线分别与正方形的两组邻边相交.

第四种情况，如图12，平行线均与正方形的某一组对边相交.

投影面积的最大值不可能在第一种和第二种情况下取得. 因为当我们将平行线向右上方作平行移动时面积总会变大，最终将转化为第三种和第四种情况.

在第三种情况中，可知当MN的方向固定，且MN的长度与PQ的长度相等时，投影面积达到最大. 于是问题转化为以正方形中心为圆心，[a2]为半径作圆，直线MN与圆相切且分别交AB，AD于M，N，求△AMN的面积何时最小.

【设计意图】培养学生合理的分类和归类意识.

八、课后作业

完成课题研究报告.

项目作品4：与体对角线垂直的平面截正方体，截面周长的变化规律.（备用）

预设的答案：略.

九、项目反思

通过项目学习的方式开展数学探究活动，学生从最初的被动“配合”到后来的主动“融入”，最后全面投入到探究活动中来，并真正理解了何为数学. 例如，学生总结中谈到：通过这次活动，发现要想“秒杀”数学题不是要钻进题海里“刷题”，而是要站在更高的维度去认识数学.

技术与数学探究活动的融合，不但能够减少繁冗的运算、机械的想象等低级、枯燥的工作;通过增加算法设计、模型构建等高级思维，还能够帮助学生发现问题、提出猜想，缩小学生个体间的差异.

例如，图16为学生用GeoGebra软件探究，在正方体相应棱上分别取非中点截取等长线段，使其围成封闭图形，发现得到不是平面图形，反过来也就获得了猜想用平面截取正方体得到六边形截面，一定是取相应棱中点截得的;图17为学生借助手持图形计算器获得大量截面图形在正方体表面的投影形状.

学习方式的转变激发了学生的学习兴趣，使学生通过发现问题、提出猜想、反驳猜想或论证猜想、分析数据、建模解模最终提出了自己命名的“定理”. 学科教学目标伴随着这一过程自然达成. 这些不一样的“定理”虽然并不完美，但已在学生心中播下了“兴趣”的种子，能够不断激励学生主动学习新知识、探索新问题，甚至能够探索出超越高中知识范围的项目作品.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]薛红霞，马胜利. 在高中数学教学中开展项目學习的尝试：以“测量……”为例[J]. 中国数学教育（高中版），2019（10）：9-13，18.