数学中分类讨论思想的渗透

2021-09-10高艳

家庭教育报·教师论坛 2021年7期

高艳

【摘要】含参数函数的单调性是高考的高频考点，而分类讨论多贯穿在研究函数的单调性的解答题中。如2019年全国Ⅲ卷第20题，2017年全国Ⅰ卷第21题都考查了利用分类讨论研究函数的单调性。确定参数的分类讨论的标准是解决问题的关键。本文主要从函数的导数为一次型函数或二次型函数的系数为参数或者导数的零点是否在定义域或给定区间进行分类讨论。

【关键词】分类讨论参数单调性

一、基礎知识

1.利用导数求含参数函数单调区间的步骤。利用导数已知函数单调区间的

大致步骤可应用到求含参数函数的单调区间。即（1）确定定义域，（2）求出导数，（3）令（或），解出相应的的范围，（4）当时，在相应区间上是增加的，当时，在相应区间上是减少的。

2.求含参数函数单调区间的实质是解含参不等式，而定义域有限制时有时会化简含参不等式的求解。

3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，从而简化讨论的不等式。

（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果，所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得，但第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果。显然是负数时，不等式恒成立。而是正数时，需要求对应方程的根，进而写出解集，分类讨论由此开始。简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。

（2）分界点的确定：要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类。

（3）当参数扮演多个角色时，则其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进一步的分类。

二、分类讨论研究含参数函数的单调性的归类

（一）依据一次型函数的系数分类讨论

方法点津如果导函数解析式中的二次三项式中一次项系数含有参数，则需要讨论图像的对称轴的位置和方程的根是否在定义域内。

三、总结

通过前面的研究，可以归纳出求含参数的函数的单调区间的基本步骤如下

1.先求函数的定义域;

2.求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）;

3.确定分类标准，正确进行合理分类;

4.对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果。先讨论只有一种单调区间的情况（导数同号的），再讨论有增有减的情况（导数有正有负，以其零点分界），注意函数的断点;

5.进行归纳总结，综合得出结论。