圆周角定理应用的“两融合”

刘家良

纵观全国各地以圆为载体求角大小的中考试题，多以圆周角定理的应用为核心，并结合其他相关知识来考查，下面举例介绍.

一、融合垂径定理，转化三量关系

过圆心且垂直于弦的直径，是垂径定理的条件，同圆中的弧、弧所对的弦及弧所对的圆心角这三个量中若有一组量相等，则其余两组量分别相等.

例1（2020·湖北·荆门）如图1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为（ ）.

A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到连接OA，得到∠AOC = ∠BOC. 由圆周角定理得∠AOC = 2∠APC=56°，进而得∠BOC的度数.

解：连接OA，如图1. 在⊙O中，∵OC⊥AB，∴[AC] = [BC]，∴∠AOC = ∠BOC. 由圆周角定理，得∠AOC = 2∠APC=56°，∴∠BOC=56°. 故选D.

点评：通过垂径定理和“三个量”的关系，就将所求角和已知角间接地转化到同一条弧所对的圆心角和圆周角上了.

二、融合圆内接四边形性质定理，求解内角大小

由圆内接四边形想到其对角互补.

例2（2020·黑龙江·牡丹江）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD. 若[AC] = [BC]，∠BDC=50°，則∠ADC的度数是（ ）.

A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°

分析：由圆内接四边形的性质可知，欲求∠ADC的度数，需求∠ABC的度数.由[AC] = [BC]，得∠ABC=∠CAB. 由“同弧所对的圆周角相等”得∠CAB = ∠BDC=50°，即∠ABC=50°.

解：连接AC，如图2. ∵∠CAB，∠BDC都为[BC]所对圆周角，∴∠CAB =∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC]，∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC =180° - ∠ABC = 130°.

故选B.

点评：由“四边形ABCD内接于⊙O”想到四边形ABCD对角互补，从而可知欲求∠ADC的度数需求∠ABC的度数是解题的关键.