整合碎片练习 让复习课更有深度

摘 要：小学数学教材编排内容是螺旋上升的，同一主题的知识在不同的学习阶段会有不同的学习要求，也会有很多零散的习题分布在各个阶段，但是这些习题之间存在某些关联。在复习阶段，教师应整合这些相关的碎片练习，让学生在复习课中学得更有深度。

关键词：小学数学;复习课;知识整合

中图分类号：G427                       文獻标识码：A                   文章编号：2095-624X（2021）32-0079-02

引   言

小学数学教材中没有明确的概念界定，基本是让学生通过比较直观的感知理解相关概念。一些知识点是在学生逐渐深入学习的过程中不断完善的。所以，在复习时，教师要勾连起这些不同时段的碎片知识，使学生在脑海中完善概念体系，从而达到深度理解的目的[1]。下文以六年级总复习“立体图形的体积”一课为例，谈谈如何整合碎片练习，让学生的学习更有深度。

一、关联碎片，让学生深度理解数学概念

在进行“立体图形的体积”总复习时，在课程伊始，笔者设计了一个环节，让学生更形象地理解立体图形、平面图像、点和线之间的关联，并把这些碎片内容关联起来，从而使学生更深层次地理解立体图形。设计环节如下。

课件出示一些“点”，教师：当我们把这些平面上的点用线围起来就构成了一些平面图形。（课件出示相应的长方形、正方形和圆）当我们把这些平面图形叠加起来，并赋予一定的高度，就构成了立体图形。（课件相应展示形成的长方体、正方体和圆柱体）立体图形有了一定的高度，并占据了一定的空间，这就是立体图形的体积。

这样设计的意图是让学生连接起平面图形与立体图形之间的变化关系，深刻认识到平面图形没有高度，而立体图形是有高度的，正因为立体图形有了一定的高度，所以它要占据一定的空间，这就是立体图形的体积。到了更高的学段，学生会进一步明白，这其实是二维和三维的关系。在小学总复习阶段，教师通过连接学生以往零碎的知识碎片，设计了“连点成线、连线成面、由面到体”的环节，使学生更深层次地理解了为什么平面图形研究的是面积，而立体图形要进一步研究体积。

二、重组碎片，让学生深度体验数学方法

在“立体图形的体积总复习”第二环节，笔者设计的是回顾各立体图形体积的推导过程。这些立体图形的体积公式并不是在一节课内同时学习的，笔者在总复习时把这些图形整合起来，让学生进行整体回顾，体验数学探究的一些基本方法。例如，笔者带领学生用数格法探究长方体和正方体的体积计算方法，学生数了长方体所包含的1立方厘米的小正方体的个数，发现长方体的体积就等于长、宽、高的乘积;正方体是特殊的长方体，它的长、宽和高都是相等的，所以正方体的体积就等于棱长×棱长×棱长，即棱长的立方。圆柱的体积计算采用转化法，即把圆柱转化为长方体进行探究，长方体的底面积就是圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高，所以圆柱的体积也等于底面积×高。圆锥的体积和与它等底等高的圆柱体积相关联，所以笔者引导学生用实验法进行推导，使其发现圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。教师把这些立体图形体积的推导过程重组在一起，让学生进行整体回顾复习，不仅让学生复习了各立体图形的体积计算公式，还让学生再一次深度学习了数学中常用的探究方法。

三、对比碎片，让学生深度揭示数学规律

例如，圆柱体积教学中的一些习题都和长方形有关，即把一张长方形纸旋转形成圆柱，或者利用卷一卷的方法形成圆柱。笔者在复习课中把这些练习组合在一起，让学生进行集中对比，从而更深度地探究，总结其中的规律。

活动一：一张长方形纸可以通过哪些旋转方式形成圆柱？

这个习题包含了以前的两道练习，分别是：（1）绕着长方形的长边或宽边旋转，形成两个不同的圆柱，哪一个体积更大？（2）分别以长方形的两条对称轴为旋转轴，旋转形成两个不同的圆柱，哪一个体积更大？现在，笔者把这两个练习重组在一起，设计的意图是让学生感悟一张长方形纸可以通过不同的旋转方式形成圆柱，接着让学生探究两组圆柱中哪一个体积更大？

方法1：假设法，假设原始长方形的长是6厘米，宽是4厘米，然后具体算出各圆柱的体积，进行比较。

第一组两个圆柱的体积分别是：π×62×4=144π（cm3）和π×42×6=96π（cm3）;

第二组两个圆柱的体积分别是：π×32×4=36π（cm3）和π×22×6=24π（cm3）。

由此发现，两组圆柱中，都是以宽边作为高的那个圆柱的体积要大一些。

方法2：直接算式对比法

如绕边一组两个圆柱的体积分别是：

圆柱的体积=π×长2×宽=π×长×长×宽

圆柱的体积=π×宽2×长=π×宽×宽×长

这样对比可发现，以长方形长边为底面半径，绕着宽边旋转形成的圆柱体积更大。

同理，绕着对称轴旋转形成的两个圆柱的体积分别是：

由此，学生也能很清楚地看出，以长方形长边的一半为半径，宽边为高的圆柱体积较大。学生在对规律有了初步感知后，继续研究用长方形纸卷出的圆柱，哪一个体积更大？

活动二：把一张长方形纸，卷成两个大小不同的圆柱（见图1），分别算出体积。怎样卷圆柱的体积比较大？

在上述探究的基础上，笔者引导学生先利用刚才的经验猜测哪一个圆柱的体积更大？有些学生猜“矮胖”的那个圆柱体积更大。然后，笔者引导学生选择刚才的两种方法之一进行进一步探究。

方法1：假设法，如假设长方形长边31.4厘米，宽边18.84厘米，计算对比。

第一个圆柱的体积是：r=31.4÷3.14÷2=5cm，V=π×52×18.84=471π（cm3）;

第二个圆柱的体积是：r=18.84÷3.14÷2=3cm，V=π×32×31.4=282.6π（cm3）;

方法2：直接算式对比法。

以上两种方法再次证明，用同一张长方形的纸卷圆柱，以长边作为圆柱底面周长、宽边为高卷出的圆柱体积比以宽边作为圆柱底面周长、长边为高卷出的圆柱体积更大，即“矮胖”的圆柱体积更大。

通过以上两个活动，笔者整合碎片习题，帮助学生深度发掘一些数学规律，加深了学生对几何图形知识的理解，有助于培养学生的空间想象能力。

四、迁移碎片，让学生深度感悟数学思想

在教学“立体图形的体积总复习”一课中，笔者在问题解决环节做了以下设计。笔者先出示题组一中的第（1）题：一个棱长4分米的正方体水箱装满水，如果把这箱水倒入另一个长8分米、宽2.5分米的长方体水箱中，水深是多少分米？引导学生抓住题中的等量关系：正方体水箱中水的体积等于长方体水箱中水的体积，由此使学生应用“方程”思想解决答这一道题。这样通过抓住题目中的等量关系，用“方程”思想解答问题的练习，在小学数学中经常出现，因此在复习课时，笔者希望通过这一小题的抛砖引玉，让学生把这样的碎片练习进行正迁移，学会解答这一类习题。所以，笔者设计了第（2）题：一个装满小麦的圆柱形糧囤，底面积是3.5平方米，高是1.8米。如果把这些小麦堆成高是1.5米的圆锥形麦堆，占地面积是多少平方米？要求学生运用同样的数学思想来解决这个问题。

除了“方程”思想，在学习图形知识中，“转化”思想同样重要。所以，笔者设计了第二组练习。笔者出示第（3）题：一个酒瓶深30厘米，底面内直径是10厘米，瓶里的酒深15厘米，把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米（见图2），酒瓶的容积是多少毫升？

笔者引导学生理解“酒瓶的容积=空气的体积+瓶内现有酒的体积”。酒的体积是一个圆柱的体积，而空气的体积是不规则的，但是可以转化为酒瓶倒置过后的空气体积，列式：π×（10÷2）2×15 + π×（10÷2）2×（30-25） =π×52×（15+5） =500π（mL）

接着，笔者设计了第（4）题：将一个底面直径是6厘米、高10厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（见图3），圆柱形玻璃杯的底面直径是20厘米，当铅锤从水中取出后，杯里的水会下降多少厘米？这一题同样启发学生运用转化思想来进行解题，把玻璃杯里下降的水的体积转化为圆锥的体积。列式：圆锥的体积 ×π×（6÷2）2×10 = 30π（cm3）;下降的水的高度 30π÷[π×（10÷2）2]=1.2（cm）。

结    语

学生在不同的学段做得一些看似不同的练习，可以通过复习课有效整合成题组，在整合练习中重温数学方法、数学思想，探究数学的规律、奥秘。这样的复习课可以让学生更有深度地进行数学学习，同时对教师教学提出了更高的要求。

[参考文献]

[1]纪何.小学数学深度学习的指导策略[J].新课程，2021（26）：213.

作者简介：王鸣荷（1979.8—），女，江苏苏州人，一级教师。