数学探究活动自主度水平体系的构建及应用策略

顿继安， 孙 芳， 刘 杰

(1.北京教育学院 数学与科学教育学院， 北京 100044；2.中国人民大学附属中学， 北京 100086；3.北京市第十四中学，北京 100055)

一、问题的提出

21世纪初我国颁布的《全日制义务教育阶段数学课程标准(实验稿)》和《普通高中数学课程标准(实验稿)》均提出，一些数学知识需要学生自主探索，这一要求一直延续至今，也得到了一线教师的认同和积极实践。当今数学课堂上的探究已不能用二元对立的“有”和“无”来界定，课堂间的差异主要表现在自主探究程度的不同，包括两个既独立又互相影响的方面：一是探究程度即所探究的问题的深度，二是学生在探究中的自主程度。一种比较普遍的现象是：教师设计了有挑战性的探究任务，即较高探究程度的问题，但学生却未能获得合适的自主程度。

(一)数学探究活动自主度问题亟待关注

郑毓信教授在课改早期就发现数学课堂中“学生只能获得‘大框架下的小自由’，教学往往未能给学生留下主动创造的自由空间。”[1]此后，高文君等的调查也得到了类似的结论:“引导式探究”是我国中学数学课堂采用的主要方式，即通过师问生答的形式，在教师的一步步引导下，师生一起对问题进行分析、提出解决方法、实施方案，一起对解决的情况进行评价和小结。该研究还发现，学生希望有更高的探究水平、更多的自主空间。[2]曹一鸣等的实证研究也表明，尽管围绕“解决数学问题”展开自主探究已经成为当前我国中学数学课堂教学的普遍特点，但课堂中学生提出的问题数量少、认知水平不高，而解决数学问题采用最广泛的模式为“提出问题—(师生共同)讨论解法”。这种模式满足了大容量课堂中学生在短时间内获得知识的需求，但缺点在于要求学生与教师的步调一致，限制了学生的思维，其实质仍然是学生未获得与其自身水平相应的自主程度。[3]

由于受时空限制，数学教学中一个完整的数学探究过程很难完全由学生独立完成，教师控制探究过程是必要的。好的教学在于找到教师控制和学生自主间的平衡点，即为学生提供合适的“自主度”。所谓“自主度”，是指学生在探究活动中的自主程度，自主度越高意味着探究活动中学生的独立思考越多，教师的控制和指导越少。自主度不适当的探究活动会产生两种极端表现：一是探究任务的挑战性远大于学生自主完成的能力，在学生陷入困境时教师处理不当就会带来学习的低效。二是以教师之脑指挥学生之手的“伪探究”，这样的探究过程表面很顺利，甚至一些重要的结论也是学生说出的，但学生从事的只是机械操作性活动，他们对于一个复杂的问题如何转化为若干个简单问题而得以解决的机理不明就里，这样的学习过程属于“机械式发现学习”，同样需要在教学中避免。

(二)刻画数学探究活动自主度的工具存在不足

已有关于探究度的研究，其实质都是在探讨自主度。最早的探究度研究始自20世纪中期的科学教育界，施瓦布于1962年首先将科学探究中提出问题、设计方案、得出结论三个环节为学生提供的自主探究水平进行了刻画。经过几十年的不断发展，自主探究水平体系在实践中得到了广泛的应用。[4-6]美国2000年版的《科学探究与国家科学教育标准》按照问题、证据、解释、评价和发表五个基本特征设定了量化的探究度等级。[6]我国科学教育研究者借鉴国外的研究，提出了一些与我国科学教育的现实特点更为吻合的框架。[7-8]

高文君等将科学探究水平体系引入数学教育，确定了数学探究的四要素，即提出问题、分析与假设、实施方案、评价与结论，并根据各要素的实施主体将数学课堂探究分为控制式、引导式、开放式和自主式四个自低到高的水平。[5]这种划分对于整体认识数学课堂的探究表现有一定意义，但其缺点在于，将数学探究活动各环节中师生的参与情况都看成一致的，这与实际情况不符。例如，有的教师在分析问题时有较多的引导，但在实施环节则完全放手；有的教师在一些内容学习的初期，会在分析问题的环节给学生较多自主空间，但为了让学生规范书面表达，在实施环节即书写解题步骤时则采用示范的方式。刘云等对教科书中设计的探究活动进行了研究，以这些活动由学生自主开始的起点作为刻画探究水平的依据，将探究活动分为问题起始型、证据起始型、结论起始型、论证起始型四个自高到低的水平。[9]这种划分方式对教师理解和用好教科书并设计探究活动有指导意义，但难以刻画动态课堂的情况。例如，为学生提供问题起始型探究任务未必意味着学生一定能够自主提出有意义的探究问题，教师的指导程度会影响这一环节中学生获得的实际自主性。

已有研究为数学探究自主度的刻画提供了基础，但对于解释和指导数学教学的实践均存在明显不足。本研究将构建针对我国现阶段数学教育目标和现实课堂互动环境下的自主探究度水平体系，教师据此可以拾阶而上，提升数学课堂自主探究的水平。

二、数学探究活动自主度水平体系的构建

(一)数学探究活动自主度体系的维度

“问题是数学的心脏”，“数学家存在的理由就是解决问题”[10]，数学探究的中心环节是解决问题，而围绕解决问题的过程还需要包括问题的发现与提出环节，以及解决问题后的整理、组织与反思环节。前一个环节容易理解，这里解释后一个环节的意义。数学家高斯用建筑过程比喻数学家的组织与整理工作，他说：“一座大教堂在最后的脚手架拆除和挪走之前，还算不上是一座大教堂”[11]。对于数学学习来说，解决问题的过程相当于建筑大厦的过程，其间会有大量的归纳、分析、子问题的探讨，也可能有一些偏离或者曲折，它们共同构成解决问题的脚手架。这些脚手架可能会遮蔽问题的主要脉络，影响人们对数学本质的洞察，而随后的整理、组织与反思工作就是删繁就简、削枝强干，探讨如何通过尽量少且能够反映本质的知识表达思路，再建立知识间的逻辑关系，从而让本质得以更清晰地呈现，是数学探究过程必要和重要的一环。

发现与提出问题、分析与解决问题、解决问题后的组织整理与反思这三个环节在数学教育意义下的探究过程中的地位不同。其中，尽管“发现与提出问题”在当今数学课程中得到了重视，但这种重视主要是相对传统数学教育意义的缺失而言的，中学数学教学现实中以“解决现成的问题”为主要内容的探究活动无疑占比最大，因此，需要细化这类问题的探究过程。

波利亚将数学解题过程分为四个阶段：理解题目、拟订方案、实施方案、回顾与反思，这一理论被广泛认可，有“探索法小词典”之称。[12]这四个阶段实质就是指向“解决现成问题”的探究活动的环节，而其中的“回顾与反思”即为前述“解决问题后的整理、组织与反思”。面对现成的问题，“理解题目”是重要的一环，一些教师遇到新颖而有挑战性的问题时会先充分解读题目，这样做帮助学生扫清了障碍，但也剥夺了学生自主将新问题、新概念与自己熟悉的问题和概念建立联系的机会。因此，需要将之单独作为始于现成数学问题的探究活动的一个环节，以提醒教师考虑将这一环节的工作留给学生自主完成。拟订方案与实施方案是对分析与解决问题活动的分解，前者旨在形成解决问题的思路，后者是解决问题方案的实施、得到结果。

据此，本研究从教学的角度确定了数学探究活动的三个阶段：发现与提出问题，分析与解决问题，解决问题后的整理、组织与反思。其中第二个阶段包括解决问题思路的形成、解决问题方案的实施两个基本环节，一些始于现成问题的探究活动则需要增加“理解题目”这一环。

(二)数学探究活动自主度水平的划分

学生在数学探究活动每个环节的自主度水平的高低可以分为四级，最低等级记为I级，教学中表现为学生完全没有自主性，即教学过程完全由教师控制；最高等级则表现为完全由学生自主完成探究，记为IV级；II、III级介于I级和IV级之间。按照教师对学生指导和帮助程度的大小区分，师生在各个环节各个等级中的表现如表1所示。

表1 数学探究活动中学生自主度水平等级体系

表1描述了数学探究活动中各个维度学生获得的自主程度的几种典型情况，而真实的课堂中许多活动为学生提供的自主程度会处于某两个水平之间。需要特别说明的是，在纯粹通过教师讲授和演示为途径的教学过程中，学生的自主探究度为最低等级。这种教学方法在数学教学中是必要的，好的讲授对学生系统、深刻地理解数学有时候是其他教学方法不能替代的，但是讲授法的好坏有自身的标准，对此本研究不做探讨。本研究主要是探讨指向数学活动为学生提供的自主性程度的情况，旨在为数学探究活动的优化提供依据。

三、数学探究活动自主度水平体系的应用策略

数学探究活动的自主度水平体系对探究的各个维度做了等级的划分，提供了一个基于学生自主探究的数学教学设计或改进的框架，教师可以根据学生、教学目标以及自己所能够驾驭课堂的实际情况，组织适合的探究活动，给予学生适当的指导。

(一)整体把握并恰当选择探究环节

完整探究过程的每个环节都让学生自主完成既不现实也无必要，有意义而务实的选择是确定一些重要的环节组织学生探究。数学探究活动自主度水平体系的构建考虑了我国中小学数学教学的实际，可以帮助教师在整体把握数学探究活动的基础上作出决策：选择哪些环节留给学生自主探究，以更好地发挥教学内容的教育价值。

以近年中高考中经常以“压轴题”形象出现的新定义问题为例。一些教师在处理这类题目时，先对题目中给出的新概念进行充分解读，然后再让学生解决问题，这相当于在“理解题目”环节给学生较低的自主性。这种做法并不恰当，因为这类题目考查的内容之一就是学生独立理解新概念的能力，教师需要帮助学生学会借助题目中简单的判断题形成对抽象概念的直观感性认识，进而将简单的特殊例子推广到一般情况。而教师在这一环节的高度控制未能考虑这类题目对于培养学生这类能力的机会，导致学生在考试中表现出“不能理解题目中各问之间的逻辑关系”，“缺少主动推广的意识，导致后续解答困难”[13]。为此，教师需要在“理解题意”环节提升学生的自主性，通过了解学生自主理解题意中遇到的困难，帮助学生形成理解新概念的策略。

在不需要开放探究活动的地方开放探究同样不妥。例如，一些超越学生思维能力的探究活动并无意义。以“勾股定理”为例。由于课程标准提出了“探索勾股定理”的要求，教师一般会在此组织探究活动。然而，有的教师设计了“发现直角三角形的三边关系”自主探究活动，但由于这一发现挑战巨大，教师又不得不高度控制探究过程：给学生一些特定的直角三角形，请学生测量三条边的长后，观察三边及三边平方的关系。学生在这样的活动中自主度很低：当直角三角形三条边的平方被分别测算出来后，两直角边的平方和等于斜边的平方这一关系也就很容易被看出来。可以说，从探讨三条边的关系到探讨三条边的平方关系的转化并非学生思维的产物，而是“像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外”[14]。与其将探究重点放在这一环节，不如在“勾股定理的证明思路形成”环节为学生提供更多的自主性。

(二)优化探究任务

明确了重点探究环节后，教师可根据表1中自主度水平等级的描述设计适当的活动，让自主探究真实发生。

仍以“勾股定理”教学为例。在“勾股定理的证明思路形成”这一环节，有的教师在教学中直接为学生提供了四个全等的直角三角形纸片，让学生动手拼正方形。当学生拼接出如图1所示的各种情形，教师让学生将大正方形的面积用直角三角形的边表示，通过化简就证明了勾股定理。

图1

图2

但是，为什么选择四个直角三角形拼接、为什么用直角三角形的边表示正方形的面积等关键问题，并非学生自主获得，学生的操作之手是由教师的思维控制的。这种教学就是典型的“机械式探究”或者说是“伪探究”。

可以改进这个环节的自主度水平：从探究度IV级的活动开始，尝试“让学生独立地分析问题、形成解决问题的思路”。实践研究表明，在证明勾股定理的任务明确后，如果教师不规定学生必须借助现成的直角三角形纸片，在水平IV上开展自主探究的学生的方法和思路更为开放和多样：有学生选择用两个直角三角形，通过构造图2所示的图形而得到勾股定理；图1所示的方法也由学生自主建立了与已有知识的实质性联系：“看到平方和就想到了完全平方和，于是就画出了这个图〔图1(1)〕”，“我从c2想到构造正方形，就得到了这个图〔图1(2)〕，然后看到里面的小正方形中还有一个(a-b)2，一整理就得到了勾股定理”[15]。

(三)渐进式调整探究活动的自主度

设计了自主度高的活动，未必意味着学生一定能够自主探究成功，教师需要根据学生的具体表现做出响应。有的教师发现学生遇到困难，就直接给出答案或生硬地将学生往既定的思路引导，但是成功的思路与学生已有探索的关系未得到揭示，学生即使明白了教师所讲的，也会困顿于“我为什么想不到”“我的想法到底有什么问题”。这样的教学过程并未帮助学生突破真正的难点，会使得教师的教与学生的学“擦肩而过”[16]。

用自主度水平等级的递进性解释，教与学“擦肩而过”源于教师将一个自主度为IV级的活动直接降为I级或II级，相当于简单判定学生为“会或不会”，对应的教学策略则为“会则自己完成，不会则听教师告之”。但实际上，学生更有可能处于“有些想法，也有些进展，也有些困难”的状态，因此，教师需要渐进式调整自主度，即将探究活动的自主度从IV级降为III级。对应的教学对策是：让学生展示出自己的思考过程，用启发法帮助学生突破难点。启发法与自主探究、发现学习紧密相关，该方法的使用以学生展示、了解自己的思维过程为组成部分，而展示的过程也是推动学生发展的过程，如布鲁纳所说：“‘发现教学’所包含的，与其说是引导学生去发现‘那里发生’的事情的过程，不如说是他们发现他们自己头脑里的想法的过程”[17]。当学生隐藏在头脑中的想法被展示出来、成为明确的可以分析的对象时，突破难点的新思路就可能产生了。

例如，一位教师设计了基于学生自主探究而得到一元二次方程的解法的方案，首先让学生自主解决如下四个一元二次方程：

(1)x2-4=0 (2)4x2+3x=0

(3)x2-4x-12=0 (4)5x2+3x-2=0

前两个方程学生普遍很顺利地解决了，但许多学生在后两个方程的解决过程中遇到了困难。其中方程(3)的典型做法是先将之变形为x2-4x=12，再变为x(x-4)=12，就陷入了困难。教师与一位学生通过4个问题开展了对话：

师(问题1)：你是怎么想到这样做的？

生：我解第二个方程4x2+3x=0时，将等号左边分解得到x(4x+3)=0，就解出来了，这道题我觉得12移到等号右边后，左边也能分解，但是发现做不下去了。

师(问题2)：为什么做不下去了？

生：不知道12分成两个数相乘。

师(问题3)：为什么第二个题一分解就可以做了呢？这道题哪里不同呢？

生：第二题右边的0可以分成0乘以任何一个数。

师(问题4)：那你思考下因式分解的方法可以解什么样的方程？对这道题有何启发？

生：右边也得为0，哦，这道题不应该移项，直接分解就可以了。

这里的4个问题让教师了解到学生想法的同时，也对学生进行了启发，使他们觉察到了自己想法的来源、经验的意义、新问题与经验的差距，并找到了新的、成功的方法。

四、结 语

探究并非数学教学中唯一的方式，有时候也不是最佳的方式，判断教学好坏的主要标准在于是否引发了有意义的学习，即建立新知识和已有知识间的实质性的联系。正如奥苏伯尔指出：“无论是接受学习还是发现学习，都有可能是机械的，也都有可能是有意义的。如果教师讲授教学得法，并非一定会导致机械学习；同样，发现学习也并不一定是保证学生有意义学习的灵丹妙药。”[18]如果教师给了学生探究的机会，却采取高度控制的方式，学生将只能做一些低级思维含量的操作性活动；而自主度适当的活动会让学生更为主动地调动头脑中的知识和经验，建立知识间的联系，实现有意义学习，涵育核心素养。

好的数学探究除了与自主度有关外，还与所探究问题的深度与广度有关，本文并未专门讨论如何设计好的数学探究问题。然而，从教学实践看，探究空间狭小主要表现为教师引导和控制过多,而教师的引导通常是通过将一个复杂而有挑战性的问题分解、转化为若干简单而容易解答的问题进行。这些简单问题学生解答起来毫不费力，但至关重要的“分解和转化”活动却并未给学生自主性。因此，自主性与问题的设计紧密相关，本研究建构的自主度水平体系亦可作为审视探究问题设计是否合理的参考。