一道动态平衡高考题的两种解法

张守柏

在物体平衡问题中，有一类动态平衡问题，这类问题的特点是一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向随平衡态发生变化。这类题目难度大，对学生而言是一个难点，但是在高考中考查频率非常高。解决物体动态平衡问题时，我们常用的方法有数学解析法、三角形图解法、相似三角形法等。但在动态平衡问题中有一种情形：在三个共点力作用下而处于平衡状态的物体，这三个共点力其中有一个力是大小和方向都保持不变的恒力，而另外两个力的大小和方向都随平衡态发生变化，但这两个力的夹角（不等于90°）保持不变。这种动态平衡问题，解题的难度最大，若找不到恰当的解法则很难解答，尤其若采用以上常规解法来解，则难以解决，但此时若用数学知识正弦定理或三角形外接圆法则就容易多了。用数学知识来解决物理问题，这正是高考对学生的一种基本能力的考查要求。因此，我们在教学过程中应该加强对学生这一能力的培养。下面我以2017年理综全国卷Ⅰ第21题为例加以说明。

题目：（多选）现有一柔软轻质细绳ON的O端点固定不动，在细绳中间某处M点拴一重物，用手拉住绳的另一端点N。如图1所示，开始时，绳OM段保持竖直状态，绳MN段则刚好被拉直，绳OM与MN之间的夹角为α（其中角α>90°）。现将重物向右上方缓慢拉起，但保持夹角α不变，直到绳OM被拉至水平，则在此过程中下列说法正确的是（  ）

A.绳OM段的拉力先变小后变大

B.繩MN段的拉力逐渐变大

C.绳OM段的拉力先变大后变小

D.绳MN段的拉力保持不变

解法一：利用数学知识——正弦定理

基本思路：如图2所示，当物体受到三个共点力作用而保持平衡状态时，这三个力就可以构成一个封闭的三角形，那么此时这三个共点力中任何一个力的大小与这力所对角的补角的正弦值之比都相等，即有

下面我们就用此种方法来解答，具体解法如下：

解法二：作三角形外接圆

解题思路：当物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，这三个共点力可以构成一个封闭的三角形，这个三角形就有一个对应外接圆。由于这三个共点力中有一个力是大小和方向都保持不变的恒力，而且这个力所对的角保持不变。因此，在力的三角形中有一条有向线段不变，同时这条线段所对的角也就保持不变，这时我们就可以以表示这个力的有向线段为弦作三角形的外接圆，那么这条弦所对的圆周角都相等。

下面我们再用上面的方法来解答一下。具体解答如下：

假设重物的质量为m，则重力为mg，设绳OM段受到的拉力大小为TOM、绳MN段的拉力大小为TMN。在重物缓慢拉起的过程中每一时刻都认为是平衡状态，这三个力的合力为零。所以，这三个共点力的有向线段就能构成一个封闭的三角形，现在以表示重力mg的有向线段为弦（非直径弦，因为角α>90°）作一三角形外接圆。如图4所示，在此过程中重力mg保持不变，而绳拉力TOM与绳拉力TMN夹角180°-ɑ不变，则有向线段mg所对的圆周角不变，有向线段三角形中TMN与TOM的交点在一个圆弧上移动，由图可以看出，在OM被拉到水平的过程中，绳MN中拉力一直增大最后达到最大值，绳OM中拉力先增大后减小，所以B、C答案正确。

以上两种解法在解决共点力的动态平衡问题，尤其是其中的一个力是恒力，而另外两个力大小、方向都变化的动态平衡问题，则非常简便快捷，可以轻松解答此类题型。通过比较我们还可以看出，此种情形采用正弦定理法更事半功倍。