高考圆锥曲线离心率问题的基本解析

肖琳婧

摘 要：离心率是圆锥曲线的重要几何性质，也是高考常考的知识点. 这类问题一般有两类：一类是求圆锥曲线离心率的值;另一类是求圆锥曲线离心率的取值范围. 无论是哪类问题，其关键点都是通过几何或者代数的方法，找到关于a，b，c的关系式（等式或不等式），将其中的b用a，c来表示，转化为关于离心率e的关系式，从而得到离心率. 这是求解有关离心率问题的基本方法.

关键词：圆锥曲线;离心率;高考

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0040-02

一、考题分析

离心率是圆锥曲线的一个重要基本量，求圆锥曲线离心率的值或范围的问题也是圆锥曲线中的重点，由于这类问题综合性比较强，能够更好地体现学生的思维能力以及直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养，因此备受高考命题者的关注.

分析2019年高考试题对圆锥曲线知识点考查的情况，全国卷很明显加强了对圆锥曲线的考查力度，试题的题序都在后移，如选择题或填空题文科Ⅰ、Ⅱ卷在第12题，理科Ⅰ卷在第16题.命题者将圆锥曲线和直线结合在一起，普遍把解析几何作为压轴题来考查，改变了传统以函数与导数为压轴题的做法.无论是全国统一命题还是省自主命题，选择题或填空题主要考查圆锥曲线的定义（第一定义、第二定义）、标准方程和简单的几何性质，而解答题的综合性比较强，切入容易深入难.根据对2019年考题的侧重分析，结合新课程的教学理念，预测2020年高考命题者还是会将圆锥曲线的考题放在压轴位置.

二、例题解析

例1 （2014江西卷）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.

图1

解 连接AF1，因为OD//AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点. 又AD⊥F1B，所以|AF1|=|AB|，即|AF1|=2|AF2|. 设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=3n. 所以e=ca=|F1F2||AF1|+|AF2|=3n3n=33.

注：用几何关系和椭圆的定义得到a，c的关系，进而得到离心率.

例2 （2016江苏卷）如图2，在平面直角坐标系xOy中，F

图2

是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是.

解 联立方程组x2a2+y2b2=1y=b2，得B，C两点的坐标分别为

B（-32a，b2），C（32a，b2），又F（c，0），则FB=（-32a-c，b2），FC=（32a-c，b2），又由∠BFC=90°，可得FB·FC=0，将两向量坐标代入可得c2-34a2+b24=0①.

又b2=a2-c2，代入①式可化简为c2a2=23，则椭圆的离心率e=ca=23=63.

注：用代数关系（向量的坐标表示）找到a，c的关系，进而得到离心率.

例3 （2015福建卷）已知椭圆E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点. 若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是.图3

解 取左焦点F0，连接F0A，F0B，

则四边形AFBF0是平行四边形.

因为|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF0|=2a=4，即a=2.

设M（0，b），则4b5≥45，所以1≤b<2. 则离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2，

4-b24∈（0，32].

注：先求得a，再利用点到直线的距离公式得到b的取值范围，进而得到离心率的取值范围.

三、基本策略

1.求椭圆离心率或取值范围的方法

若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a2，b2，进而求出a，c的值，从而利用公式e=ca直接求解.若椭圆的方程未给出，则根据已知条件及几何图形建立关于a，b，c的齐次等式（或不等式），化为关于a，c的齐次方程（或不等式），进而化为关于e的方程（或不等式）进行求解.

2.求离心率值的常用方法

（1）由a、b或a、c的值，得e=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2.

（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2=c2-a2消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解.

（3）构造焦点三角形（F1，F2为双曲线两焦点，M为曲线上任意一点），利用定义转化为焦点三角形三边的关系，则

e=ca=2c2a=|F1F2||MF1|-|MF2|.

四、解题启示

纵观解析几何试题，题目中一般未给出图形，解题要求解题者正确画出图形，从图形中推理出几何或者代数关系，利用几何直观助力问题思考，不断提高解题者逻辑推理和直观想象的能力.圆锥曲线的定义是圆锥曲线的根源，某些问题的突破口就是回归定义，如例1、例3运用了椭圆的定义.解析几何研究的是几何问题，研究过程中总离不开图形，同时在解决问题时要注意是否能够灵活运用向量、平面几何、三角函数等知识简化几何关系和代数运算，综合考虑问题，养成良好的思维习惯.

如何在解题过程中落实学生的核心素养，这给一线教师的教学也提出了较高的要求.学生在学习圆锥曲线离心率的过程中一是要具备定义意识，定义是对数学问题解决的原动力，所以圆锥曲线的定义，也是对圆锥曲线本质属性的真实反馈，是圆锥曲线的灵魂所在，在解决问题过程中，可以对其定义进行灵活运用.二是方程意识，方程思想在解决数学问题时，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，通过求解方程完成未知向已知的转化，其在圆锥曲线离心率问题研究的过程中也发挥了重要的作用.因为有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解決，学生在求解过程中要善于挖掘隐含条件，具备方程的思想意识.三是平面几何意识，在对几何问题进行解析的过程中，需要将数量关系作为研究基础，这种方式不仅可以为学生进行思维的简化，同时还可以对解题过程进行优化.培养学生的数学意识，有助于对学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的落实.

参考文献：

[1]黄如炎.2019年高考解析几何试题分析与教学启示[J].中学数学研究，2019（12）：8-13.

[2]刘兰华.剖析圆锥曲线离心率的求法[J].中学数学，2014（05）：81-83.

[3]白庆全.高中圆锥曲线离心率教学中培养学生数学意识的策略探讨[J].数学学习与研究，2019（23）：38+40.

[责任编辑：李 璟]