对一道2021年高考试题的解法探究

重庆市忠县中学校 (404300) 张 侣

题目(2021年高考数学全国Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析：第(1)问利用正弦定理很容易获证.针对第二问，题目中尚未给出各边长的具体数据，只根据长度比值来求角的余弦值.由于学生习惯了问题给出具体数据求值，这不免会给学生带来一定计算困难，存在思维上的障碍.在此，本文对第二问从不同角度出发，获得了a与c的其中一个关系，进而得到了几种不同的解法.

图1

图2

根据以上解法过程可知，对同一个问题从多角度、多途径去寻找解决问题的不同方法，可以开拓解题思维，也充分挖掘了该题的价值所在，同时也融合众多相关的知识与能力，真正达到思维的发散性和创新型，有利于提高学生的数学核心素养.