基于置信区间的约束多精度序贯代理模型优化方法及应用

2021-08-31钱家昌程远胜张锦岚

中国舰船研究 2021年4期

钱家昌，程远胜，张锦岚

1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉 430074

2 武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉 430205

0 引言

当前，水下结构物优化设计领域大量使用耗时的数值仿真分析手段，如FEM，CFD 等。在基于耗时的数值仿真分析的水下结构物优化设计过程中，需要多次迭代调用数值仿真模型才能获得最优设计方案，导致无法满足其快速、高效的应用需求。在此背景下，代理模型应运而生，其是利用设计空间内有限样本点的输入输出数据，通过近似拟合输入输出间的关系，来代替原仿真计算进行优化设计[1-3]。其中，基于序贯代理模型的优化设计方法是通过充分利用在优化过程中获得的数据信息来指导寻优过程，与传统的一次采样代理模型技术相比，其能够进一步节约计算资源，有效平衡收敛效率与求解精度之间的关系[4]。赵留平等[5]综述了基于代理模型的优化方法在船舶结构优化设计中的发展现状，指出基于代理模型的优化技术是船舶结构优化研究的热点。郑少平等[6]将单精度代理模型应用到了船舶板架强度和稳定性分析中。夏志等[7]将水下结构物基座阻抗数据进行前处理，获得了阻抗曲线的包络线，通过采用单精度代理模型对预处理后的基座阻抗数据进行建模，有效提高了预报精度。Qian 等[8]针对目标函数不耗时、约束函数耗时的工程优化问题，提出在建立耗时约束函数代理模型时，应侧重考虑约束函数代理模型在约束边界处的预估不确定性，将因代理模型的不确定性而使得约束可行性可能发生改变的点作为更新点，建立了一种基于置信区间的约束单精度序贯代理模型优化算法（SCU-CI）。

然而，对于复杂的水下结构物优化问题，单次实验或者仿真计算都需要耗费巨大的计算资源。有学者通过引入低精度模型数据辅助高精度模型数据进行预报，减少了仿真计算的成本[9-10]。Yi 等[11]将多精度代理模型用到了水下结构物变刚度加筋圆柱壳的强度与稳定性分析中；宋保维等[12]将多精度代理模型用到了不同速度和攻角下自主水下航行器的流体动力参数预测中；姜哲等[13]在桁架式Spar 平台多学科优化设计问题中，采用结构强度指标构建多精度代理模型，大大节省了优化所需的计算资源；张守慧等[14]在KCS 集装箱船艏部型线优化过程中，构建了兴波阻力系数的多精度近似模型，以较小的计算资源获得了兴波阻力下降的船型。

相比单精度代理模型优化，多精度代理模型优化能够充分利用建模过程中获得的多精度分析模型之间的相关信息，从而提高效率并节省计算资源。本文将在SCU-CI 方法[8]的基础上，研究提出一种基于置信区间的多精度序贯Co-Kriging代理模型优化算法（MF-SCU-CI）。该方法通过引入成本系数来衡量不同精度模型的计算成本，建立高/低精度样本点的Co-H 评估函数，并充分利用高/低精度模型数据信息。然后，通过3 个数值测试函数以及纵横加筋圆锥壳结构振动优化设计案例进行应用研究，验证所提方法的适用性和有效性。

1 MF-SCU-CI 方法

对于目标函数不耗时、约束函数耗时这类优化问题，需要采用代理模型替代昂贵的约束函数进行仿真计算，随后，在优化过程中直接利用代理模型序贯进行寻优。不同于目标函数代理模型更新时更加关注局部精度（即如何有效利用代理模型序贯更新样本点迭代得到最优值），约束函数代理模型序贯过程关注的是约束函数边界是否有足够的精度（即如何有效利用代理模型序贯更新样本点），以保证能够在优化过程中对约束违反的情况进行准确判断。这种用代理模型替代约束函数的优化问题的数学模型可以描述为：

式中：f（x）为目标函数,x=(x1,x2,···,xN)T，为设计变量向量，N为设计变量空间维度；xlb，xub分别为设计变量x的下限和上限；gˆj1为计算昂贵的约束函数的代理模型；gj2为计算不昂贵的约束函数；J1，J2分别为计算昂贵和不昂贵的约束函数的个数。

1.1 基本思想

具有多精度数据来源时，MF-SCU-CI 方法需要解决2 个关键问题：1）在每次迭代过程中，如何确定一定置信区间下可行性状态可能发生变化的样本点；2）在更新代理模型时，如何确定待仿真样本点的精度水平，以最大化每个更新点对于约束边界预估精度的提高水平。

针对问题2），需要通过评估更新点对约束边界精度的提高水平来选择下一步的更新点，也就是说要确定是采用高精度模型还是低精度模型进行样本点的响应计算。为了衡量在设计空间中不同精度样本点对于约束边界精度的提高值，本文提出了基于Co-Kriging 代理模型的Co-H 函数。该函数能够通过衡量样本点的不确定性水平、高/低精度模型之间的相关程度以及不同精度的成本系数来量化不同精度样本点对于约束边界精度的提高程度，如式(3)所示：

式中：H(x)为单精度代理模型的H 函数[16]；fˆ(x)，sˆ(x)分别为Kriging 代理模型的预测均值和预测方差； Φ ， φ为标准正态分布的累积概密度函数和概率密度函数；r(x,t)为高、低精度模型之间的相关性程度；c(t)为不同精度水平模型的相对成本；q为一次高精度仿真时间和一次低精度仿真时间的比值；t为不同精度水平； mf 指多精度模型； l指低精度模型。当t=mf时，Co-H 函数用于衡量高精度样本点对于约束边界的提高程度；当t=l时，Co-H 函数用于衡量低精度样本点对于约束边界的提高程度。

因此，MF-SCU-CI 方法应首先利用式(2)找出具有可行性不确定的样本点，然后再通过式(3)确定这些样本点在更新Co-Kriging 代理模型时的精度水平，即哪些点作为低精度样本点，哪些点作为高精度样本点。

1.2 求解流程

MF-SCU-CI 算法的流程图如图1 所示，主要步骤描述如下。

图1 MF-SCU-CI 算法流程图Fig. 1 Flowchart of the proposed MF-SCU-CI algorithm

步骤1：利用最优拉丁超立方设计在设计空间内进行初始采样，分别生成初始的高精度样本点和低精度样本点，计算获得高精度约束函数和低精度约束函数的相对成本c(t)。

步骤2：建立初始Co-Kriging 代理模型。

步骤3：初始化遗传算法（GA）种群，设置代数GEN=1，然后通过Co-Kriging 代理模型评估初始个体约束值。

步骤4：根据式(2)，从Co-Kriging 代理模型中选择那些因预估不确定性而可能改变可行性的个体。

步骤5：利用提出的Co-H 函数，将步骤4 中所获得的具有可行性不确定性的样本点合理分配到不同精度仿真模型中，用以更新Co-Kriging 代理模型。

步骤6：更新Co-Kriging 代理模型，生成新的种群并更新计数GEN=GEN+1。

步骤7：用Co-Kriging 模型评估新个体的响应值。

步骤8：检查收敛准则是否满足，如果是，转到步骤9，反之，回到步骤4。对于数值测试函数，由于最优解是已知的，相应的收敛准则设置为代理模型获得的最优解与真实最优解之间的相对误差，或者达到设置的最大进化代数。对于工程测试案例，由于其是黑箱问题，无法通过数学分析手段得到真实最优解。因此，将算法收敛准则设置为遗传算法进化一定的代数，然后比较其找到的最优化解和总计算资源。

步骤9：用真实函数值（工程问题则用高精度有限元计算值）校核当前最优解是否真实可行，如果可行，转到步骤11，反之，运行步骤10。

式中，m为整体循环次数，当基于不加严约束的最优解不符合要求时，设m=1。在后续循环中，如果优化解不符合要求，则逐步加严约束，令m=m+1。求解新的数学模型时，代理模型不需要再次更新，因此不会额外耗费新的计算资源。

步骤11：输出优化设计解。

2 数值测试算例及结果分析

2.1 数值测试函数

应用所提出的MF-SCU-CI 算法，对Constrained Branin，qcp4 和G4 这3 个不同类型的典型数值测试算例进行优化计算分析，具体函数真实最优解的详细描述见文献[17]。假设高精度约束函数和低精度约束函数的成本比为10∶1，即仿真1 个高精度样本点的时间等于仿真10 个低精度样本点的时间；GA 算法的种群大小为40，交叉概率为0.8，变异概率为0.15，代沟设置为0.95。初始样本点的个数可能会对算法效果产生一定影响，这在文献[18]中已进行研究，故此处不再赘述。数值算例的初始样本点、收敛准则设置如表1 所示。表中，“初始样本点数”一栏的数值，加号前为高精度样本点个数，加号后为低精度样本点个数。

表1 多精度测试函数参数设置Table 1 Parameters setting of the multi-fidelity functions

2.2 数值测试函数优化结果

在现有研究中，利用多精度代理模型辅助遗传算法求解约束耗时的文献较少，因此，对于本文所提MF-SCU-CI 算法的优化效率，将只跟SCU-CI算法[8]进行对比。比较的标准为：算法收敛时，哪种方法所需总的等效高精度样本点少，获得优化解的效率就高。为了避免计算结果的随机性，所有的数值测试算例都重复运行30 次，统计结果如表2 所示。

表2 数值测试算例在不同方法下的可行性比率Table 2 Feasibility ratios of numerical test examples under different benchmark funcitons

从表2 中可以看出：

1）采用MF-SCU-CI 算法得到优化解的可行性比率远优于单精度的SCU-CI 方法。对于测试函数qcp4 和G4，SCU-CI 方法的可行性比率分别为0.833 和0.733，而MF-SCU-CI 方法的则为1.000。这意味着，MF-SCU-CI 方法的可行性随着大量低精度样本点的信息加入得到了很大提升。需要指出的是，本文所提MF-SCU-CI 方法在上述数学算例中每次都能直接搜索得到可行优化解，而不需要进入步骤10 中的约束加严过程。

2） MF-SCU-CI 方法所需要的总样本点数少于SCU-CI 方法，表明在利用多精度代理模型辅助优化的序贯过程中，大部分可行性不确定的样本点的预估不确定性，都能通过更新低精度模型得到一定程度的降低。可见多精度的MF-SCU-CI方法与单精度的SCU-CI 方法相比，能进一步节省计算资源。

3 纵横加筋圆锥壳结构振动优化设计

纵横加筋圆锥壳是水下结构物艉部的重要结构型式，本文主要研究结构振动和尺寸搭配约束下的圆锥壳轻量化设计。不失一般性，本节主要考虑纵横加筋圆锥壳在空气中的振动特性，但在实际的水下结构物工程优化中，往往还需要考虑附连水质量以及材料阻尼等多种因素。纵横加筋圆锥壳结构模型如图2 所示。图中：R1，R2分别为圆锥壳艉端和艏端半径；t1，t2分别为艉段和艏段壳板厚度。

图2 纵横加筋圆锥壳结构模型Fig. 2 The model of longitudinal and transverse stiffened conical shell structure

该优化问题的数学表达式如下：

表3 设计变量及其取值范围Table 3 Design variables and their range of values

本案例在圆锥壳艉端施加了一个垂直向下的单位简谐力。频率范围100～250 Hz，频率间隔2 Hz，加速度总级的计算需要在频率范围内扫频计算[19]。材料的弹性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 850 kg/m3。

进行优化分析时的高精度有限元网格划分方案为：沿船长方向等间距划分50 份网格，沿环向等间距划分60 份网格，每次仿真计算耗时80.22 s；低精度有限元网格划分方案为：沿船长方形等间距划分20 份网格，沿环向等间距划分24 份网格，每次仿真计算耗时20.02 s。单精度SCU-CI 方法的初始样本点数设置为109 个高精度样本点，多精度MF-SCU-CI 方法的初始样本点设置为70 个高精度样本点和156 个低精度样本点（高、低精度样本点的计算成本比为1∶4），总成本约合109个高精度样本点。GA 算法的参数设置除迭代代数为400 外，其他参数同数值算例。

表4 和表5 汇总了3 种方法的优化设计方案，并列出了相应的目标函数、约束值及仿真调用次数（NS）。

绘制的优化收敛曲线如图3 所示。

从表4、表5 和图3 中可以看出：

图3 GA，SCU-CI 和MF-SCU-CI 方法收敛曲线Fig. 3 Convergence curves of three methods

表4 优化设计方案Table 4 Optimization design results

表5 不同方法结果对比Table 5 Result comparision of different methods

1）由于代理模型的预报误差，在未对最终约束进行修正时，采用SCU-CI 方法和MF-SCU-CI方法获得的最优化解的真实值均略微违反约束。在借用约束加严做法对约束进行修正后发现，修正后的目标函数值虽略高于修正前，但能保证优化解的真实可行性。

2）基于代理模型的SCU-CI 方法和MF-SCU-CI方法满足停止准则时，均能得到与基于直接有限元计算的GA 方法目标函数相当的优化解，甚至MF-SCU-CI 方法的优化解还略优于GA 方法。SCUCI 方法和MF-SCU-CI 方法的计算资源分别约为GA 方法的1/30 和1/50，体现了基于代理模型优化方法的优化效率。

3） MF-SCU-CI 方法的可行优化解优于SCU-CI方法，且MF-SCU-CI 方法调用等效高精度仿真次数更少，仅为SCU-CI 方法的73.7%。而且，在初始方案中不存在可行解的情况下，MF-SCU-CI 方法较SCU-CI 方法能更早地搜寻到可行解，且在随后的进化过程中，MF-SCU-CI 方法会首先收敛至最优解。这说明多精度MF-SCU-CI 方法相比单精度SCU-CI 方法在工程应用上更具潜力。