三重积分的广义球坐标变换及其实例

王文轩 李军燕

摘要：本文在已有的定积分还原法的理论基础上，引入三重积分换元法并利用三重积分换元法，得到了三维广义球坐标计算三重积分以及简单推广到四维球体。

关键词：定积分;三重积分;换元法

中图分类号：O172

1.引言

众所周知，不定积分和定积分的换元法是高等数学的重点和难点，它是由链式法则和微积分基本定理推导而来，可以通过引进中间变量使原式简易，从而求得较复杂的不定积分和定积分，文献[1-4]对此有较详细的探讨。

以由定积分的换元积分法为基础，我们可以想到二重积分，三重积分以及n重积分是否同样有着换元积分法呢？ 事实上，我们已知的二重积分由极坐标变换，三重积分有柱坐標变换和球坐标变换，而这些变换即为特殊的重积分换元法。

本文受已有的重积分换元法和文献[5，6]的启发，引入三重积分换元法，并利用三重积分换元法定理得到三维广义球坐标换元法，同时结合实例给出验证。

引理1 设变换把空间的区域一对一映成空间中的区域，并设函数及它们的一阶偏导数在内连续且雅克比行别式：

3. 推广与应用

根据上述理论和已有的知识，不难找出维球坐标的变换，同时引理1中换元法不仅适合于球坐标，更适合于以下两种情况：①被积函数不易积分;②积分区域难以表示，而三重积分换元法如何适用于更一般的坐标变换，将是我们下一步的研究方向。

参考文献：

[1]张启峰.由重积分的坐标变换透视微元法[J].高等数学研究，2020，23（02）：52-55.

[2]秦国红.不定积分中第二类换元积分法的一类常见问题解析[J].课程教育研究，2019（46）：256.

[3]赵轩.换元法在高等数学解题中的应用[J].海峡科技与产业，2019（06）：145-146.

[4]周双.浅谈不定积分的第一类换元法[J].数学学习与研究，2019（06）：18.

[5]徐晨.多重积分换元法[J].高等数学研究，2018，21（02）：15-16+25.

[6]黄昌盛.三重积分的换元法的应用[J].科教导刊（中旬刊），2019（29）：67-68.

1.四川大学锦城学院 计算机与软件学院

2.四川大学锦城学院 通识教育学院 四川 成都 611731