充分挖掘条件的内涵，激发学生思维，提高学习兴趣

李海锋

原题：如图在锐角三角形ABC中，M是BC的中点，点P在△ABC中，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.

证明：若DE=MP，则BC=2BP.

本题是不可多得的、优秀的竞赛试题，整体难度适中，选拔作用突出，不只是在考试中，在教学和学生后续的学习中，这道题的作用尤其突出。本文就充分挖掘条件的内涵探索多种解法，综合多个知识点，多方面激活学生脑细胞，启发思维，提高学生的学习兴趣。

一、倍长中线法

如果观察M是BC的中点，容易想到延长中线，利用倍长关系解决问题，但是一定要选好做哪个的倍长。

法1：如图延长PM到点F，使得MF=ME.连接BF、BD、CE.

由条件可知：∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠CEP=∠CEM.

因为BM=CM且EM=FM，所以BF=CE且BF‖CE.

于是∠F=∠CEM=∠BDP，进而BD=BF.

又DE=MP，故DP=EM=FM.

于是在等腰△BDF中，由对称性得BP=BM，从而BC=2BM=2BP.

二、全等法

观察三角形△DBP和△ECM，∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，由于DE=MP，可知DP=EM，下面围绕证明DB=EC的不同方法，分析以下3种方法。

法2：如图连接DB，EC，在△DBP和△ECM中，由于DE=MP，可知EP=EM，

∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，

过B作BH垂直MD于H点，过C作CJ垂直MD于J点，

∵M是BC的中点，可知BH=CJ，又∵∠BDP=∠JEC，

∴△DBP≌△ECM，∴BP=CM，∵M是BC的中點，∴BC=2CM=2BP

法3：∵∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠PEC=∠MEC，可知sin∠BDP=sin∠CEM，

在△BDM和△CEM中由正弦定理可得BD/BM=sin∠BMD/sin∠BDM，①

CE/CM=sin∠CME/sin∠CEM，②

由BM=CM，sin∠CEM=sin∠BDM，sin∠BMD=sin∠CME，

又由①、②可知BD=CE

由于DE=MP，可知EP=EM，

∴△DBP≌△ECM，∴BP=CM，∵M是BC的中点，∴BC=2CM=2BP

三、圆幂定理法

如果观察BC为两圆的割线，想到圆幂定理，结合平行线也可以有以下方法。

法4：如图设直线BC与圆APB圆APC交于的另一点是N、O.

连接PN、PO、DN.过P作PH垂直于BC，垂足为H，分别过E和P做DN的平行线，交BC与G和Q点。因为MP=DE，可知MQ=GN.

由A、P、N、B共圆，及A、P、O、C共圆，可知∠PNO=∠BAP，∠PON=∠CAP，而由已知可得：∠BAP=∠CAP，∠PNO=∠PON，所以PN=PO，

由圆幂定理，MB·MN=MP·MD，MP·ME=MO·MC

因为MB=MC，两式做商可得MD∶ME=MN∶MO

由DN平行EG，可得MD∶ME=MN∶MG

可见MO=MG，由MQ=GN，所以NQ=NG+GQ=MQ+GQ=MG=MO

结合PH垂直于BC，PN=PO，由对称性可得PQ=PM，

∵圆APB中同弧BD对的圆周角∠BND=∠BPD，等角的补角相等∴∠OND=∠MPD，

又∵DN平行PQ，∴∠PQM=∠DNO，

可得三角形MPQ与三角形MBP相似，在三角形MPQ中PQ=PM，如此三角形MBP中，BP=BM，∵M是BC的中点，∴BC=2CM=2BP

以上方法，入手方向不同，所用定理不同，在分析过程中把各个定理都复习了一遍，学生思维也得到了提高。看到了平面几何的证明也可以像其他数学分支的内容一样只要思路正确就可以达到“条条道路通罗马”的效果，充分提高了学生学习平面几何的积极性。