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从高考看高中不等式的性质证明及其解法

2021-09-05张东琪

黑龙江教育·中学 2021年8期

张东琪

摘    要:不等式的性质证明在不等式学习中至关重要。在高考中证明不等式问题,常常是与数列、三角函数、二次曲线、随机变量分布列及其分布等问题相结合。不等式是高中教学的重要组成部分,利用好不等式是高中解决问题的工具,是数学思想得以解答的关键,不等式也是进行数学计算和推理的重要手段。

关键词:不等式的概念;不等式的基本性質;证明不等式的基本方法;不等式中的数学思想

在中学基础教育阶段,不等式是一个十分重要的内容,而到了大学,有关不等式的很多知识与高等数学仍然密不可分,高中数学教材4-5关于不等式知识内容是对初中简单不等式的基础知识的完善和提升,高中不等式的知识也是打开高等数学的钥匙,因此高中数学的不等式知识就显得格外重要。通过历年高考真题,不难看出不等式已经成为高考必考的热点内容,不等式的综合运用可以检验学生的基础知识,解题技巧,还能考查学生对数学方法运用,数学思想的掌握,数学运算的方法。

一、不等式的基本性质

1.如果a>b,那么bb。

2.如果a>b,且b>c,那么a>c。

3.如果a>b,那么a+c>b+c。如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d。

4.如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac

如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd。

如果a>b>0,那么an>bn(n?缀N且n>1)。

不等式的基本性质是不等式证明的理论基础,只要能合理掌握并运用好不等式的性质,才能更加合理地解决不等式的难点证明。

二、证明不等式的基本方法

1.比较法

比较法分作差比较与作商比较。作差比较为A>B?圳A-B>0,作商比较为A>B?(B>0)

作差比较的关键是判断差的符号,操作步骤为作差、变形、判断差的符号;而作商比较的关键是判断商是否大于1,操作步骤为作商、变形、判断商与1的大小关系。

(1)作差法:a>b?圳a-b>0

例1:设a,b是非零实数,若a

证明:因a

(2)作比法:a>b

例2:已知aaabb≥abba.

证明

因为

2.三角换元法

三角换元法是解决不等式问题的常用方法,主要在于换元,将某些复杂的不等式证明简单直观化,多数可将原不等式转化成简单不等式,使得问题变得直观化、简单化。

若x2+y2=a2(a为常数)我们可设x=acosα,y=asinα.

例3:设x2+y2=r2(r为常数)

求证

则x2+y2-2xy=r2(cos2?兹+sin2?兹)-r2sin?兹cos

3.综合分析法

综合分析法是已知条件和恒成立的不等式出发,充分利用不等式的理论知识进行整理化简,从而能够得出欲求证的不等式,用好综合法的关键在于熟练掌握解题常用的不等式,如:

a2+b3+c3≥3abc(a,b,c?缀R+)

例 已知a,b,c是不全等的正数,求证

a(a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

证明:∵   b2+c2≥2bc, a>0,

∴  a(b2+c2)≥2abc    ①

同理        b(c2+a2)≥2abc    ②

c(a2+b2)≥2abc      ③

因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能取“=”号,从而①,②,③三式也不能取“=”号。

∴a(a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

4.分析法

分析法的关键思想是确立因果关系,主要方法是:先从预证明的不等式作为出发点,通过数学知识的分析和推导得出使结论成立的充分条件,也就是说要想证明一个已知不等式成立,转而去判断使这个不等式成立的另一个命题,最后,如能找到一个成立的命题,就能判定原命题成立。它和综合法恰好是互逆的过程。

这种证法,常与综合法一起运用,即先用分析法找出证题思路,再用综合法加以叙述。在书写时常用“?坩”,表示“只需”。不能用符号“?圳”,“?圯”。

例 证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大。

7.几何图形法

如果已知不等式中的复杂代数关系能用数学图形表示,就可以利用集合图形法来证明不等式。

以看出,它们是四个两点之间的距离公式。因此我们可以设点坐标为:A(0,1),B(1,1),C(0,1),D(0,0)

而已知为正方形,设点的坐标为,所以:

由三角形的性质得:

│DP│+│BP│≥│BD│,│AP│+│PC│≥│AC│

不等式中含有丰富的数学思想,对这些思想的掌握,能够有力的帮助我们解决高中不等式  的难题。

通过上述不等式的研究反映出,不等式是各个阶段都不可或缺的一部分,是解开众多数学问题的钥匙,所以要想在中考和高考中取得佳绩就必须研究好不等式的知识点,做到熟练地掌握不等式的基础知识。把握所有不等式的有关题型,尤其是不等式与其他数学思想综合在一起的数学问题,对学生的思维开拓和解题能力的提高有很大帮助。

 ■ 编辑/魏继军