基于深度学习的多级曲线加筋壁板布局优化设计

张坤鹏，郝鹏*，段于辉，刘大川，王博，王宇同

1 大连理工大学 工程力学系, 辽宁 大连 116024

2 大连理工大学 工业装备数字孪生辽宁省重点实验室，辽宁 大连 116024

0 引 言

加筋壁板由蒙皮和筋条组成，因其结构承载效率高且抗制造缺陷能力强，在高端装备结构中得到广泛应用[1-3]。同时，出于各种结构功能需求（如设置电线、管道等），常需在加筋薄壁结构中布置开口，这使得结构的承载效率显著降低[4-5]。因此，开口加筋壁板的承载性能优化设计在船舰研究中具有重要意义。

在加筋薄板结构中，常见的失效模式包括整体屈曲、筋条局部屈曲、蒙皮局部屈曲等[6]。开口的存在会导致结构在未达到整体屈曲极限承载状态前发生局部屈曲失效。针对承载结构开口处的集中应力会引起结构发生局部失效的现象，宋晓飞等[7]针对水下耐压圆柱开口围栏处的应力集中问题，开展了加筋肋板拓扑优化设计，优化后的设计方案有效降低了开口区域的集中应力。相较于传统的直线加筋（直筋构型），采用曲线加筋（曲筋）的薄壁结构的承载性能更强。Kapania 等[8-10]是最早提出此类设计空间更加灵活的曲筋方式，并研究了曲筋结构影响结构承载性能的关键因素。Wang 等[11]提出了一种基于多尺度建模的流线型加筋路径优化方法，结果表明，通过优化曲筋路径，可以大幅提高其抗屈曲性能。除常见的单级网格加筋结构，Hao 等[12-13]提出了层级加筋优化方法，并证明多级加筋结构相比传统单级加筋结构承载效率更高，且对缺陷的敏感程度更低，同时还提出了一种针对多级加筋结构屈曲分析的高效混合优化框架，证明了具有较强的适用性。虽然已经证明曲筋结构具有较高的结构效率，但变量数的激增为结构优化效率提出了严峻挑战。在Hao 等[12]关于加筋开口板的优化过程，以及Liu等[14]针对非均匀变截面筋条的优化过程中，都需要对结构进行上万次的有限元分析调用。此外，考虑到变量爆炸问题，Mulani 等[9]提出的曲筋布局优化框架中所允许的最大加筋数为6 条。因此，如何协调分析耗时的高精度结构设计与需要调用多次分析的优化算法之间的矛盾关系，是此类结构设计所面临的首要问题。

针对复杂结构开展优化设计时，因设计变量与结构响应之间存在高度非线性关系，很难基于理论或经验公式得到显式函数，因此，通常需要对此进行数值有限元分析。虽然利用有限元数值分析可以计算复杂的结构力学响应，但极为耗时，由此开展的优化设计低效且不经济。近些年，利用物理实验、数值模拟和生活经验等数据信息开展数据驱动优化设计[15]成为研究热点。为了降低数值计算成本，基于现有数据建立代理模型并结合演化类算法的方法受到研究者的广泛关注[16-18]。代理优化方法通常利用少量的数据构造代理模型来近似代替目标和约束函数，其中能否充分利用已有的数据构造高精度代理模型是开展优化设计的决定性因素。近年来，以深度学习为代表的数据处理技术迅速发展，为复杂工程结构的优化设计提供了新的机遇[19]，作为通用的近似函数，深度学习模型在处理高维度非线性问题中展现出了巨大的潜力。目前，深度学习模型已被广泛应用于材料、结构的建模与设计等领域[20-23]。Li 等[20-21]利用微观结构图像建立了深度学习网络，用以对结构力学性能进行预测。Sun 等[22]利用深度神经网络（deep neural network，DNN）对流体进行了模拟，其中DNN 的训练过程完全是基于偏微分方程的残差最小化原理开展，因此避免了进行昂贵的数据标记。Yao 等[23]提出一种通用的物理引导学习算法，基于物理先验知识，构建了用于预测结构力学响应的数据驱动模型。Hao等[24]通过迁移学习并结合少量含有结构响应标签的布局图像，得到了对曲筋布局响应的预测模型，并进一步利用该学习模型完成了曲筋结构的布局优化设计。

本文拟针对开口多级曲筋壁板，通过深度学习图像识别技术，构建基于图像化表征的结构特征学习模型，并开展主-次级筋条布局优化设计。首先，提出基于深度学习模型开展的结构优化框架；然后，针对开口结构设计多级加筋组合方式，提出结构特征图像化处理方法，并搭建结构特征学习的深度网络模型；接着，对比深度学习模型与传统代理模型对结构响应预测的差异性，并利用深度学习模型对开口结构的不同加筋方式进行优化；最后，对不同加筋方式的优化结果进行详细对比。

1 数据驱动的结构优化设计方法

数据驱动的结构优化设计方法根植于代理优化机制（surrogate-based optimization，SBO）。经典的代理优化机制有初始采样、构建代理模型和新样本点填充，代理模型的预测精度对最终优化效果起着决定性作用。常见的代理模型有多项式响应面模型（polynomial response surface model，RSM）与Kriging 模 型、人 工 神 经 网 络（artificial neural network，ANN）、径向基函数（radial basis function，RBF）等[25-29]。然而，复杂工程结构的优化设计往往含有众多的设计变量，传统方法针对众多设计变量构造的代理模型其精度难以保证，并且无法扩展到其他相似结构性能预测中，表现出较差的泛化能力[30]。近年来，随着卷积神经网络（convolution neural network，CNN）模型等深度学习技术的蓬勃发展，为代理优化提供了新的途径。

1.1 卷积神经网络模型

卷积神经网络（CNN）一般包含卷积层、池化层和全连接层，如图1 所示，是生物学启发人工智能中应用最为成功的案例，并且也是对经典神经网络模型的进一步扩展[31]。卷积网络中至少含有一层进行卷积运算的神经网络，卷积运算是一种数学函数运算，如式（1）所示。

图1 卷积神经网络模型结构Fig. 1 The structure of convolution neural network model

式中：a和t为运算空间中的两点；x为a的特征函数；w为t与a两点做差的距离权重函数。在卷积网络中，x是作为特征输入，w作为核函数，s作为特征映射输出。卷积运算的数学特性使得卷积网络可以很好地处理图像数据，将图像假设为一个二维数据输入，由此针对二维数据开展的卷积运算为

式中：i和j为二维空间坐标参数；(m,n)为图像在二 维 空 间 的 位 置 坐 标 点；x(m,n) 为(m,n) 位 置 处的图像特征输入函数；w(i-m,j-n)为对图像特征处理的核函数。

对于卷积网络，图片通过卷积层的仿射变化后，一般需在池化层中处理，池化过程是将临近区域的总体统计特征进行处理，例如最大池化[32]、平均池化[33]等。池化过程属于一个无限强的先验过程[31]，可极大程度地提高神经网络的统计处理效率。在卷积层和池化层之后，通常会放置几个全连接层执行高级推理。深度学习模型在训练过程中通常基于最小化损失函数原理，采用随机梯度 下 降（stochastic gradient descent, SGD）方 法对CNN 进行网络调参与优化，进而找到最优拟合参数集[34]。

1.2 数据驱动的结构优化框架

本文将基于代理优化框架的3 个基本部分来开展数据驱动的开口多级加筋壁板的优化设计，具体流程如图2 所示。

图2 数据驱动的结构优化框架Fig. 2 Data-driven structural optimization framework

优化框架的第1 步是进行初始采样。设计空间由描述结构特征的设计参数确定，因此，初始采样基于设计参数进行。在获得设计参数形式的初始样本集后，进行结构参数图像化处理以获得图像集。在对数据集进行初始采样或增加新的样本点时，需要进行有限元分析（finite element analysis，FEA）或采用其他分析方法获得结构响应，这在机器学习中称为数据标记[35]。需要说明的是，这个采样部分通常需要进行多次数值分析，是整个优化过程中最耗时的部分。

优化框架的第2 步是构建代理模型，即建立图像特征信息与结构响应标签之间的映射关系。将获得标记的图像集分为训练集和测试集，其中训练集在CNN 中经过逐层降维，随着训练步数的增加，使卷积网络逐渐获得预测结构响应的能力，另外再通过测试集筛选出预测效果最好的学习模型。

优化框架的第3 步是进行数据填充。基于第2 步训练的学习模型，结合遗传算法[36]（genetic algorithm，GA）寻找全局最优解。相比外部循环的主优化，基于代理模型的内部优化过程称为子优化，而内循环子优化的收敛准则是达到遗传优化算法中设置的最大代数，不需要补充新的数据。基于学习模型寻找全局最优解，并对该解进行有限元分析检验，然后补充到外循环的主优化中。外循环采用最小化预测值（minimize the predictor，MP）加点准则[24]，基于新形成的数据集，再次重构学习模型并完成子优化，如此循环达到外循环设置的最大加点迭代次数，优化结束。

2 开口多级加筋壁板设计及图像化处理

2.1 开口多级加筋壁板设计

针对开口结构进行加筋补强设计。受Hao 等[12]提出的层级加筋优化方法的启发，设计了多级曲线加筋结构，如图3 所示，次级加筋采取的是易于设计制造的正交网格加筋方式，主级筋条采取的是稀疏曲筋方式。相较于图3（a）所示的主级采用直筋方式，图3（b）所示的主级加筋结构采用稀疏曲筋方式蕴含了更大的设计空间。

图3 2 种多级加筋类型对比Fig. 3 Comparison of two types of hierarchical stiffeners

考虑长L=629.6 mm、高H=731.2 mm 的多级加筋结构优化算例[24]。其中直径D1=100 mm 的开口位于（-100，-100）处，直径D2=160 mm 的开口位于（-100，100）处，如图4 所示。考虑轴剪组合载荷作用[1]，即在加筋板结构的上、下边分别设置单位轴力和剪力，两侧边设置为简支边界条件。材料选用铝合金2 139，弹性模量E=72.5 GPa，泊松比υ=0.33，材料密度ρ=2.8×10-6kg/mm3。图4 中：Fx和Fy分别为x，y方向的作用力；u，v，w分别为x，y，z方向的位移。

图4 开口加筋板边界条件Fig. 4 The boundary conditions of stiffened panel with cutouts

利用二次贝塞尔曲线函数[24]对主级曲筋路径进行描述。该函数有3 个控制点，分别为起始点Ps(six,siy)、 中 点Pm(mix,miy)和 终 点Pe(eix,eiy)。曲 筋路径的函数可以被定义为：

为了保证曲筋路径完全处于设计域内，将3 个控制点分别限制在区域x∈[-0.45L, 0.45L]及y∈[-0.45H, 0.45H]内。为了对路径进行参数优化设计，根据曲筋路径函数起止点所在边，将曲筋路径函数分为6 种类型。同时，为了探究优化过程中筋条数量的影响，将不存在筋条时定为第7 种类型。7 种主级加筋类型如图5 所示，图中Ti表示加筋类型，i取值为[1, 7]。在加筋板区域内对这7 种加筋类型随机选取4 次，即主级加筋条的数量在[0，4] 内变化，以保证次级筋条单胞具有更大的设计空间。

图5 7 种主级加筋类型Fig. 5 The seven types of major stiffeners

利用子空间迭代法对开口多级加筋结构的一阶临界屈曲载荷进行求解。其中，有限元模型采用ABAQUS 软件中的S4R 壳单元，蒙皮和筋条进行捆绑约束（Tie）设置，这样的约束可以保证蒙皮和筋条相接处单元节点的移动与旋转自由度保持一致[37]，并通过网格收敛性分析，确定单元尺寸为10 mm，模型单元总数约为10 000 个。

2.2 开口多级加筋结构图像化处理

开口多级加筋壁板的设计变量包括主级筋高Hrj、主级筋厚trj、次级筋高Hrn、次级筋厚trn、次级筋条横向数目Nx和纵向数目Ny，以及4 根主级筋条的5 个参数，具体包含筋条类型Case、曲线路径的起点Ps、曲线路径的终点Pe及曲线路径中点的横、纵坐标（Pmx，Pmy），共26 个设计变量。其中，筋条类型和次级横、纵向筋数目为离散变量，筋高、筋厚及筋条布局控制位置为连续变量。主级曲筋路径在7 种路径类型中选取，由于起止点的位置不确定，故采取归一化设计变量，根据对应类型还原到实际设计域中的物理坐标，其具体变化范围如表1 中所示。

表1 多级加筋壁板的设计变量Table 1 Design variables of hierarchical stiffened panels

对于由26 个设计变量确定的多级曲筋壁板，需要对结构参数进行图像化表征。为了让二维图像可以更加真实地还原主、次级加筋及开口位置对结构性能的影响，在图像化结构特征处理中，利用RGB 三通道全彩图像中的不同通道灰度值进行了组合。采用RGB 全彩图的3 个通道分别对不同设计参数进行表征，如图6 所示，其中图像像素大小为64×64×3，每个通道的灰度值为[0，255]。将灰度值与对应的结构响应进行归一化处理，让R 通道的灰度值表示主、次级筋条高度值，G 通道的灰度值表示主、次级筋条厚度值，B 通道仅对开口在蒙皮中的相对位置进行表征，主、次级筋条的布局信息在各通道用线段表征。其中，主-次级筋条的区分主要通过对应通道中线型的粗、细来表示，主级筋条线段宽是次级筋条的3 倍。由此，开口多级加筋结构的所有结构参数均被图像化表征，在用CNN 模型对RGB 图像进行学习的过程中，会自动赋予主-次级不同图像描述特征的神经元权重，进而建立多级加筋结构性能预测模型。

图6 加筋壁板结构特征的图像化表示Fig. 6 Image representation of structural features for stiffened panels

2.3 基于卷积神经网络的结构特征模型

为了探究采用曲筋方式的开口结构的承载性能，分别对主筋为稀疏曲筋与直筋这2 种方式进行了对比。在图7 所示的4 种加筋类型中，主级直筋的起、止点及中点在一条直线上，因此直筋类型仅由2 个设计变量控制。这4 种加筋类型及设计变量分别为：由8 个设计变量控制的主级直筋布局可变多级正交加筋结构；由20 个设计变量控制的主级曲筋布局可变多级曲筋结构；由14 个设计变量控制的主、次级布局高度/厚度可变多级正交加筋结构；由26 个设计变量控制的主、次级布局高度/厚度可变多级曲线加筋结构。

对于由4 种加筋开口结构生成的图像数据集，利用CNN 模型学习结构参数与结构力学响应之间的映射关系。由于需要对三通道的全彩RGB图像进行学习，相比对灰度图像的学习网络[24]，该研究问题的非线性程度会增加，因此需要扩大CNN 的结构。在深度学习框架Tensorflow 中搭建CNN，对64×64×3 的加筋图像通过3 层卷积和3 层池化处理，实现逐层降维，最后连接3 个全连接层。其中，CNN 中的超参数设置为：卷积核大小为3×3，训练批输入大小为40，训练步数为2 000（训练过程已收敛），激活函数为Relu 函数，学习率为0.001，全连接中设置Dropout 为0.9，CNN 内部神经元参数如图7 所示。

图7 基于卷积神经网络的结构特征模型Fig. 7 The structural feature model based on CNN

3 基于深度学习的多级加筋壁板优化设计

3.1 模型预测效果对比

基于预测模型的结构优化机制，模型泛化性能至关重要。为了说明基于图像数据的CNN 学习模型的性能，选取最常见的基于结构数值数据的RBF 和Kriging 模型进行了对比。

对于由26 个设计变量确定的开口多级曲筋结构，采用拉丁超立方抽样方法均匀抽取800 组数据作为训练集，另外抽取200 个数据作为测试集，经过有限元数值分析，得到对应的临界屈曲载荷和质量。利用Matlab 平台算法工具箱建立RBF和Kriging 代理模型，另外通过Tensorflow 平台建立CNN 学习模型。选取以下指标作为模型泛化性能的评判标准。

1） 决定系数R2：

几种预测模型对结构屈曲承载力和质量的预测效果RMSE和R2如表2 所示，通过对比3 个预测模型的2 种评判标准RMSE，R2及散点图可以发现：

表2 3 种模型对结构屈曲承载力和质量的预测效果Table 2 Predictive effects of three models on structural buckling bearing capacity and mass

1） 由于设计变量到结构屈曲承载力的非线性程度明显高于质量的非线性程度，因此3 种预测模型对结构质量的预测效果比对结构承载力的预测效果好。

2） 在传统RBF 和Kriging 模型建模过程中，直接建立了设计参数到结构性能的两步映射关系，因无法识别不同层级筋条布局的组合特征，所以严重忽略了结构的特征信息。在基于图像数据的深度学习方法中，结构的特征化图像处理可以发掘出多级网格的布局信息特征，因此深度学习模型展现出了更好的泛化能力，预测效果改善了一倍左右。

针对开口多级曲筋壁板有限元分析形成的初始训练集，基于CNN 模型，其对结构承载力和质量的预测存在一定的误差，但相比传统代理模型，预测精度有大幅度的改善。为了进一步提高基于CNN 的优化设计解的可行性，结合数据驱动的优化框架，通过MP 加点准则，逐步改善CNN学习模型的局部预测精度，并对每次加入的点进行有限元检验，以削弱由学习模型预测出的虚假优化解效应。

3.2 优化设计

对上述4 种开口多级加筋结构分别进行基于CNN 的结构质量约束下的最大屈曲承载力优化设计。优化列式如下：

图8 结构屈曲响应及质量的模型R2 预测效果Fig. 8 The R2 effect of model prediction on structural buckling response and mass

式中，λ 为结构一阶临界屈曲载荷，设计变量如表1所示，约束质量M1不高于M¯（1.00 kg）。

利用CNN 对图像数据集进行训练，得到预测结构质量和屈曲承载力的学习模型，然后结合GA算法进行子优化，其中GA 优化算法采取Python中的遗传算法库Geatpy[39]，关键参数如下：种群数为200 个，遗传代数为50 代，交叉率为0.8，变异率为0.005。将子优化GA 得到的最优解进行有限元检验，并将有限元分析标记的图像扩充到初始图像集中，继续训练新的代理模型以实现循环，设置外循环加点步数为50 步。

基于深度学习的4 种开口多级加筋结构优化过程如图9 所示。在优化迭代过程中，由于CNN对结构质量预测存在误差，经对优化解进行有限元检验，会有一部分不满足质量约束的无效点。4 种开口加筋补强结构优化过程中的最优解如表3 所示。结合图9 中的最优构型及结构屈曲模态，可以发现，主级筋条为直线和曲线的加筋方式均有效避开了开口位置，保证了筋条刚度的连续，展现出了对开口结构显著的补强作用。相比直筋加筋方式，采用曲筋方式更加灵活地调整了开口处的加筋路径，使得开口结构发生整体屈曲模态，从而减弱了由开口引起的局部屈曲效应。在考虑对主级加筋布局优化的基础上，让次级布局、主次级筋高和筋厚加入数据驱动的优化框架中，建立了主-次级加筋结构的层级优化，从结果可以看出，次级筋条结构的优化进一步增强了结构的整体承载性能，有效抑制了因开口而引起的蒙皮局部屈曲。

图9 4 种开口多级加筋结构优化过程Fig. 9 Optimization process of four kinds of hierarchical stiffened structure with cutouts

表3 4 种开口多级加筋结构优化结果Table 3 Optimization results of four kinds of hierarchical stiffened structure with cutouts

4 结 论

本文针对4 种多级加筋壁板开展了优化设计。基于开口多级曲筋结构中同时存在离散和连续设计变量，并且加筋数目动态变化，传统代理优化模型的精度难以满足优化需求的问题，本文提出了基于深度学习的开口多级加筋壁板布局优化设计方法，通过对结构特征进行图像化表征处理，并利用搭建的卷积网络模型对结构响应进行学习，建立了结构特征学习模型。利用此学习模型并结合GA 算法，实现了数据驱动的多级加筋结构优化设计。主要得到以下结论：

1） 对于复杂结构的优化设计，基于结构图像识别的深度学习模型展现出了良好的适用性能，特别是在传统代理模型无法处理的加筋数目动态可变的结构布局优化设计中，建立的深度学习模型相对于传统代理模型预测精度提升了一倍。其主要原因是结构的布局图像比用数值参数表征结构特征更加充分，另外，也得益于深度学习模型具有更强的泛化能力。。

2） 在开口加筋结构最大承载性能优化过程中，相比传统直筋方式，采取曲筋方式能更加有效地缓解开口对结构承载性能的折减效应。在所建立的主-次级结构的层级优化方法中，提出的多级直筋结构相比初始结构其承载性能提升了10%；提出的多级曲筋结构对开口结构进一步补强，其承载性能提升了18%。

针对开口加筋结构的优化设计，本文所设计的多级曲筋方式可以有效地对开口结构进行补强，提出的深度学习方法对此类优化问题具有较强的适用性。对于不同工况下的结构优化问题，仅需对结构特征的图像化处理方式做适当调整，并根据研究问题的非线性程度，对CNN 学习模型参数进行调整，即可建立结构特征图像与力学响应之间的学习模型，代替预测效果较差的传统代理模型方法，完成复杂结构的优化设计。