预置曲率研磨盘提高行星研磨技术去除函数稳定性

海 阔，曾雪锋，李锐钢，李英杰，李龙响，张学军

（1. 中国工程物理研究院 机械制造工艺研究所，四川 绵阳 621900；2. 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033）

1 引 言

碳化硅（SiC）材料具有比刚度高、热稳定性好等一系列优秀的物理特性，是建造大口径、轻量化空间望远镜的首选镜头反射镜材料。但其高硬度、高弹性模量等性质，导致SiC 光学元件的加工难度大、效率较低，其中研磨过程材料去除量大，但精度要求很高，研磨效率对整个元件加工周期影响较大。

研磨过程中一种常用做法是采用SiC 研磨盘，添加的金刚石微粉对SiC 光学元件进行研磨。研磨盘与工件在材料去除的过程中，各自被去除的材料量基本一致，最终获得目标面形［1-4］。在该工艺过程中，数控小磨头（Computer Controlled Optical Surfacing，CCOS）研抛是一种已经验证的有效技术，但传统方法一般采用研磨盘平转动方式研磨，研磨盘上各点去除速率基本一致，该技术能够实现相对长时间研磨盘稳定形状，因此，加工去除函数稳定，是目前非球面制造商和研究所的首选方案［5-8］。

根据Preston 方程，在压力恒定的情况下，相对速度决定去除效率。但是，传统的平转动研磨盘加工是离心运动方式，过高的平转动速度严重影响设备和研磨盘稳定性，极易造成加工飞车，所以，要求平转动研磨保持在相对较低的运动速度。这导致材料去除效率相对较低，同时其原理决定了该方法的去除效率难以进一步提升。对于SiC 这种超硬材料，其加工去除效率不高［5-7］，是目前该研究领域的重要难点问题。而基于行星式运动的CCOS 技术结合公转和自转速度［9-11］，能够实现高相对速度。但高速研磨过程中的去除函数模型，及其稳定性方法还需要深入研究。该运动模式结构简单、成本较低，因此将其运用在SiC 光学材料的光学加工阶段具有巨大的潜力，该研究也具有重要的价值和意义。

相关领域学者已开展了一些研究工作：其中国防科技大学在研究行星抛光技术时，通过将研抛盘切割成三角形或正方形，使去除函数逼近脉冲函数，从而提高了对局部误差的修形能力［10］。天津大学研究了小磨头行星运动抛光时抛光垫表面的微接触机制，以此研究抛光垫形貌对材料去除特性的作用［11］。复旦大学研究了行星抛光时磨盘的压力分布，对不同曲率的工件进行接触压力分析，补偿了传统的基于Preston 方程的材料去除模型［12］。长春光机所和长春理工大学等也着重对小磨头行星运动的抛光技术进行了一定的理论研究和仿真对比［13］。但是，将该技术应用在研磨过程中的研究较少。在相对运动的研磨阶段，相互研磨的研磨盘和工件在材料去除过程中均有损耗。由于其研磨盘上各点运动速度不同，导致各点损耗不同，研磨盘形状在变化，传统的求解单一速度模型代替去除函数已经不能够得到稳定、准确的去除函数，不能够将抛光阶段的研究成果完全照搬到研磨阶段，这也是该技术在研磨阶段不能够广泛应用的原因。

本文通过深入研究行星运动加工过程研磨盘磨损函数，通过求解速度模型、压力模型，提出了利用具有一定曲率半径的研磨盘来替代传统平面研磨盘的方法。该研磨盘设计能够保证在研磨过程后能够获得稳定、高效的去除函数。最后通过利用设计好的研磨盘进行研磨实验，用来验证该方法的正确性与去除函数的稳定性，与相同速度的平转动研磨实验进行对比，验证其高效性。

2 行星运动研磨的理论模型

2.1 Preston 理论模型

针对光学表面研抛技术中材料去除率理论模型被广泛证明可以利用Preston 方程进行求解［14-15］：

式中：K为比例常数，由磨料等其它因素决定；v为表面某点的瞬时速度v=v（x，y，t）；p为研抛压力，p=p（x，y，t）。

由Preston 方程可知，在已知加工位置、研磨工具与工件的相对速度和压力的条件下，可以计算出在加工时间t内，被加工位置的材料去除量Δz（x，y）：

Preston 方程将复杂的光学加工过程简单描述成相对速度和压力对材料去除率的影响，在一定程度上被认为是准确的。因此，将除v，p之外的所有因素都归入比例常数K并保持恒定，这样Preston 方程可视为线性方程。本文基于Preston理论，下面通过分别研究速度和压力模型，研究行星运动中公转和自转的最佳速度配比，并最终获得形状较好的去除函数模型。

2.2 行星运动速度模型的选取

行星运动模式是研磨盘在平转动的同时，其本身也以恒定速度自转。研磨盘或对应工件上任一点的瞬时速度为二者速度的矢量和，如图1所示：

图1 速度合成示意图Fig. 1 The sketch of velocity synthesis

速度合成公式如下：

其中：e为偏心距oo'，单位mm；Φ为研磨盘中心相对工件转过的角度，单位°；θ为研磨盘上一点相对于研磨盘圆心转过的角度，单位°；ω1为研磨盘自转角速度，单位rad·s-1；ω0为研磨盘公转角速度，单位rad·s-1；r为研磨盘上任意点的位置距离工件中心的半径，单位mm。

定义研磨盘自转角速度ω1与磨盘公转角速度ω0之比为速度比n，n=ω1/ω0，定义偏心距e与研磨盘的半径R'之比为偏心率k，k=e/R'，本文中研磨盘口径为40 mm，即R'=20 mm。

设压力恒定，工件上任意一点瞬时速度为v（x，y），利用公式（3）进行计算，研究其对去除函数的影响。为了获得平滑的，去除率较高的去除函数，针对速度配比和偏心率进行选择与优化。

由于公转与自转合成运动的标量值依然是旋转对称的，从对称轴（即母线）上的各点相对速率可以得到如下图所示的不同条件下的去除曲线。仿真结果如图2～图3 所示：

图2 速度比－3，偏心率变化时的去除率Fig. 2 n=－3，normalized removal amount when eccentricity changes

图3 偏心率0.6，速度变化时的去除率Fig. 3 k=0.6，normalized removal amount when velocity ratio changes

图2 仿真图像通过控制速度比来对比偏心率对去除函数的影响；由此发现，当偏心率越大，M形中间凹陷半宽与深度变小，这种去除函数突变小，可以更好地避免加工结果的中高频误差。

图3 仿真图像通过控制偏心率来对比速度比去除函数的影响；由此发现，当速度比为负时，两侧去除量的一阶偏导数恒正，且中间M 形凹陷深度变小，这种去除函数有利于最大提高去除效率。

基于以上两点去除函数较好的标准，从上述两种仿真结果对比，选择速度比为－1，偏心率为0.8 进行研磨与抛光实验（图4 所示）。

图4 速度比－1，偏心率变化时的去除率Fig. 4 n=－1，normalized removal amount when eccentricity changes

2.3 行星运动压力模型

在以往的选取平面研磨盘进行的实验中，若选用上述参数来进行研磨实验，对工作状态下的研磨盘测量其瞬时压力情况，如图5 所示。加工时，工件受到研磨盘的压力，研磨盘公转和自转运动周期为0.6 s，速度运动周期为0.3 s，压力周期是速度周期的2 倍。

图5 研磨盘上压力随时间变化曲线Fig. 5 Time-dependent pressure curve on grinding head

静止时，存在4 N 的水平压力，地面倾斜会导致一部分压力的分量在水平方向上，若考虑地面倾斜导致周期变化，则倾斜角度应为8°，与实际情况显然不一致，那么还有一部分的压力分量则是研磨盘面形所引起的。

研磨盘在公转运动时存在小量倾斜，导致摩擦力做周期性变化，表现为摩擦力与压力的合力呈现正弦变化。原因主要有以下两点：

（1）研磨盘的机械结构采用万向节进行传动，传动点到底面距离大，力矩大，导致传动精度下降，从而使得研磨盘下表面压力存在周期性的变化。

（2）在研磨过程中，由于研磨盘与工件均有损耗，导致研磨盘由平面变成有曲率的球面，从而使下表面压力分布呈现非线性。

根据现有的加工理论，在去除过程中，压入的深度d为磨料直径与表面被破坏后尖端进入的深度共同作用，其公式为［16］：

其中：dw，i为磨料破坏后尖端进入工件的深度，ds为磨料未破坏前研磨盘与工件的距离，dp，i为磨料破坏后尖端进入研磨盘的距离。可把此过程近似成刚性球体和一个弹性半空间体的接触，在一个最初为平整的表面和一个半径为R的刚性球体的接触区域，压力p正相关于间距d，因此只考虑接触力与间距d的关系来进行计算。

图6 压入深度d 的示意图Fig. 6 Drawing of indentation depth d

构建研磨盘形状与运动情况图7 所示：当研磨盘静止在工件某点上时，由于下表面磨料的流动性，可以将下表面与磨料组合体看作是弹性半空间体，而研磨盘看作是一个刚性球体的表面。其中：R为研磨盘的曲率半径，l0为研磨盘球面面形的深度，a为接触区域半径。

图7 研磨盘加工工件时压力等效状态Fig. 7 Equivalent pressure state in workpiece while grinding

假设在接触区域，被加工工件与磨料组合体发生形变；根据赫兹接触理论［17］，从图7 中可以得出，接触区域半径a 和压入深度d 的关系应为：

其中，由实验得知d的大小在10 nm 量级。经分析可得：万向节传动力的作用点较高，机械传动误差导致研磨盘实际呈倾斜状态；因此，研磨盘上不同半径的点对工件的压力不同。磨料在两个表面间的形态及运动状态如图8 所示：

图8 研磨盘运动时倾斜状态Fig. 8 Tilt state of grinding head in motion

在平面支撑下，处在离心位置的研磨盘在其作用区域产生挤压，向边缘方向产生横向的形变，并对所处一侧面形形成弯曲，产生在镜体上的弹性势能。也因此，加工时研磨盘存在向外部的倾斜。

在整个加工的过程中，随着研磨盘的移动，研磨盘不断在新区域产生挤压，老区域释放变形，从而在研磨盘与所接触镜体的局部存在动能与势能的相互转换，形成振动。

由于机械传动误差使得下表面压力分布沿oo'的方向在原有基础上增加了一定的倾斜量，且随运动位置周期性变化，因此该倾斜状态可近似为Tilt（r，θ）。

因此，接触压力可修正为：

3 稳定去除函数模型

为了实现行星研磨稳定，去除函数不随加工时间变化，不仅要求设备能够维持稳定的状态，更需要加工的工具头形状是稳定的，即研磨盘上的各点在一个研磨周期内损耗量一致，研磨盘面形不随加工时间变化。

由Preston 理论和公式（2）、公式（3）得到：若要研磨盘的去除率恒定，定义研磨盘的磨损函数Q 表示研磨盘上每点在一完整运动周期内的材料损耗量，如下式：

式（13）难以定量求解，通过Wolfram Mathematica 数学软件进行定性分析：

函数Q的积分项部分的变化曲线随r 的变化是单调递增的，而压力分布项是单调递减的，即速度项积分使研磨盘的去除量随半径部分增大，而去除量增大导致压力降低，从而去除量减小，这使得磨损函数存在一种自适应的调节过程，使最终研磨盘形成一种动态平衡的面形。

在该面形条件下，研磨盘上各点的损耗量在运动周期的整数倍将保持常数，即为研磨盘各点等量磨损。此时，在对工件加工的整数倍周期，加工零件的去除函数将始终维持不变，此时的研磨盘的曲率半径为一确定值，可称之为特征曲率半径，与加工参数相关。

下面将实验参数代入对应公式，求得在该曲面研磨盘工况下的去除函数形式。

实验数据为：公转速度100 r·min-1，自转速度－100 r·min-1，压力40 N，SiC 的弹性模量E=330 GPa，压入深度［13］d的经验值为10 nm。待求解变量为a，R，l0。

磨料粒径选择14～28 μm 金刚砂颗粒。将下表面看作一段圆弧，则R与l0的关系可由下式表示：

将参数代入式子（5），式（6），式（14），并联立求解得：

用上述参数进行计算机仿真实验，模拟曲面研磨盘的去除过程，获得最终稳定的去除函数，如图9～11 所示，分别为曲面研磨盘加工过程中对工件的瞬时去除深度，最终去除函数和二维去除函数曲线：

图9 工件上瞬时的去除深度Fig. 9 Grinding depth on workpiece at instantaneous time

由于研磨盘上不同点的瞬时速度和瞬时压力不一致，所以如图9 所示，工件上不同点的瞬时去除率也不一致。但是，由于速度函数和压力函数均为周期函数，所以如图10 所示，在一个完整周期内，研磨盘上相同半径的点的加工去除率均相同，整个函数具有良好的中心对称形状。

图10 加工完整周期工件去除函数形状Fig. 10 Grinding depth function on workpiece from a complete period

如图11 所示，将完整周期内的去除函数分布沿直径进行表示，整条去除函数曲线光滑，且最大值和边缘部分的斜率接近0，中间存在三个峰值部分，三个峰值间差异小于10%，较为平缓，能近似为一种类高斯形的曲线。这样的去除函数具有较好的误差收敛能力，即能够尽快地将面形误差收敛到最小值。

图11 母线上归一化去除函数仿真曲线Fig. 11 Normalized removal function curves on busbar

4 实验与结果分析

4.1 实验装置

实验设备选择中国科学院长春光机所光学技术中心设计研发的FSGJ-1 机床，该加工机床是一台集抛光研磨与一体的五轴联动机床，如图12（a）所示。行星主轴研抛运动机构，采用双电机制动，研磨盘位置由万向节进行传动设置，如图12（b）所示，机床运动与公自转运动都由计算机集成控制。

Fig. 12 实验设备及装置照片Fig. 12 Photos of experimental equipment and devices

4.2 稳定性实验验证

选取Φ150 mm 的SiC 工件进行研磨实验，研磨盘选取Φ40 mm 口径初始面为平面和曲率高于目标面形的曲面进行两组实验，研磨每间隔一段时间检测并记录研磨盘的面形变化，用研磨盘的中心到边缘位置的矢高来表示研磨盘曲率随时间的变化关系，具体加工参数如表1 所示，每次检测后都在新的平面上进行新一轮加工。

表1 行星研磨实验参数Tab.1 Experimental parameters of planetary motion grinding

从图13 的加工结果中可以得出如下结论：在平面研磨的过程中，当初始面形曲率半径不等于特征曲率半径时，研磨盘的面形随时间发生改变，逐渐趋近于特征曲率半径，之后就不再随时间改变，证明了公式13 的理论的正确性；而具有特征曲率的研磨盘继续加工，其上各点去除量基本保持一致，如图14 所示，研磨盘面形加工前后形状变化小于1%，满足等厚去除。不失一般性地，利用特征曲率研磨盘对镜片研磨，去除函数也会是稳定的。

图13 研磨盘面形矢高随加工时间的变化Fig. 13 Surface sag varies with the processing time

图14 达到稳定面形后，加工前后研磨盘形状对比Fig. 14 After reaching the stable shape，the shape of grinding head before and after grinding is compared

4.3 去除效率对比实验

选取Φ150 mm 的SiC 工件进行研磨实验，表面初始面形为平面，PV 值为99.31 nm，RMS 值为21.63 nm，满足仿真实验所要求的初始表面面形。研磨盘口径为40 mm，初始面形是曲率半径为400 mm，矢高为25 mm 的曲面；磨料为金刚石微粉，粒径为14～28 μm。实验结果利用三坐标测量臂对面形测量，测量精度为0.001 mm。行星运动研磨与平转动研磨实验对比加工参数如表2 所示。

表2 行星研磨实验参数Tab.2 Experimental parameters of planetary motion grinding

图15 为行星运动加工后的镜片和研磨盘形状的实物图。通过检测工件去除区域内的多条母线去除深度，绘制了图16 的面形轴向函数曲线，从图中可以看出研磨区域去除函数形状较好（平滑、对称、中间具有最大去除且斜率为0）。分布图中间存在三个主峰，经分析，一方面峰值间波动区域在三坐标误差范围之内，另一方面研磨过程中磨料的非均匀分布也会导致一定程度的顶端非均匀性。综上，实验结果与图11 仿真结果中的去除函数形式基本符合，这证明了去除函数理论模型的正确性，其能够对行星运动研磨加工工艺进行指导。

图15 行星运动加工后镜片（左：加工后工件 右：研磨盘）Fig. 15 Lens after planetary motion grinding（left：workpiece after processing right：grinding head）

图16 行星运动研磨后镜片去除函数曲线Fig. 16 Lens removal function curve after planetary motion grinding

表2 所示的对比实验中，设定行星运动研磨SiC 镜片的研磨盘公转速度为100 r·min-1，速度比－1，实验结果进行计算可知。利用该磨头进行了三组定点研磨实验，其体积去除率分别为7.035，6.873，6.729 mm3·min-1，平均值为6.879 mm3·min-1，标 准 差 为0.223 mm3·min-1，最 大 误差为2.3%。基于该种研磨盘设计，证明了该曲面研磨盘的去除函数具有较好的稳定性。

在平转动研磨SiC 镜片实验中，设定研磨盘的公转速度为100 r·min-1，得到单位时间体积去除率为4.883 mm3·min-1。相比平转动小工具研磨技术，该行星运动研磨SiC 镜片加工效率提高了约40.9%，证明了该状态行星研磨技术具有一定的高效性。

5 结 论

本文基于Preston 方程对行星研磨技术进行了深入的研究。首先，通过对公转和自转的速度比与偏心率的仿真分析，选取了最佳参数（n=－1，k=0.8），然后对压力模型进行修正，使模型更加符合实际的加工情况。为了提高行星研磨技术的去除函数的稳定性，本文提出设计预置曲率的研磨盘，结合对研磨盘的加工压力模型和速度模型的计算，最终保证研磨盘各点的损耗量为定值，从而保持了去除函数的稳定性。通过实验验证了研磨盘的稳定性和高去除效率，随研磨时间的增大，研磨盘逐渐趋于一个稳定的面形，加工前后的面形误差小于1%，符合均匀去除，加工后的去除函数，面形误差小于2.3%，证明了利用这样的研磨盘进行SiC 镜片的研磨，其去除函数具有较好的稳定性，能够有效提高加工的准确度。实验结果显示，在给定参数条件下，行星研磨技术体积去除率为6.879 mm3·min-1，相比较平转动，行星运动研磨SiC 镜片加工效率提高了约40.9%。本文探究的方法也可以用于其他材料的研磨过程，具有一定的普适性和参考性。