基于去季节波动平滑法的灰色自记忆模型在月径流预测中的应用

2021-09-08杨海燕汤静静

人民珠江 2021年9期

万阳，杨海燕，汤静静

(1.华自科技股份有限公司，湖南长沙 410000；2.四川省达州市水文水资源勘测局，四川达州 635000；3.广东省水文局清远水文分局，广东清远 511500)

径流量是重要的河流水文特征指标，准确预知径流量的多少对指导地区防汛抗旱、供水优化调度、电站节水发电有着重要作用[1]。但是，径流量受降水、气温、蒸发、流域植被、河流比降等因素综合影响，具有不确定性，随着预见期的延长，预报结果往往难以取得良好的精度，指导意义也就大为减弱。实践中常见的用于预测河川径流的预测模型有自回归模型、人工神经网络模型和灰色自记忆模型等[2-5]。目前，因年径流变化相对月径流较平稳，径流预报研究主要以年径流预报为主，其中大流域年径流相对小流域年径流平稳，径流预报研究又主要以大流域年径流预报为主。小流域地区由于缺乏长系列水文资料，年月径流量总量较小且年际变化较大，运用大部分径流预报模型开展小流域径流预报，预报结果精度较低。小流域径流预报研究困难较大，相应的研究也较少。

灰色模型研究的对象就是小样本、贫信息的不确定性系统，尤其是部分信息已知、部分信息未知的系统，能比较好解决资料短缺的问题[6-7]。为克服灰色模型对初始值的依赖性，提升灰色模型的精确性和稳定性，引入动力系统的自记忆函数，构建灰色自记忆模型[8-9]。灰色模型对数据光滑性有一定要求，比较成熟的方法有线性变换、对数变换、幂函数变换、指数平滑、三点平滑等，这些方法对提高预报精度有良好成效[10-12]。灰色自记忆模型在降雨量、地下水深、年径流量模拟和预报等[13-15]水文非线性时间序列分析方面已取得了一定成效。本文研究小流域月径流预报，针对月径流突变、不光滑、具有不确定特点，创新性引入季节指数和三点平滑法对数据进行平滑处理，运用灰色自记忆模型对月径流进行模拟和预测，取得了良好成效，为月径流预报提供一种新的解决办法。

1 建模原理

本文思路：①原始观测数据具有周期性，基于季节指数对原始观测数据进行“去季节波动”，第一次平滑数据；②优选三点平滑法对“去季节波动”原始观测数据进一步平滑处理；③运用灰色自记忆模型对平滑后数据进行模拟和预测；④数据还原对比分析。

1.1 基于季节指数的“去季节波动”法原理

原始观测数据具有季节性，可先消除其季节性。本文采用基于季节指数的“去季节波动”法，包含2个步骤：一是基于原始观测资料，采用滑动平均法计算月径流季节指数；二是基于季节指数，用月径流资料除以季节指数，从而消除月径流资料的季节波动[16]。具体方法如下。

步骤一计算时间序列滑动平均值。假设原始观测数据为n，季节周期为N，则：

x(i+N-1)]/N

(1)

式中i=1，2，3，…，n-N+1。

步骤二计算中心滑动平均CMA。

(2)

步骤三计算比例因子Ra。

(3)

步骤四将序列中相同季节的比例因子乘以100后取平均值，得到季节数。

步骤五调整计算出季节数调整比例，令其和等于12×N，得到季节指数。

步骤六用原始观测实测值除以其所在季节对应的季节指数，其值即为“去季节波动”的数据。

以上步骤计算默认N为偶数，若N为奇数，跳过步骤二。

1.2 三点平滑法原理

三点平滑法通过重新赋予待处理数据和前后数据的权值，增强待处理数据的权重，减少数据的波动性，加大待处理数据与前后数据联系的一种数据处理办法。具体步骤如下。

步骤一已知原始观测数据。

X(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(4)

步骤二两端数据平滑处理处理。

(5)

步骤三中间数据平滑处理。

k=2，3，…，n-1

(6)

1.3 灰色自记忆模型

1.3.1灰色GM(1,1)模型

GM(1,1)灰色模型是1阶、单变量的灰色预测模型。

a)假设原始建模数据。

X(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(7)

b)对X(0)进行一次累加生成1-AGO。

X(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(8)

c)生成相邻均值序列。

Z(1)=[z(1)(1)+z(1)(2)+…+z(1)(n-1)]

(9)

式中z(1)(k)=θx(1)(k)+(1-θ)x(1)(k+1)，θ一般取0.5。

d)建立白化微分方程。

(10)

式中a——发展灰数，表示预测对象的变化趋势；u——内生控制灰数。

e)对应建立离散型灰色方程。

x(0)(k)+az(1)(k)=u

(11)

(12)

式中a、u可运用最小二乘法进行求解：

(13)

1.3.2自记忆模型

将灰色GM(1,1)系统导出的微分方程作为动力方程：

dx(1)/dt=F(x,t)=-ax(1)+u

(14)

引入自记忆函数β(x)，根据文献[7]灰色自记忆推导公式，求得p阶自记忆函数预测方程为：

(15)

令：Xt=Yα+Fθ

(16)

令：M=[Y,F]，W=[α,θ]，则Xt=MW。

运用最小二乘法计算参数α、θ，公式如下：

(17)

求出矩阵W后，即可用式(15)进行预报。

2 实例应用

2.1 资料分析

炎陵县属亚热带季风湿润气候区，四季分明，日照充足，雨量集中。炎陵县最大降水年为1994年(2 248 mm)，最小降水年为1963年(970 mm)，年际差达1 278 mm。由炎陵水文站(位于湖南省株洲市炎陵县)1959—2015年月径流资料可知：月平均流量最大值为130 m3/s，最小值为5.74 m3/s，相差约23倍。月平均流量存在突变、不平滑且平均流量较小，是典型的小流域特征。

2.2 灰色自记忆模型建立

2.2.1去除季节波动

月径流存在季节性波动，周期为12个月，用基于季节指数的去季节波动法对月径流资料进行处理，见图1、2。月径流原始数据最大值与最小值比值约23倍，经过去除季节波动后，比值约15倍，波动明显变缓。

图2 去除季节波动后月径流过程线

2.2.2三点平滑处理

为了让数据更加平滑，提高灰色自记忆模型精度，为此引入三点平滑法处理数据，对突变点数据进行平滑处理，平滑前后数据对比见图3。

图3 月平均流量平滑前后对比

2.3 灰色自相关模型拟合

2.3.1求解微分动力方程

首先求解灰色GM(1,1)模型参数，求得a=-0.000 549，u=0.272 1，求得微分动力方程：F(x,t)=-0.000549xi+0.2721u。

2.3.2建立灰色自记忆模型

经过验证，选择p=10阶灰色自相关模型，经过最小二乘法计算，求得去季节波动平滑法的灰色自相关模型参数：

代入式(16)，得到灰色自相关预报模型，对1959—2010年炎陵站月径流资料进行拟合，采用后验差检验法(表1)进行检验，对比不同数据平滑方法，检验结果见表2。结果显示在炎陵水文站，运用去季节波动平滑法后进行月径流预报，模拟精度最高，平均相对误差15.39%，预报成果满足精度要求，其月径流模拟曲线见图4，月径流相对误差散点见图5。从拟合结果来看，以20%的误差作为合格标准，拟合合格率为73.5%，其中枯水期(1—4月、11—12月)平均相对误差约14%，汛期(5—10月)平均相对误差约16.7%，枯水期相对而言，预报精度较高。由于模型使用三次平滑法对月径流数据进行平滑处理，并没有对数据再次进行修正，会损失部分极值变化点的预报精度，尤其在相邻月度数据存在急剧变化的情况下，预报精度难以保证，同时由于小流域流量数据很小，最小月份流量数据仅有5.74 m3/s，有微小变动，误差就会急剧放大，从预报成果看，个别月份预报误差不满足精度要求。

表1 后验差检验法检验标准

表2 拟合结果检验统计

图4 月平均流量实测与拟合曲线对比

图5 月平均流量实测与拟合值相对误差散点

2.3.3月径流预报

将1959—2010年月径流资料建立的灰色自相关模型，预报2011—2015年月平均流量。结果显示，预报平均相对误差12.71%，以20%的误差作为合格标准，预报合格率为83.3%，其中最大误差49.45%，最小误差0.2%，月平均流量预报曲线较好的拟合实测月平均流量走势，对比见图6。

图6 月径流预报和实测对比曲线

由于数据较多，本次展示2014—2015年实测与预报对比数据，见表3。从表3可以看出，灰色自相关模型预测月径流，径流总量基本与实测值相近，除个别月份误差较大外，大部分月份预报值满足规范要求(误差小于20%)。

表3 2014—2015年月平均流量实测值与预报值统计分析

2.4 基于短缺月径流资料的预报

本次以炎陵水文站2011—2015年月径流数据为样本，以2011、2011—2012、2011—2013、2011—2014年为建模资料，统一用P=3阶灰色自记忆模型进行拟合，并分别对2012—2015、2013—2014、2014—2015、2015年数据进行预报。拟合情况检验统计和预报情况统计见表4。

从表4可以看出，有2年及以上拟合资料，用去季节波动平滑法处理月径流数据，再用3阶灰色自记忆模型进行小流域地区月径流预报，预报平均误差在20%以内，满足水文预报规范要求。