基于几何直观的“线段垂直平分线性质的应用”教学实践

周子敏

摘 要：通过探索垂直平分线性质的应用案例，从学会对比，寻找联系和实践操作这几个角度发展学生的几何直观。

关键词：中学数学;几何直观;学会对比;寻找联系;实践操作;

捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》中写道：“一切知识都是从感官开始”。在中学数学教学中，我们发现，由于青少年缺乏直接经验，加之数学知识大都是远离实际生活的，很多学生在课堂上的直观感知，仅仅停留在正确地、如实地反映客观事物，不能很好由感性思维发展到理性思维，从而难以构建数学直观模型，在解决问题中遇到困难。

结合中学数学课程的特点，教师应从以下三个方面培养学生的几何直观。首先应考虑全面性。要求学生对于数学的图形和符号表达性质观察仔细、全面，注意到已知和求解有关的细节。其次应注重准确性。能辨别不同对象之间的差别，对观察到的差别能进行自我分析和判断。第三应体现创造性。能在别人也看到的现象中发现隐含的规律或者联系，并得到相应的结论。教师在教学中，要根据教学知识目标的要求，结合教学内容的实际，按照以下三个步骤，培养几何直观。

一、学会标注，形象展示，注重对比

教学片断1

如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，

AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？

直接应用性质。对于线段BC，出现了线段的垂直平分线AD，可以直接得到AB=AC;对于线段AB，没有出现线段垂直平分线，教师引导学生找到线段垂直平分上的点C，找到相等的线段AC=AE。把AB，AC，AE在ppt上用红色的线段表示出来，使它们从题目所给的多条线段中突出出来，增加对比度，从而增强学生的几何直观。

二、强调目标，不断寻找条件与结论之间的联系

教学片断2

如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，

若AE=6，△ABC的周长是13，求△ABE的周长。

学生解法如下：

解：∵△ABC的周长是13

∴AB+AC+BC=13

∵AC=CE

∴AB+CE+BC=13即AB+BE=13

∴△ABE的周长为AB+BE+AE=13+6=19

图形上标注的红色线段还保留着，但学生却不能直接“看出”结论了。此时教师引导学生将△ABC的周长与所求△ABE的周長表达式写下来进行对比。学生发现△ABE的周长展开式中的AE已知，AB可以由前面的解答可以转换成CE，只有有了明确的目标，才能很好地进行等量代换，从而简洁的完成解答。

在课堂上更多的是那些眼看着图，还是无从下手的学生。究其原因，并没有将图形与数学表达式结合起来，没有建立两者之间的联系。这时候，需要教师耐心加以引导，从条件和结论两方面出发，对照两个三角形的周长表达式，让学生从“图形直观”转化为“几何表达式的直观”，帮助他们找到突破难点的办法。解题完成之后，应再加以总结，形成学生的经验总结，从而达到预期的效果。

三、重视画图，从实际操作中发展学生的几何直观

教学片断3

如图，直线l是线段AB的中垂线，P点在直线l的右侧，则点P到A、B的距离有何关系？请写出你的结论，并说明理由。

题目中出现了线段的垂直平分线，但并不直观。在此题的处理上，教师指导学生把不明确的数量关系，用画图的方法直观地表达出来，使学生的问题分析能力和解决能力得到提高。具体教学中采用了“问题串”的引导方式，使学生的几何直观与教师语言相结合，起到了较好的效果，具体实录如下：

问题1：什么是“P到A、B的距离”？

生：线段PA与线段PB（ppt显示连接线段PA与线段PB）。

问题2：现在的点P在线段的垂直平分线上吗？

生：不在。

问题3：那垂直平分线的性质是不是就不能用了？

生：……

问题4：那我们可不可以在垂直平分线上找一点，用其性质呢？

生：可以。

问题5：找哪个点呢？

生：可以用线段PA与垂直平分线的交点（ppt用个笑脸显示这个点，记为C）。

问题6：现在可以得到什么结论？

生：CA=CB

问题7：那么此时线段PA就转化为？

生：PC+CB

问题8：它与PB有什么关系？

生：大于

问题9：为什么？

生：三角形两边之和大于第三边。

问题10：请大家思考一下，刚才的分析怎么表达？

通过教师语言有针对性的引导，使得学生看图的直观感知更加有目的性，并且在这个过程中，让学生体会到“找到线段垂直平分线上合适的点”，才能更好的使用线段的垂直平分线的性质，从而发展了学生的几何直观。

解题过程如下：

解： PA>PB

∵P点在l的右边，连接PA，PB

则PA一定与l交于一点C

连接BC，∵CA=CB

∴PA=PC+CA=PC+CB>PB

即 PA>PB.

在日常教学中，常见的教学的直观形式有：实物直观、模象直观和言语直观等，它们能给学生提供“一手”的感性材料，用不同的感官刺激起到相互补充的作用。教师在教学中要耐心引导，选择典型的教学例题，创建良好的探讨情境，精心设计问题，借助现代信息技术，培养学生科学的观察方法，引导学生有效的观察和思考，结合问题使学生获得几何直观和逻辑思维的感性认识，感知图形和数学表达式的形态与变化，充分发挥学生的主体作用，在教学活动中积累“自己的经验”，使学生的几何直观能力得到提高。

参考文献

[1]《义务教育教学课程标准（2011年版）》人民教育出版社，2016

[2]方厚良、罗灿.谈数学核心素养之直观想象与培养.中学数学（高中版），2016（10）：39-40

[3]陆敏芳.初中数学：课堂教学为核心素养奠基—以“直观想象”素养要素培养为例.数学教学通讯.2020（1月中旬）：34-36.