均值不等式的一个新证明

王丽 燕子宗

摘要：本文通过运用伯努利型不等式方法和初等对称多项式提出了均值不等式的一个新证明。

关键词：算数平均数;几何平均数

一、引言

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。灵活的运用均值不等式，可以使得许多看似复杂的问题迎刃而解。均值不等式的具体内容为：调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

迄今为止，诸多学者已经给出了许多关于均值不等式的证明和推导方法。例如数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。本文在前人的工作启发下，提出了均值不等式的一个新证明。

四、总结

本文基于初等对称多项式提出了均值不等式的一个新证明，为证明均值不等式的证明提供了新思路，丰富了均值不等式的相关内容。

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基金项目：国家自然科学基金项目：（70771080）。

作者简介：王丽，最优化理论与算法，长江大学信息与数学学院，湖北荆州，434023。

（长江大学信息与数学学院 湖北省荆州市 434023）