消能减震建筑结构模态参数识别的贝叶斯方法

杨朋超 薛松涛 谢丽宇

摘要： 为研究消能减震建筑结构中阻尼器的附加阻尼和刚度贡献，建议一种基于贝叶斯统计推断的模态参数识别方法，可用于定量估计阻尼器对结构模态参数的影响，包括阻尼比、频率和振型，以及参数的估计不确定性。为精确建立模态参数与质量和刚度矩阵的函数关系，采用直接模型修正技术进行模型参数化建模，利用模态参数以解析方式重构结构质量、刚度和阻尼矩阵。考虑模型误差和量测误差对模态参数估计的影响，采用基于随机模拟的贝叶斯方法量化模态参数估计不确定性。以一栋油阻尼器钢框结构为例，利用结构的地震动监测数据，采用建议方法分别识别主体和整体结构的模态参数，定量估计了油阻尼器的附加阻尼和刚度贡献，验证了方法的有效性。

关键词： 消能减震结构; 模态参数识别; 油阻尼器; 地震动数据; 贝叶斯方法

引  言

消能减震技术通过在结构中增设阻尼器，如黏滞、黏弹及摩擦阻尼器，显著增强结构在地震作用下的耗能能力，进而减弱结构地震响应、减小结构损伤，是一类较成熟的结构被动控制方法。消能减震技术已经受住了实际大地震的考验，在新建结构性能设计和既有结构加固改造等方面具有良好的应用前景，已在土木工程领域获得了深入的理论和应用研究[1?5]。

在消能减震结构的设计和性能评估中，需要准确定量估计阻尼器附加给结构的阻尼和刚度，通常以对结构模态参数的影响为量化指标，如有效或等效阻尼比[6?7]。针对有效阻尼比估计问题，诸多文献提出了不同的近似估计方法[8?12]，但均需引入简化分析假设，如应变能方法需假设结构和阻尼器处于简谐运动状态，且上述方法通常需要借助于结构有限元模型或其模态参数，计算结果为确定性且唯一。

在工程实践中，由于结构的复杂性和施工误差的不确定性，消能减震结构的设计和性能评估是依据可靠度理论展开的[6?7]，设计和评估结果通常偏于保守，且存在很强的不确定性。对于实际消能减震结构，依据结构设计详细（图纸）建立的初始有限元模型通常存在不可忽略的模型误差。这一误差来源于多方面，如材料参数、几何尺寸及边界条件的不确定性，以及建模简化假设的引入。这些误差导致初始有限元模型不能准确代表结构实体[13?14]，造成不准确的结构和阻尼器响应预测，影响实际消能减震结构性能评估的准确性。

本文研究了一栋油阻尼器建筑结构的附加阻尼和刚度评估问题，采用贝叶斯概率推断方法定量估计油阻尼器对结构模态参数的影响，包括频率、阻尼比和振型，以及由模型误差和量测误差导致的参数估计不确定性。首先，详细介绍模型参数识别的贝叶斯概率推断方法[15?17]，引入一种基于随机模拟的参数后验概率分布估计方法，量化参数的估计不确定性。其次，引入直接模型修正技术[13，18]建立模态参数与结构质量、刚度和阻尼矩阵的函数关系，解决基于贝叶斯概率的模型参数化建模关键问题。最后，以一组地震动监测数据为例，采用建议方法量化估计油阻尼器对结构模态参数的影响，验证模态参数估计的准确性和方法的有效性。

1 基于贝叶斯推断的模型参数识别

不失一般性，假设消能减震结构的主体结构为线弹性，在地震激励作用下其运动控制方程可描述为

式中  ，和分别为主体结构的质量、刚度和阻尼矩阵，n为自由度个数;为待识别的模型参数向量，文中取低阶模态参数，包括频率、阻尼比和振型，m为待识别模态参数的数量;为与阻尼器阻尼力相关的恢复力向量，通常与结构位移和速度相关连;为单位列向量，为模型激励，文中取结构底层加速度量测数据。

1.1 贝叶斯概率推断

获取了结构的实际监测数据D，如结构的地震加速度数据，可利用贝叶斯统计推断方法修正结构初始模型，即推断未知的模型参数，这一推断过程可由经典的贝叶斯定理表达

似然函数在刻画后验概率分布中占据核心位置，常由误差模型决定。误差模型描述结构响应的模型预测值与实际量测值之间的差异，在工程实践中，这一差异实质由模型自身的预测误差和量测噪声两部分组成。基于最大熵原理，利用无偏估计及有限方差约束，最优误差模型为均值为零的高斯白噪声[14?16]。具体地，假定Q和分别为模型预测响应和实际量测响应，模型误差e为

对于时域模型修正问题，即模型预测需求动力时程分析，参数后验概率分布不可解析，仅能利用数值方法近似估计，如Laplace方法[15]和马尔可夫蒙特卡洛方法（MCMC）。Laplace方法假设后验概率分布为高斯分布，需要利用优化算法搜寻参数的最大后验估计值，不适用于复杂后验概率分布。MCMC则是一类一般性的随机模拟方法，无需分布假设，可生成渐进服从后验概率分布的随机样本，在实际的工程应用中获得广泛关注和研究。本文选取渐变马科夫蒙特卡洛算法（TMCMC）[17]估计参数的后验概率分布，该算法是一种改进的MCMC，适用于复杂后验概率分布的抽样问题，如分布呈尖峰、多峰和流形等形态，且抽样效率高效、具备并行运算等优势。

1.2 渐变马尔科夫蒙特卡洛

TMCMC实质是一种序列蒙特卡洛算法，针对复杂后验概率分布抽样困难的问题，该方法利用模拟退火构造了一个渐变概率分布序列

式中  αi为退火系数，。αi由0逐步增大到1，該渐变概率分布由先验概率分布逐步过渡到后验概率分布。基于渐变概率分布序列，TMCMC引入序列抽样方式，从简单易抽样的先验概率分布开始，结合重采样技术和逐步修正随机样本，生成渐变概率分布和目标后验概率分布的随机样本。

具体抽样步骤如下：

（1）先验概率分布随机抽样，获得样本}，其中，N为样本数量，本文通过考察样本数量对参数估计的影响，依据估计结果确定N的取值。

2 基于模态参数的模型参数化建模

考虑到以模态参数为待识别量，借助经典的直接模型修正技术实现模型参数化建模，即，确定M（θ），K（θ）和C（θ）与模态参数的具体函数关系。首先，采用Berman?Nagy方法[18]重构质量和刚度矩阵，该方法依据给定的目标模态参数，包括频率和振型，利用约束最小化原理，给出的最优质量矩阵和刚度矩阵的表达为：

3 实际消能减震结构应用研究

研究对象为一栋油阻尼器钢框架建筑结构，如图1所示。该建筑位于日本宫城县仙台市东北工业大学校园内，长48 m，宽9.6 m，高34.2 m，地下1层为钢筋混凝土结构，地上8层为混凝土预制楼板钢框架结构，其中，结构第1层和第2层合并为一公共空间，文中称为第1层。为提高结构的抗震性能，沿结构楼层及长短边方向均匀布置了共计56组油阻尼器，图2为油阻尼器在结构中的布置图，阻尼器固定在楼板上，通过V型支撑与临近楼板连接，如图3所示。

为研究结构和油阻尼器在地震中的实际工作性能，结构中装配了健康监测系统：（a）在结构第1，4，8层中布置了双向加速度计，如图2所示，采集监测楼层沿结构长边和短边方向的地震加速度响应数据;（b）在结构第1层和第8层中沿结构长边和短边方向，选取了共4组油阻尼器，安装了力和位移传感器，采集油阻尼器的力和位移响应数据。图4给出了1组实测的楼层加速度响应数据（结构长边方向）及其傅里叶幅值谱。该组数据采集于2005年8月16日发生的一次矩震级为7.2级的大地震，以该组地震动数据为例，采用建议方法量化研究油阻尼器对结构模态参数的影响，验证该方法的有效性。

图5为利用SAP2000结构分析软件建立的结构初始有限元模型[19]，该模型的材料和构件参数严格依照结构设计图纸和日本钢结构设计规范[20]创建完成。采用框架单元模拟梁、柱及阻尼器钢支撑，连接方式为刚接，采用壳单元模拟混凝土预制楼板，单元的几何尺寸取设计值，材料参数取设计值。

考虑到识别对象为结构系统层次模态参数，且结构量测数据仅包含楼层的平动响应信息，首先，将初始有限元处理为平面框架模型，即保留模型的平动模态;其次，引入结构动力学中对建筑类型结构的常用简化分析设定[21?22]：不考虑模型竖向变形，保留节点的同平面转动和平动自由度。简化后的有限元模型仅包含7个自由度（对应结构楼板总数），准确保留了原模型的主要低阶模态信息，例如，原有限元模型前3阶频率（长边方向）分别为：0.862，2.506和4.565 Hz，而简化模型前3阶频率为：0.864，2.504和4.569 Hz。简化模型自由度个数较少、计算高效，便于利用贝叶斯方法识别结构模态参数。

值得指出的是，建议模型修正方法可精确匹配目标模态参数，且不受初始有限元模型的自身模型误差的影响[13?18]。为说明该修正方法的这一特性，分别取简化模型和结构的“剪切型”模型为待修正模型，后者可从原有限元模型中简化获得，剪切型模型的前3阶频率为：1.258，4.23和7.680 Hz。取目标频率为原有限元模型前3阶频率，目标振型取简化模型的前3阶振型，采用式（10）和（11）修正简化模型和剪切模型的质量和刚度矩阵。修正简化模型的前3阶频率计算结果为：0.862，2.506和4.565 Hz;修正剪切型模型计算结果为：0.862，2.506和4.565 Hz。修正模型具有相同的频率，验证了建议模型修正方法精确匹配目标模态参数的特性。

取楼层加速度监测数据用于结构模态参数识别，取第1层底部加速度数据为模型激励，第4层和第8层加速度数据为目标拟合数据，假定模型的初始状态为静止。考察结构在强震阶段的动力学行为，截取15?50 s的加速度输出数据（重采样率为40 Hz）用于结构模态参数识别。

由图4（b）加速度傅里叶幅值谱可以看出：结构前两阶模态响应占据主导，第3阶模态响应较弱，其他高阶模态不明显，故取结构的前3阶模态参数为识别对象。考虑到结构楼层监测数据的不完整，待识别参数设定为：频率、阻尼比及振型参数比，其中，振型参数比与监测楼层（第8层与第4层楼板）相对应。假设模态参数的先验概率分布相互独立、均服从均匀分布[15?17]，并依据初始有限元模型的模态信息，确定参数分布的上下界，表1给出了模态参数的先验概率分布。此外，假设模型误差e相互独立[15?17]，其方差参数也服从均匀分布，即，i=2，6，其中，为加速度数据（15?50 s）的方差值。

考虑到结构质量和刚度矩阵的重构需要完整的低阶振型，利用振型比参数（）和振型扩阶技术获取完整振型，即获取未监测楼层的振型，计算过程如下：首先，利用获取量测振型，即采用下式进行标准化

基于上述对频率、阻尼比和扩阶振型的取值设定，采用式（10），（11）和（13）重构结构质量、刚度和阻尼矩阵。此外，考虑到高阶模态对结构响应可忽略，取高阶模态阻尼比均为0.1，以经典的Maxwell模型模拟油阻尼器，模型参数取值为基于实际监测数据的识别值，如表2所示。其中，结构第1层油阻尼器取Model I，其余楼层油阻尼器取Model Ⅱ。

首先，利用加速度输监测数据识别主体结构的模态参数。据式（2）参数后验概率分布描述，利用TMCMC算法对主体模态参数进行随机抽样，量化参数的估计不确定性。

考察样本数量N对模态参数识别结果的影响，N分别选取为200，400，600，800和1000共计5种工况，采用TMCMC算法對参数后验概率分布进行随机抽样。图6给出了模态参数均值和均值加减两倍标准差估计值随抽样数量变化的趋势，包括前三阶频率和阻尼比。由图6计算结果可知：前两阶频率的均值估计较稳定，第3阶频率的均值估计随抽样数量增加逐步收敛;阻尼比的均值估计具有相似规律，第2阶和第3阶阻尼比的标准差估计值较大。

由上述分析可知，随机抽样数量越多，模态参数估计越准确，1000个随机抽样数量足够准确描述参数后验概率分布，这与文献[17]的研究结果一致，以下分析均取N=1000。

图7给出了主体结构模态参数后验概率分布的样本分布图和统计直方图，不难发现后验概率分布近似呈单峰对称状，与高斯分布相近。表3给出了模态参数的均值和标准差估计值。图8给出了基于后验随机样本的扩阶振型与初始有限元模型的振型对比，包括其均值和均值加减两倍标准差的估计值。

由表3和图8计算结果可知：模态参数估计的标准差随着模态阶次升高而逐步增大，前两阶模态参数的估计（识别）较为可靠，第3阶模态参数的估计存在较强不确定性，特别是阻尼比和扩阶振型。这是因为结构模态响应的信噪比随模态阶次升高而逐步增大，高信噪比造成参数识别困难。

此外，值得指出的是，模态参数估计的不确定性间接反应参数对结构响应的重要性（或结构响应对模态参数的敏感性）。具体地，对于同一阶模态参数，频率估计的不确定性较小，代表结构响应对频率更为敏感：阻尼比和振型估计不确定性相对较强，意味着结构响应对这些参数的变化迟钝、不敏感。

为验证建议模型修正方法的有效性，取与模态参数均值估计对应的修正模型预测结构响应。图9给出了修正模型预测的结构强震阶段响应（15?50 s），包括楼层加速度和油阻尼器阻尼力时程响应。由图9计算结果可知修正模型预测响应精确拟合实际监测数据，说明了建议模型修正方法的有效性，也表明了主体结构模态参数估计的准确性。

此外，考察振型修正的必要性，取初始有限元模型的计算振型替代扩阶振型，修正主体结构的频率和阻尼比参数，采用渐变马尔柯夫蒙特卡洛算法估计参数的后验概率分布。表4给出了频率和阻尼比的均值和标准差估计值。对比表3计算结果，频率的均值和标准差估计值相同，阻尼比均值的估计值存在显著不同，表4计算结果大于表3计算结果，说明了振型误差（如图8所示）会显著降低阻尼比估计的精度。

表5给出了修正有限元模型预测的结构楼层加速度和油阻尼器阻尼力的标准均方差值。对比采用表3和表4修正有限元模型的预测精度，振型误差显著降低阻尼器阻尼力的预测精度。综上所述，初始有限元模型的振型误差显著降低阻尼比估计精度和修正模型的预测精度，有必要修正有限元模型的振型。

最后，研究油阻尼器附加给结构的阻尼和刚度贡献，采用建议模型修正方法识别整体结构的模态参数，并与主体结构模态参数对比，量化阻尼器对结构模态参数的影响。结构运动控制方程式（1）将不包含与油阻尼器相关的恢复力，M（θ），K（θ）和C（θ）将代表整体结构的质量、刚度和阻尼矩阵。

图10给出了整体结构模态参数的后验概率分布随机样本，与图7结果类似，整体结构模态参数的后验概率分布与高斯分布相近。表6给出了整体结构模态参数的均值和标准差估计值。对比表3结果，整体和主体结构模态参数估计值不同，特别是前两阶阻尼比，表明油阻尼器对结构阻尼贡献较为显著。

整体和主体结构模态参数的差异体现了油阻尼器对结构阻尼和刚度的影响，借鉴规范[6?7]对阻尼器附加有效阻尼的定义，本文将上述模态参数差异称为油阻尼器附加给结构的有效模态参数，即有效频率、有效阻尼比和有效振型参数比。图11和表7分别给出了有效模态参数的样本分布及均值和标准差估计值，图11所示随机样本由图10和图7随机样本一一对应相减获得。由计算结果可知：前两阶有效模态参数估计不确定性较小，估计值相对可靠，而第3阶有效模态参数的估计不确定性较强，估计（识别）值不可靠;有效频率和有效振型参数比相对较小，且其均值估计逐步趋近于零;第1阶有效阻尼比估计值接近主体结构自身阻尼比估计值，其他阶有效阻尼比估计值迅速减小，均值估计接近零，这一衰减趋势与文献[8]研究结果相似。

另外，由上述分析可知：随模态阶次升高，油阻尼器的有效模态参数贡献呈逐步减小的趋势，包括有效阻尼比、有效频率和有效振型参数比，这是因为结构的侧向刚度由高阶模态参数主导[21，24]，油阻尼器对结构的侧向刚度贡献相对较小，仅能影响结构低阶模态信息，并随模态阶次的升高，这种影响逐步减弱。

4 结  论

为研究消能减震建筑结构中阻尼器的阻尼和刚度贡献，文中提出了一种基于贝叶斯统计推断的模态参数识别方法，可用于量化研究阻尼器对结构模态参数的影响。以一实际油阻尼器钢框架结构为研究案例，采用建议方法量化研究了油阻尼器设备对结构模态参数的影响，验证了方法的有效性。案例研究结果表明：

1）建议方法可量化结构模态参数的不确定性，結构前两阶模态参数的估计不确定较小，估计（识别）值较可靠，而第3阶模态参数估计值具有较强不确定性，估计值不可靠。

2）修正模型可精确预测结构的加速度响应和油阻尼器阻尼力时程响应，表明修正模型的高预测精度，也说明模态参数识别值的准确性。

3）油阻尼器对结构模态参数影响主要体现在有效阻尼比方面，对频率和振型参数比的影响较小，且随着模态阶次的升高，有效阻尼比、有效频率和有效振型比呈逐步减小趋势，估计不确定性逐步增强。前者是由于油阻尼器对结构侧向刚度贡献较小造成，后者是因为高阶模态响应的信噪比较大造成识别不准确。

值得指出的是，受结构量测数据不完备的限制，文中仅识别了结构的低阶平动模态参数，不包含扭转模态参数，采用的是简化有限元模型预测结构响应，而非三维有限元模型。在结构中密集增设传感器可显著改善结构模态参数的可识别性，进而可利用三维有限元模型分析阻尼器对扭转模态参数的影响。

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